齐 辉，蔡立明，罗广龙，潘向南，杨 杰，王宪章，李国文，蒋敬江

(1.哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001； 2.上海电机学院机械学院，上海 201306； 3.中建一局总承包公司，北京 100070)



双相介质半空间中圆孔对透射SH波的稳态分析

齐 辉1，蔡立明1，罗广龙1，潘向南1，杨 杰2，王宪章3，李国文1，蒋敬江1

(1.哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001； 2.上海电机学院机械学院，上海 201306； 3.中建一局总承包公司，北京 100070)

研究了平面SH波在半空间双相弹性介质中的传播。通过Green函数和积分方程方法，按照复变函数描述，对透射波被圆孔散射的情况进行稳态分析。将双相介质半空间沿界面剖分为1/4空间介质Ⅰ和含圆孔的1/4空间介质Ⅱ，分别构造了介质Ⅰ和介质Ⅱ中反平面点源荷载的Green函数，按双相介质中平面SH波的处理方法，给出介质Ⅰ和介质Ⅱ中的平面位移波，两种介质之间的相互作用力与对应Green函数的乘积沿界面的积分与平面位移波叠加得到介质Ⅰ和介质Ⅱ中的全部位移场。按照界面的位移连续条件，定解积分方程组，得到问题的稳态解，并给出圆孔位置和介质参数对散射的影响。

固体力学；散射；Green函数；SH波；圆孔；双相介质半空间；振动与波

弹性动力学中将研究对象视为连续的弹性体，运用数学物理的方法，解析地研究机械运动，不仅对数学物理的基础科学研究具有重要意义，而且对岩土工程、地震工程等工程技术应用具有很大的价值。弹性波的传播及其在全空间中被一些特殊曲面散射的研究已经日趋完善[1-4]。作为最简单的波动模式，柱体在含复杂边界介质中的反平面散射研究取得了一定的进展[5-6]。研究人员陆续研究了无限大弹性半空间、1/4空间中圆柱孔洞、夹杂、衬砌对SH平面波的稳态散射[7-12]。双相介质半空间中SH波对圆柱孔洞、夹杂和界面裂纹的散射问题也得到了一定的研究[13-18]。这些研究中主要考虑入射波与孔洞或夹杂在同一介质内的散射问题，对于平面SH波从介质I穿过界面折射进入介质II，透射波对介质II中圆孔的散射问题的研究相对匮乏。本文中用Green函数和积分方程，按复变函数方法对其稳态响应进行分析，求解双相介质半空间中位移场和应力场的解析表达式，并采用数值方法计算算例中圆孔边沿动应力集中因子和地表位移幅值的分布。

1 理论模型

如图1所示，连续、均匀、各向同性的弹性半空间，由介质Ⅰ和Ⅱ组成，其剪切模量分别为μ1和μ2，质量密度分别为ρ1和ρ2，两种介质的分界为BV，这种双相介质半空间的边界平面为BH。介质Ⅱ中有一个圆形孔洞，其半径为R，其圆心O1距离界面BV为d，距离边界BH为h，定义平面直角坐标系O1x1y1(图1)，以出平面方向为z轴正方向，x1轴、y1轴和z轴满足右手关系。

在介质Ⅰ中有稳态SH平面波入射，其角频率为ω。入射波与它在边界BH上的反射和在界面BV的反射和透射，造成了介质Ⅰ与介质Ⅱ中质点的反平面运动，其反平面运动的位移分别为wⅠ和wⅡ，满足标量波动方程：

(1)

分离时间变量和空间变量，得到对应的Helmholtz方程(介质Ⅰ和介质Ⅱ中位移场的控制方程)：

(2)

位移场wⅠ和wⅡ在半空间边界BH平面上产生的剪应力都为0，满足Neumann边界条件；位移场wⅠ和对应的应力场τⅠ在界面BV上与位移场wⅡ和对应的应力场τⅡ相等，分别满足Dirichlet边界条件和Neumann边界条件；应力场τⅡ在圆形孔洞边界上为0，满足Neumann边界条件。这4个边界条件与介质Ⅰ和介质Ⅱ中的控制方程(2)组成本文的定解问题。

2 等价问题

图2 等价问题Fig.2 Equivalent issue

(3)

在介质Ⅰ中有一对稳态的SH平面波入射，其角频率均为ω，初相位相等，入射角关于平面BH对称，其位移wi1和wi2为：

(4)

这样，本文中定解条件变成等价的边值问题，由BV界面上位移和应力连续的Dirichlet和Neumann边界条件，及介质Ⅱ中圆形孔洞边界B1和B2柱面上剪应力自由的Neumann边界条件组成。

介质Ⅰ中的入射位移波wi1和wi2在界面BV将发生反射和折射，折射波将透射进入介质Ⅱ，在圆形孔洞的边界B1和B2柱面发生散射，散射波也将在界面BV发生反射和折射，为了分析界面BV对散射波的反射和折射效应，引入Green函数方法。

3 Green函数

按照Green函数方法，考虑点源荷载在界面BV上分别对介质Ⅰ和介质Ⅱ的稳态位移响应，其分离时间变量后，即为Green函数。

在介质Ⅰ中，点源荷载δ(z-iy0)exp(-iωt)产生的Green函数GⅠ(z,iy0)是半空间中的基本解，表达式为

(5)

图3 介质Ⅱ中的Green函数Fig.3 Green function in medium Ⅱ

如图3所示，在介质Ⅱ中，点源荷载δ(z-iy0)exp(-iωt)产生的Green函数GⅡ(z,iy0)，按照叠加原理，有：

(6)

(7)

(8)

介质Ⅱ对应半空间中的基本解G(z,iy0)，位移波wG1和w′G1的矢量和，位移波wG2和w′G2的矢量和，它们的应力场都满足界面BV上的剪应力自由条件。位移场GⅡ(z,iy0)的应力场必须满足圆形孔洞边界B1和B2柱面上的剪应力自由条件做Fourier展开，得到等价的剪应力自由条件，用于确定Fourier-Hankel波函数系数An和Bn，即定解条件。根据三角函数系的正交性，得到和定解条件等价的两组方程。截断Fourier-Hankel波函数级数展开式，取对应的方程，组成定解方程组，按Gauss消去法解得An和Bn的具体数值，这样，就确定了介质Ⅱ中Green函数GⅡ(z,iy0)位移场的具体表达式。

4 位移波场

图4 位移波场的契合Fig.4 Conjunction of displacement wave field

介质Ⅰ中的位移场wⅠ(z)由3部分组成：入射波的位移场、反射波的位移场、介质Ⅱ对介质Ⅰ的作用力f(y)产生的位移场，其表达式为：

(9)

式中：wi1(z)和wi2(z)是入射波的位移场，根据式(4)，略去时间谐和项exp(-iωt)，得到入射波位移场的表达式：

(10)

wr1(z)和wr2(z)是反射波的位移场，表达式为：

(11)

介质Ⅱ中的位移场wⅡ(z)同样由3部分组成：折射波的位移场、散射波的位移场，以及介质Ⅰ对介质Ⅱ的作用力-f(y)产生的位移场，表达式为：

(12)

wt1(z)和wt2(z)是折射波的位移场，表达式为：

(13)

式中：W2是折射波的振幅，β是折射波的角度(见图4)。按照界面BV上位移和应力的连续性条件，角度α和β满足Snell定律：

k1sinα=k2sinβ

(14)

入射波振幅W0、反射波振幅W1和折射波振幅W2，满足

(15)

ws1(z)和ws2(z)是介质Ⅱ中圆形孔洞边界B1和B2柱面对折射波的散射所产生的位移场，w′s1(z)和w′s2(z)是散射波ws1(z)和ws2(z)分别对界面BV反射产生的镜像散射波的位移场，按照波函数展开法，得到：

(16)

5 积分方程

由(9)和(12)式，按照界面BV上位移和应力的连续条件，即契合条件，得到：

(17)

(18)

这是积分限为无穷的第一种Fredholm积分方程。在y轴上对界面BV取N+1个节点yk，同样地，对积分区间取N+1个节点yl，按数值方法对(18)式进行离散求解：

(19)

式中：Ql是求积系数，伴随求积节点yl，取决于数值积分所采用的方法。按Gauss消去法，计算节点yl上f(yl)的数值，之后用Lagrange插值拟合界面BV上的分布力f(y)

6 算例分析

按照第4节中的讨论，结合第5部分求得的界面BV上的分布力f(y)，分别按照(9)式和(12)式，得到介质Ⅰ和介质Ⅱ中的位移场wⅠ(z)和wⅡ(z)，求得应力场τⅠ(z)和τⅡ(z)，它们足以描述介质Ⅰ和介质Ⅱ中全部质点的运动状态。

(20)

(21)

为直观的讨论圆孔散射对水平边界BH位移的影响，引入标准化的位移幅值W*(z)：

(22)

水平边界BH平面的存在极大地影响了圆孔的散射，包括2部分：与圆孔到BH平面的距离h无关的镜像透射位移波wt2(z)对圆孔的散射，以及随着h的增大而衰减的镜像散射波ws2(z)对圆孔的散射。水平边界对圆孔散射的影响在弹性动力学反平面半空间问题中得到了广泛的讨论，相较而言，在双相介质半空间中，垂直界面BV对介质Ⅱ中圆孔散射的作用更值得注意。

算例以圆孔半径R为参考长度，给定h=2R，d=2R，取入射角α=0，数值计算双相介质的不同波数、剪切模量对圆孔散射的具体影响，定义波数比k*=k1/k2，剪切模量比μ*=μ1/μ2。图5和图6分别给出由圆孔散射所造成的圆孔边沿的动应力集中因子的分布和受其影响的水平边界BH平面上标准化的位移幅值的分布。

图5 动应力集中因子在圆孔边沿的分布Fig.5 Distribution of dynamic stress concentrations factors around the cylindrical cavity

图6 标准化位移幅值在水平边界上的分布Fig.6 Distribution of normalized displacement amplitude along the horizontal bound

7 结 论

双相介质半空间中圆孔的反平面稳态散射受到很多因素的影响，诸如，圆孔和边界的距离、和界面的距离，双相介质的波数比、剪切模量比，平面SH波的入射角度、频率，等等。不同的圆孔位置对散射的影响可以参照1/4空间圆孔问题的研究，当圆孔距离界面足够远，界面另一侧介质的影响可以忽略，界面附近的圆孔，对穿过界面的透射平面SH波的散射受到界面另一侧介质的强烈影响，集中体现在介质的波数和剪切模量。作为SH波在双相介质中传播的问题，应充分考虑界面两侧介质对平面SH波透射的影响，给定入射角度和频率。

在相对低频的透射波作用下，圆孔散射造成更大的动应力集中，在相对高频的透射波作用下，圆孔散射造成的动应力分布受到界面另一侧介质的影响更大。在一定范围内，界面另一侧介质的剪切模量很大程度地决定着圆孔散射所造成的动应力的数值与分布，这种效应随着界面另一侧介质的质量密度的增大而减小。在相对高频的透射波作用下，圆孔散射造成局部更大的地表位移，也更受界面另一侧介质的影响，随着界面另一侧介质波数的增大，圆孔散射所造成的局部地表位移的变化也越大，这种效应随着界面另一侧介质的剪切模量的增大也略微地增大。

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(责任编辑 王小飞)

Steady state analysis for circular cavity impacted by transmitted SH wave in a bi-material half space

Qi Hui1, Cai Li-ming1, Luo Guang-long1, Pan Xiang-nan1, Yang Jie2, Wang Xian-zhang3, Li Guo-wen1, Jiang Jing-jiang1

(1.CollegeofAerospaceandCivilEngineering,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,Heilongjiang,China; 2.SchoolofMechanicalEngineering,ShanghaiDianjiUniversity,Shanghai201306,China3.ChinaConstructionFirstEngineeringDivisionCorp.Ltd.,Beijing100070,China)

To study the way that the plane SH wave propagating in an elastic bi-material half space from medium Ⅰ to medium Ⅱ, the steady-state scattering of the transmitted wave by a circular cavity is analyzed by using Green function and integral equation methods on complex function description. The bi-material half space is divided into a quarter space medium Ⅰ and a quarter space medium Ⅱ with a circular cavity in it. Their Green functions are constructed as anti-plane point source response problem respectively. The total displacement fields of medium Ⅰ and medium Ⅱ are formulated as two parts’ vector sum. The first part is interfacial integral of interactive force multiplied by corresponding Green function. The second part is plane displacement field formed by omitting the circular cavity. Steady state solution is obtained by determining the integral equations along interface with displacement continuity. Numerical results are presented to reveal the effects of locations and material parameters on circular cavity scattering.

solid mechanics; scattering; Green function; SH wave; a circular cavity; a bi-material half space; vibration and wave

10.11883/1001-1455(2015)04-0591-08

2013-12-04；

2014-03-01

国家自然科学基金项目(51379048)

齐 辉(1963- )，男，博士，教授； 通讯作者： 潘向南，panxiangnan@hrbeu.edu.cn。

O343 国标学科代码： 13015

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