杨 帅

(中国矿业大学(北京)理学院，北京100083)

0 引 言

近年来，随着分数阶微分方程模型广泛建立于分数物理学、粘弹性力学、自动控制、生物化学、流体力学、随机过程等诸多应用科学领域［1］，分数阶微分方程理论引起了许多科研人员的浓厚兴趣和积极关注.关于分数阶微分方程解的存在性及其求解也取得了丰硕的成果［2～5］.分数阶微分方程初值问题是非线性微分方程的一个重要研究课题［6～9］.Diethelm［3］讨论了如下一类分数阶微分方程边值问题

本文同样讨论上述方程，遵循Diethelm 的核心证明思想，但将其假设条件弱化，应用Schauder 不动点定理证明这类分数阶微分初值问题解的存在性.

1 预备知识

定理1.1 设n ＞0，n ∉N，且m=［n］.更设K ＞0，h*＞0，b1，b2，…，bm∈R.定义

G= (x，y)∈R2:0 ≤x ≤h*，y ∈R时{ ，

假定f:G →R 在G 上连续有界，并且关于第二个变量满足Lipschitz 条件，即∃L ＞0，s.t.∀(x，y1)，(x，y2)∈G，有

定理1.2 在定理1.1 的假设条件下，设h ＞0.y ∈C(0，h］是(1)的一个解当且仅当它是Volterra 积分方程

的一个解.

定理1.1 和定理1.2 分别引自Diethelm［3］定理5.1 和引理5.2.Diethelm 关于(1)或(2)解的存在性证明见Diethelm［3］引理5.3.

2 主要结果

定理2.1 在定理1.1 中将假定f 关于第二个变量满足Lipschitz 条件去掉后，定理结论依然成立.也就是说，即使f 关于第二个变量不满足Lipschitz 条件，(1)仍然有连续解y ∈C(0，h］.

证明: 由定理1.2 的证明过程知，将假定f 关于第二个变量满足Lipschitz 条件去掉后，(1)与(2)依然等价.

(i)，显然‖y‖^B≥0，且‖y‖^B=0⇔y=0.

(ii)∀y1，y2∈^B，，有

(iii)∀α ∈R，有

接下来，定义集合

证明B 的凸性.∀α ∈R，满足0 ≤α ≤1，∀y1，y2∈B，有

现在，在B 上定义算子F:

则求解Volterra 积分方程(2)转化为求算子的不动点问题.

事实上，

则算子F 的不动点问题又可以转化为这样一个算子H:B →B.

的不动点问题.

分以下几步来证明:

第一步，由

知，

取∀y ∈B，可以得到

即Hy*(x)∈B，于是算子H:B →B.且可以得到Hy*(x)一致有界.

第二步，来讨论算子H 的连续性.∀y1∀y2∈B，x ∈(0，h］，看到，对于∀ε ＞0，由f 在‖y*‖∞≤K 上的一致连续性知，∃δ0＞0 使得当|y1－y2|＜δ0时，有

则H:B →B 连续.

第三步，∀y ∈B，∀x1，x2∈(0，h］，不妨设0＜x1≤x2≤h.对于∀ε ＞0，讨论

因为n ＞0，n ∉N，所以

(I)当n ＞1 时，

则假定此时存在|x2－x1|＜δ1，有

那么

即δ1=δ1(ε).

(II)当n ＜1 时，有

此时假定存在|x2－x1|＜δ2，则

那么可以推出

即δ2=δ2(ε).

由(I)、(II)，取δ=min{δ1(ε)，δ2(ε)}，则当|x2－x1|＜δ 时，|Hy*(x1)－Hy*(x2)|＜ε.则Hy*等度连续.

由Ascoli－Arzela 定理知Hy*是B 中的相对紧集.因此H:B →B 全连续.根据Schauder 不动点定理知H 在B 中必有不动点.

综上，证明了分数阶微分初值问题(1)解的存在性，即(1)必有连续解y ∈C(0，h］.

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