单 鹏

（江苏省大丰高级中学）

本人在讲周练卷的一道向量题：点O 在△ABC 的内部，且满足则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比是__的时候学生想到了很多种解法，但是又不能把它完全解到底，所以我就利用这个题目与学生小结了向量题的常见解法：

方法一：利用三角形的重心的性质去解

首先向同学们提问：重心有哪些性质？

1.三角形的重心是三条高线的交点，它分中线所成的比为二比一；

2.连结重心与三角形的三个顶点，得到三个小三角形，那么这三个小三形的面积相等，且等于原三角形面积的三分之一；

同学们利用上面三个性质，可以猜一下想如何解决这个问题呢？就有同学想到了构造三角形，让题设中的O 点成为新的三角形的重心，具体过程如下：

延长OB 到B1使得OB1=2OB，延长OC 到C1使得OC1=4OC，则三角形AB1C1的重心就是O 点了，设△AOC1的面积S，则△AOC 的面积为则△BOC 的面积为则△AOB 的面积为则△ABC 的面积为所以所求面积的比为

点评：该方法从三角形的重心的第三个性质入手，运用构造法，使同学们的解题思路得以顺利打开，从而顺利地解决了问题。

方法二：利用三点共线的性质来解题

点评：充分运用三点共线找到过渡的点A1，这样使得各边的比例关系一目了然，从而顺利地解决了该问题。

方法三：利用解析法来解

建立直角坐标系如下图所示，并设各点的坐标：C（c，0），B（a，b），O（x，y），则将已知条件用坐标表示，并根据纵坐标相等，可得到此即为所求两个三角形的高之比，而所求两个三角形是同底的，所以所求两个三角形的面积的比为

点评：由于所求两个三角形共底，所以就以这个底所在直线为X 轴，建立坐标系，这样就把问题转化成求B 点与O 点的纵坐标之比了。

解法四：利用基底法来解题

由图可知，B 点到AC 边距离与O 点到AC 边的距离的比为所求两个三角形的面积的比为

黄智华.设置延伸拓展问题的几种过程.数学通讯，2009（08）.