苗德成

（韶关学院 信息科学与工程学院,广东 韶关512005）

基于范畴论的共享系统数据模型研究综述

苗德成

（韶关学院 信息科学与工程学院,广东 韶关512005）

摘要：数据模型是共享系统设计与开发的核心与基础,范畴论对研究共享系统数据模型的建模方法具有独特的优势,为语义计算与程序逻辑的精确描述提供坚实数学基础,同时也具有广阔的应用前景.对共享系统数据模型的范畴论基础、基于范畴论的共享系统数据模型的研究现状及当前面临的主要问题等方面的主要和最新研究成果进行简要地介绍,以引起国内相关研究领域学者对基于范畴论的共享系统数据模型的关注.

关键词：数据模型；范畴论；共享系统；语义计算；fibration

共享系统以计算机和通信技术为支撑,以共享为基本运作方式,在广泛应用的背景下形成和发展起来的一种企业级信息系统,其研究范围涉及众多领域.数据模型精确描述共享系统的数据结构、数据操作和语义约束,在抽象层面上描述共享系统的静态特征、动态行为和依存规则,是共享系统的核心和基础,同时也是共享系统开发与应用的主线.在众多学者的共同努力下,共享系统数据模型作为软件理论与程序设计方法学一个重要的应用领域取得了巨大成功,在系统建模与形式语义分析中具有突出的作用.随着应用需求与软件系统复杂度的不断提升,可靠性与完备性等非功能性因素导致的技术难题在共享系统数据模型研究过程中日益突出,完善和提升已有数据模型解决问题的能力,研发通用、便利、高效的新方法和新技术,成为共享系统数据模型新一轮的研究重点.

范畴论是计算机科学基础理论研究领域的一个重要方向,在数据库系统建模［1］、软件规范［2］和程序设计方法［3］等领域有广泛的应用.应用范畴论对共享系统数据模型进行研究,可有效融合共享系统数据模型传统的研究方法,为高效处理共享系统数据模型的语义计算及精确描述其程序逻辑提供一种基于范畴论的统一的数学框架,用以研究对象的普适性与相似性,适于建立较高抽象层次的数据模型.基于范畴论的共享系统数据模型,以下简称范畴数据模型,是传统数据模型研究方法在范畴论层面上的拓展与深化,特别是共代数方法（Coa1gebraic Methods）出现后,Monads与Comonads、Fibrations与OPfibrations等对偶范畴概念的有机结合,使得范畴数据模型在计算机科学的理论研究和工程实践中具有广阔的应用前景.

研究发现,范畴数据模型主要集中在范畴论基础、现状及当前面临的主要问题3个方面,本文从这3方面进行综述.受篇幅限制,本文内容不可能涵盖范畴数据模型这一领域的所有研究成果,只能概述其主要研究工作及成果.希望文本的研究能引起相关研究领域,特别是在形式语言理论和程序设计方法学等计算机科学基础理论研究领域的学者的兴趣与关注,进而共同推动范畴论及其在计算机科学中的应用与发展.

1　共享系统数据模型的范畴论基础

范畴是范畴论最基本的概念,其基本构成要素是对象和态射.虽然范畴的应用较为广泛,但目前尚未形成一个统一的范畴定义,本文从共享系统数据模型的研究角度,给出范畴的一种形式化定义.

范畴C满足下面3条基本性质∶

（1）匹配性质.若f o g有定义,则dom（f o g）＝dom（g）且cod（f o g）＝cod（f）；

（2）结合律性质.若 f o g与h o g有定义,则h o（f o g）＝（h o f）o g；

（3）等式射存在性质.∀A∈O bj C,存在唯一的单位态射1A∈M or C,使得下式成立∶dom（1A）＝cod（1A）＝A；如果dom（f）＝A,则f o 1A＝f；如果cod（f）＝A,则1Ao f＝f.

例1以形式语言中的数据类型Ti为对象,以函数（f∶Ti→Tj）为态射,构成形式语言范畴L.读者很容易验证形式语言范畴L满足定义1的3条基本性质.

在例1中,确定自然数、字符和布尔等一些基本的数据类型和函数,可将形式语言范畴L具体化一个面向特定应用领域的程序设计语言,解决一些简单的应用问题.同时,应用文献［3］提出的简单重用、扩张重用和选择重用方法可得到具有不同层次的形式语言,进而构成一个形式语言族范畴{Li}解决复杂应用领域的实际问题,便于工程设计人员开发出结构清晰、层次分明、正确可靠、易于维护的软件系统.同时,{Li}中的图表交换（Diagram Commuting）［4］性质也为系统开发人员提供极大的便利,根据个人偏好和系统需求选择适合软件系统开发特定阶段具有恰当抽象表达能力的语言以解决特定问题.

范畴论在计算机科学中的研究思路是将研究目标抽象为对象,将目标间的关系抽象为态射,在高度统一的范畴论框架内深入研究各种性质,如形式语言的语法构造,语义性质分析和语义行为描述等.当前部分基础数学文献的研究基于数理逻辑不预设集合论模型的考虑,所定义的范畴不要求态射构成一个集合,但从计算机处理离散对象的实际应用角度分析,将态射限定在集合内是合理的.若范畴全体对象与态射均构成集合,则该范畴是小范畴（Sma11Category）［4］,本文的研究对象均基于小范畴.

定义2令C、D为两个小范畴,函子F∶C →D由一对映射

例2任意范畴C都存在一个到自身的自函子F∶C → C.

函子是范畴间一种保持结构的映射,如定义1中的单位态射和复合操作等.单位函子是自函子的一种特例,如操作语义中的空命令skiP,并发进程的挂起操作等,而自函子的I/O返回类型相同.

定义3设P∶C→D是两个小范畴C，D间的一个函子,f∶C→D∈M or D,P（Y）＝D.对C中一个态射u∶X→Y∈M or C,如果P（u）＝f且对∀v∶Z→Y∈M or C与∀h∶P（Z）→C∈M or D,有f o h＝P（v）,并存在唯一的w∶Z→X∈M or C,使u o w＝v与P（w）＝h,则称态射u是f与Y的卡式射.

对f与Y的卡式射u,称u位于f上；类似地,称Y位于D上.若u是范畴C中的一个锥［4］,则由锥态射w的唯一性可知,定义3中的卡式射u是C中的泛锥（Universa1Cone）,即极限锥.相应地,泛锥u的顶点X为u的终对象［5］,而由泛锥的泛性质知卡式射u是一个同构.为简化问题陈述而又不失一般性,记定义3中f与Y卡式射u为.

定义4设P∶C→D是两个小范畴C，D间的一个函子,如果对∀Y∈O bj C与∀f∶C→P（Y）∈M or D,都存在一个f与Y的卡式射,则称P是一个fibration.

由定义4知,fibration本质上是一种确保大量卡式射存在的函子,对于一个fibration P∶C→D,称D为基范畴,C为全范畴.对基范畴D中的一个对象C,∃X∈O bj C,k∈M or C,若有P（X）＝C与P（k）＝1c, 则X与k构成的子范畴CC称为对象C上的纤维［4］,并称k为垂直态射.实际上,纤维CC是全范畴C的一个全子范畴.

例3设S et为集合范畴,∀X∈O bj S et,X上的一个谓词是一个二元组

取例3的谓词fibration Pre基范畴S et中态射g∶X→Y,对

例4以定义4中fibration P的基范畴的对象集O bj D构造共享系统数据模型的数据结构,基范畴态射集M or D描述共享系统数据模型的数据操作,而对共享系统数据模型中较为复杂的第三个元素语义约束,以全范畴对象集O bj C描述共享系统数据模型的语义性质和语义行为,全范畴态射集M or T对应O bj T间存在的语义关联,并以fibration P∶C→D及其各类函子,如真值函子与等式函子等,处理共享系统数据模型的语义约束.在范畴论的形式化理论框架内建立共享系统数据模型SD,SD＝（O bj B，Mor B，∑P）,O bj B为反映共享系统静态特征的各类数据结构,M or B描述共享系统状态变迁的动态行为,∑P为fibration P∶T→B及其各类函子构成的集合,建立SD中各类数据结构及其语义性质和语义行为间的密切联系,对应共享系统语义约束的依存规则.

例4中的数据结构O bj B与数据操作M or B是共享系统数据模型SD的基本要素,抽象描述共享系统的静态特征与动态行为,而SD的语义性质和语义行为则提供了一种从范畴论的角度深入探讨数据结构与数据操作关系及其性质的可行途径.

2　范畴数据模型的研究现状

为支持共享系统的用户以群体协作的方式高效完成任务,数据模型不仅要解决空间的分布问题,处理特殊领域的应用,而且要支持用户级的共享,其研究工作异常复杂,设计与研发也相当困难和艰巨.几十年来,学术界和工业界根据共享系统应用领域的业务需求、共享模式和企业信息系统结构特征,从不同角度提出了大量共享系统数据模型,代表性工作如以Hayes和Robert等人的黑板模型［6-7］、以DePao1i和Tisato等人的计算机支持的协同工作模型［8］、以郝忠孝和汤庸等人的时态数据模型［9-10］等.相对于传统共享系统数据模型,范畴数据模型的研究历程相对年轻.本文仅分析范畴数据模型的研究现状,传统共享系统数据模型读者可参见文献［11］.

范畴数据模型的发展与范畴论自身的基础理论研究密切相关,1985年Barr与We11s［12］系统分析了Monads与Comonads、Fibrations与OPfibrations等重要范畴论概念的对偶性质及其在拓扑斯（ToPos）中的应用,奠定了范畴共享系统数据模型的理论基础.20世纪90年代中后期共代数方法出现以后,范畴论许多对偶概念的数学性质得到系统化研究.Power对Monads与Comonads间的分配律运算进行了较为彻底地研究［12-14］,分析了Lawvere理论生成Comonads的数学性质［15］.Lenisa将Monads与Comonads间的分配律推广到其他弱化结构,并分析了Ei1enberg-Moore范畴和K1eis1i范畴的数学性质［16］.Hughes分析了Monads与代数、Comonads与共代数及其对偶性质［17］.Street应用2-范畴方法对Monads与Comonads间的混合分配律运算和弱分配律运算进行了研究［18］.以上的范畴论基础性工作为后期范畴共享系统数据模型的研究奠定了良好的理论基础,特别是对数据模型语义约束的研究产生了积极的推动作用,扩展了共享系统数据模型语义约束分析与处理的研究思路.

当前,范畴数据模型是共享系统数据模型在语义性质与语义行为等语义计算研究方面最活跃的一个领域,在程序语言的类型检查、多态计算、自动验证及面向对象语义处理等领域有广泛的应用.Lewis首先将Comonads工具引入环境传递语义计算研究中［19］,随后Uusta1u和Hasuo基于Comonads研究流计算、信号计算［20］和树结构转换［21］等问题,并建立上下文依赖范畴数据模型.

存储、I/O、异常与控制等计算效果通常与命令式程序语言相关,而函数式程序语言处理这类语义行为则被认为是脏计算（ImPure ComPutation）,但计算效果也可以通过Monads封装在一个纯函数式程序语言内［22］.基于这一思路,MØge1berg等学者应用范畴论方法构造了一个基于标称集Pitts范畴的元语言模型EEC（Enriched Effect Ca1cu1us）［23］,在P1otkin与Power幂域范畴内可将EEC应用到任何可表达的计算效果上.EEC是一种与Moggi的Monadic元语言［22］及Levy的ca11-by-Push-va1ue［24］相关的元语言模型,但在线性逻辑的构造上对它们进行了扩展,EEC的通用概念为范畴数据模型的语义约束提供了一个灵活的语义计算框架.

近期,Johnson等学者将OPfibrations应用到数据库视图函数式更新过程的即时语义研究中,特别是应用Grothendieck OPfibrations提出数据库范畴模型的c-1ens概念,研究数据库视图函数式更新过程的即时语义,为数据库视图更新问题提供了一种泛解决方法［1］.Ghani与Reve11等学者在Kennedy对计量单位的研究工作［25］基础上,提出λ1-fibration的概念,以其限定于卡式闭范畴的基范畴描述单位消除语义（Unit Erasure Semantics）,以全范畴描述关系语义,并由λ1-fibration归纳地构造参数化计量单位fibration,证明了UoM的一些基本定理,给出一些实例,在范畴论的层面对Kennedy A J的工作进行了扩展［26］.

范畴数据模型赋予传统共享系统数据模型一种新的思路,对数据模型的语义约束和行为语义研究产生了积极的推动作用.同时,由于范畴数据模型在解决抽象问题描述方面的独特优势及其在理论计算机科学,特别是在形式语言理论与程序设计方法学领域的广阔应用前景,已经引起科研工作者的浓厚兴趣.将范畴论方法引入共享系统数据模型研究中的重要意义不仅在于这一建模方法的独特优势和深厚的数学理论基础,更主要的原因在于范畴论融入传统共享系统数据模型的语义计算,这种独特思路的高度抽象性、灵活扩展性及简洁描述性,为形式语言理论和程序设计方法的研究产生极为深远的影响.

3　范畴数据模型研究当前面临的主要问题

范畴数据模型是共享系统数据模型研究中相对年轻的一个领域,尽管范畴数据模型及其应用已经引起一些学者的关注,也取得一定的研究成果,但目前仍存在以下主要问题.

3.1反映共享计算本质的内在规律仍需要进一步研究和完善

当前,工业界广泛应用的共享系统数据模型使用图形语言或文本语言工具直观上定义用户群体共享行为和业务共享过程,缺乏统一的概念和精确的形式化描述,在系统状态的一致性转换、模型转换的语义完整性等方面缺乏坚实的理论基础,导致数据模型的理论研究与实际应用脱节.究其主要原因,在于现有数据模型缺乏对共享机制内在规律的精确描述和准确表达,而这种内在规律系统、全面、充分地反映共享计算的本质,是深入分析用户群体共享行为和业务共享过程的基础.

反映共享计算本质的内在规律不拘泥于任何特定的共享计算环境,在较高的抽象层面上描述用户群体共享行为和业务共享过程,有效解决用户群体组织自适应问题,增强用户群体共享行为的协调性和灵活性,共享规则的普适性也为共享系统的应用集成提供有力支持.现有共享规律均侧重于不同应用领域设计,具有较强的倾向性与局限性.全面、系统地研究共享计算的本质,提出与设计具有高度抽象性、灵活扩展性与普适性的共享规则,建立一个便利、高效的基础性理论框架仍需要进一步研究与完善.

3.2范畴数据模型与传统数据模型的有机融合还需更多的研究工作和努力

目前,范畴共享系统数据模型只是初步应用于数据模型数据结构、数据操作和语义约束的分析与处理中,它与多类代数、等式理论和泛代数等传统数据模型建模方法的有机融合,特别是充分利用共代数方法在面向对象语言、代数规范及语义计算中的研究成果对其进行深入分析,还需要更多的研究工作和努力.

利用范畴论方法建立数据模型上形式语言模型,并进一步建立复杂共享系统的形式语言族模型,也是一个需要更多研究工作和努力的方向.例如现有文献只是应用范畴定义对形式语言族模型的范畴建模过程进行了简单证明,但是形式语言族模型构成复杂共享系统的许多元性质,如可靠性、完备性、可判定性与一致性等重要理论问题尚未解决,这也是当前将基于范畴论的数据模型应用于复杂共享系统语义分析和软件规范描述研究中所面临的最大挑战和难题之一.同时,应用函子的保持性质、反射性质和生成性质及自然转换复合定理深入分析数据模型构成高阶范畴的数学性质和语义解释也需要大量的研究工作.

3.3范畴论及其在共享系统数据模型中的应用研究仍需要进一步深化和完善

现代科学研究中,范畴论为各学科间多样化的联系提供了抽象、统一和简洁的数学语言.但范畴论自身也处于不断发展过程中,如Monads与Comonads、Fibrations与OPfibrations等对偶范畴概念分配律运算性质的深入研究、范畴C上小范畴的切片范畴C at/C中基于分裂OPfibrations的KZ-monads代数结构、C at/C中基于分裂Fibrations的CoKZ-monads代数结构、伴随函子的复杂性质与Monads结构、2-范畴理论的深入分析和数学解释、Comonadic函子存在的前提条件及其数学性质、基于范畴角度对拓扑系统的研究等许多方面还需继续深化和完善,而且需要将上述研究成果进一步从基本范畴,如集合范畴与偏序集范畴等,推广到群、环、拓扑空间和拓扑斯等其他复杂范畴,拓宽范畴论自身的数学宽度和深度.

在形式语言理论与程序设计方法学研究中,范畴论在程序语言设计、形式语义分析和程序正确性验证等理论计算机科学领域有着广泛的应用.数据模型可严格地建立在范畴论的数学基础上,虽然目前范畴数据模型研究已取得一定进展,但仍有许多问题并未引起足够关注和有效解决,如基于素描（Sketch）的范畴论方法对形式语言模型的复杂语义统一建模、模型范畴（Mode1Category）形式化框架内模型转换的正确性、对数据模型复杂语义约束的形式化描述、基于拉回（Pu11back）、等值子和极限等范畴论工具对数据模型语义约束中各类异构对象的集成、K1eis1i范畴与Cok1eis1i范畴在共享系统中的研究与应用、应用拓扑理论深入、系统地研究数据模型等也是范畴数据模型研究中需要解决的问题.

4　总结与展望

通过近几年对数据模型、范畴论及程序设计方法的研究和总结,本文认为目前范畴数据模型的研究领域呈现出以下新的特点和发展趋势∶（1）范畴数据模型为类型理论与程序设计方法等领域的研究提供了一个基于范畴论的形式化框架,将计算机科学中许多重要的基础理论有机融合起来,提供新的研究思路进而促进各相关理论的深入发展.如以Monads结构确定的K1eis1i范畴解释数据模型语义约束的外延语义,而Cok1eis1i范畴则可以解释内涵语义,更为重要的是,通过分配律确定的Bik1eis1i范畴可有机融合外延语义描述的各种计算副作用与内涵语义描述的内部计算细节,提高数据模型对语义约束抽象描述的扩展性、统一性与便捷性.（2）范畴数据模型的研究历程相对年轻,与传统数据模型的融合还存在许多问题有待解决.尤其是形式语言族模型构成复杂共享系统的可靠性与完备性等重要元性质的形式证明还未得到有效解决,使其在短期内无法得到广泛应用,这也是当前基于范畴论的共享系统数据模型在行为语义和规范描述研究中面临的最大难题之一.（3）范畴论自身的高度抽象性和理论复杂性,使其在计算机科学各研究领域中得到广泛应用,并建立起一套完整的基于范畴论的共享系统数据模型建模方法存在一定困难.但是应用范畴论工具深入研究共享系统数据模型已经引起学术界的关注与重视,在范畴论的数学框架内对数据模型复杂语义进行形式化建模,将对形式语言理论的研究、共享系统设计与实现的工程实践活动产生积极且深远的影响.

由于范畴论还在不断发展的过程中,将来会有越来越多的对偶关系和分配律被发现.展望范畴数据模型的进一步研究内容,本文认为至少有以下两个方面∶一方面,范畴论高度的抽象性、灵活的扩展性和简洁的描述性使其为类型理论、泛代数、共代数与程序设计方法等领域的研究提供了更为便捷的研究手段,并形成独特的研究思路,进而促进范畴论在计算机科学各相关研究领域的广泛应用和深入发展；另一方面,范畴论在共享系统数据模型语义约束中的研究与应用,特别是充分利用共代数方法在面向对象语言、代数规范及语义计算中的研究成果,形成范畴数据模型的研究成果,同时也促进了范畴论自身的发展,并为其在计算机科学领域中的进一步应用起到积极的推动作用.

范畴数据模型目前尚处于理论深化和完善阶段,具体的应用研究相对较少.作为多类代数、等式理论、泛代数等传统数据模型研究方法的继承与发展,范畴数据模型将为计算机科学中许多领域的研究及范畴论自身的发展带来积极和深远的影响,对其及时地展开研究具有重要的理论研究价值和广阔的应用前景.

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（责任编辑∶邵晓军）

中图分类号：TP301.2

文献标识码：A

文章编号：1007-5348（2015）10-0015-06

［收稿日期］2015-06-27

［基金项目］广东省自然科学基金项目（S2013010015944）；广东省高等学校优秀青年教师培养计划项目（YQ2014155）；韶关市科技计划项目（2013CX/K61）.

［作者简介］苗德成（1979-）,男,黑龙江伊春人,韶关学院信息科学与工程学院副教授,博士；研究方向∶形式语言理论与范畴论方法.

A Survey on Sharlng System Data M odel Based on Category Theory

MIAO De-cheng
（Schoo1 of Information Science and Engineering,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

Abstract∶Data mode1 is core and basis of design and deve1oPment for sharing system,and category theory has Particu1ar advantages on mode11ing sharing system data mode1,which Provides so1id math foundation for describing semantic comPutation and Program 1ogic accurate1y,meanwhi1e,it has wide aPP1ication ProsPect. This PaPer brief1y introduced some Primary and 1atest research fruits inc1uding categorica1 basis of sharing system data mode1,the status quo of sharing system data mode1 based on category theory and Present Prime Prob1ems.It is hoPed that it can raise the awareness of domestic researchers in re1ated fie1ds for sharing system data mode1based on category theory.

Key words∶data mode1；category theory；sharing system；semantic comPutation；fibration