王云权+王勇

填空题是历年高考创新改革题型的“试验田”，近年来相继推出了一些能力立意、构思精巧、情境别致，具有相当深度和明确导向的创新题型，使高考数学卷充满活力和魅力，其中多选填空题就是这样的一种新题型.多选填空题就是在一个问题情景中或一个新定义下，给出多个相关命题，要求考生对每个命题判断其真假，最终写出满足要求的所有命题的序号，少填、多填或错填均为零分，多选填空题不相信眼泪！下面采撷三道典型试题并予以深度解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

例1 （2014年安徽卷文15）若直线l与曲线C满足下列两个条件：

（ⅰ）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切;（ⅱ）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.

下列命题正确的是 .（写出所有正确命题的序号）

①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3;

②直线l：x=-1在点P（-1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2;

③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx;

④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx;

⑤直线l：y=x-1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx.

命题意图 本题是有关导数几何意义的新定义综合问题，主要考查导数的几何意义、导数运算、函数图象、直线的点斜式方程等知识，考查数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力.

解析 对于①，y′=3x2，y′|x=0=0，所以l：y=0是曲线C：y=x3在点P（0，0）处的切线，画图可知曲线C：y=x3在点P（0，0）附近位于直线l的两侧，①正确;对于②，y′=2（x+1），y′|x=-1=0，所以l：x=-1不是曲线C：y=（x+1）2在点P（-1，0）处的切线，②错误;对于③，y′=cosx，y′|x=0=1，在点P（0，0）处的切线为l：y=x，画图可知曲线C：y=sinx在点P（0，0）附近位于直线l的两侧，③正确;对于④，y′=1cos2x，y′|x=0=1cos20=1在点P（0，0）处的切线为l：y=x，画图可知曲线C：y=tanx在点P（0，0）附近位于直线l的两侧，④正确;对于⑤，y′=1x，y′|x=1=1，在点P（1，0）处的切线为l：y=x-1，令h（x）=（x-1）-lnx（x>0），可得h′（x）=1-1x=x-1x，令h′（x）=0得x=1，当0<x<1时，h′（x）<0，h（x）在（0，1）上单调递减;当x>1时，h′（x）>0，h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）min=h（1）=0，故h（x）=（x-1）-lnx≥0，即x-1≥lnx，由此可知曲线C：y=lnx在点P（1，0）附近位于直线l的下侧，⑤错误.综上可知，所有正确命题的序号为①③④.

点评 解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：①切点在曲线上;②切点在切线上;③切点处导函数值等于切线的斜率.多选填空题一直是安徽高考数学卷的一大特色，这类题型涉及的知识面广，知识挖掘有一定的深度，求解时往往一“处”不慎，满盘皆输.

例2 （2014年安徽卷理15）已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成，记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 .（写出所有正确命题的序号）

①S有5个不同的值;

②若a⊥b，则Smin与a无关;

③若a∥b，则Smin与b无关;

④若b>4a，则Smin>0;

⑤若b=2a，Smin=8a2，则a与b的夹角为π4.

命题意图 本题是向量运算的综合问题，主要考查向量的数量积运算、夹角公式、不等式的性质，考查分类讨论、函数与方程思想，属于难题.

解析 若S的表达式中有0个a·b，则S=2a2+3b2，记为S1;若S的表达式中有2个a·b，则S=a2+2a·b+2b2，记为S2;若S的表达式中有4个a·b，则S=4a·b+b2，记为S3.所以S最多有3个不同的值，①错误;因为a，b是不相等的非零向量，

所以S1-S2=2a2+3b2-a2-2a·b+2b2=a2-2a·b+b2=a-b2>0S1>S2，

S1-S3=2a2+3b2-4a·b-b2=2a2-4a·b+2b2=2a-b2>0S1>S3，

S2-S3=a2+2a·b+2b2-4a·b-b2=a2-2a·b+b2=a-b2>0S2>S3，

所以S1>S2>S3，故Smin=S3=4a·b+b2，又a⊥ba·b=0，

所以Smin=b2与a无关，②正确;

因为a∥b，则Smin=S3=b2+4ab或Smin=b2-4ab，显然与b有关，③错误;设a，b的夹角为θ，因为b>4a，

则Smin=b2+4abcos θ≥b2-4ab=bb-4a>0，故Smin>0，④正确;

设a，b的夹角为θ，因为b=2a，所以Smin=4a2+8a2cos θ=8a2，所以cos θ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=π3，⑤错误.

综上可知，所有正确命题的序号为②④.

点评 本题考查了平面向量的数量积、不等式等知识;考查了综合分析能力、运算推理能力;题目设计背景新颖，逻辑性强;通过枚举法得S仅有三个可能值是解题的突破口，运算推理或恰当放缩是辨别正误的关键.

例3 （2014年四川卷理15文15）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sin x时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B，现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“b∈R，a∈D，fa=b”;

②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值;

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）B;

④若函数f（x）=alnx+2+xx2+1x>-2，a∈R有最大值，则f（x）∈B.

其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）

命题意图 本题考查抽象函数及函数的定义域和值域等基础知识，意在考查考生对函数概念的理解能力及构造反例的能力.

解析 对于①，根据题中定义，f（x）∈A函数y=f（x），x∈D的值域为R，由函数值域的概念知，函数y=f（x），x∈D的值域为Rb∈R，a∈D，fa=b，所以①正确;对于②，举反例：函数f（x）=12x的值域为（0，1]包含于区间[-1，1]（相当于存在M=1），所以f（x）∈B，但f（x）有最大值1，没有最小值，所以②错误;对于③，用反证法：假设f（x）+g（x）∈B，则存在一个正数M1，使得函数f（x）+g（x）的值域包含于区间[-M1，M1]，所以-M1≤f（x）+g（x）≤M1，由g（x）∈B知，存在一个正数M2，使得函数g（x）的值域包含于区间[-M2，M2]，所以-M2≤g（x）≤M2，亦有-M2≤-g（x）≤M2，两式相加得-M1+M2≤f（x）≤M1+M2，于是f（x）∈B，这与已知“f（x）∈A”矛盾，故f（x）+g（x）B，即③正确;对于④，如果a>0，那么x→+∞，f（x）→+∞;如果a<0，那么x→-2，f（x）→+∞，所以f（x）有最大值，必须a=0，此时f（x）=xx2+1，在区间-2，+∞上，f（x）=xx2+1，当x=0时，f（x）=0;当x≠0时，f（x）=xx2+12≤x2x=12，当且仅当x=±1时取等号，所以-12≤f（x）≤12，即f（x）的值域为-12，12，从而f（x）∈B，即④正确.综上可知，所有真命题的序号为①③④.

点评 本题考查集合、逻辑与函数语言的理解与表达，考查抽象的数学语言的阅读理解与推理论证能力，其中还考查了极限法的巧妙应用.

综上所述，多选填空题一般文字表述较长，问题新颖，所需要解决的问题较多，重点考查阅读理解能力和独立学习的潜能，考查分析问题和研究问题的能力以及创造性地解决问题的能力.多选填空题综合性强、难度极大，是填空题中的压轴题，是全卷得分率最低的题型，具有较强的区分和选拔功能.在平时教学中应加强题型训练，善于总结解题规律，高考时才能从容应对，闯关成功.