笔者在文[1]就基本不等式的“局部”应用作了一点探讨，经笔者对近年高中数学试题的进一步研究发现，“局部”二字已成为高中数学试题新的命制点，特归类整理说明如下，供参考：

1 “局部”基本不等式

在求多元条件下的最值时，无法一次性直接应用基本不等式，只能“局部”应用.

例1 （2010年四川）设a>b>0，则a2+1ab+1a（a-b）的最小值为 .

解

a2+1ab+1a（a-b）=a2-ab+ab+1ab+1a（a-b）

=a（a-b）+1a（a-b）+ab+1ab≥2+2=4.

当且仅当a=2，b=22时，等号成立.所以a2+1ab+1a（a-b）的最小值为4.

注 “局部”基本不等式，我们已在文[1]做了归纳与说明，这里不再重复.

2 “局部”线性规划

在线性规划问题中，当目标函数的代数或几何意义不明确或无法指定时，不能一次性直接应用线性规划，只能“局部”应用线性规划.

例2 已知实数x、y满足2x-y≤0，

x+y-5≥0，

y-4≤0，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是 .

分析 好多学生是这样做的：直接由a（x2+y2）≥（x+y）2得：a≥（x+y）2x2+y2，则a≥（x+y）2x2+y2max，而（x+y）2x2+y2=1+2xyx2+y2≤2（当x=y时，取“=”号），所以a≥2，即实数a的最小值是2.根本用不到题中已知的不等式组，也就是说：题中的不等式组是多余条件，这样的解题肯定是错误的.也有学生这样思考，按理说：这应该是一道线性规划题，我们应该通过可行域来求出（x+y）2x2+y2max，可这怎么求啊！表达式（x+y）2x2+y2不具有很明确的代数或几何意义，绝大多数学生无法进行下去，只有少部分学生认为：（x+y）2x2+y2max=（x+y）2max（x2+y2）min，这样一来，（x+y）2max和（x2+y2）min均具备了很好的几何意义，结合可行域，可得：（x+y）2max=（2+4）2=36，（x2+y2）min=（53）2+（103）2=1259，所以得到：（x+y）2x2+y2max=361259=324125.实际上，（x+y）2在点（2，4）处取最大值;而x2+y2在点（53，103）处取最小值，显然这也是错误的.

解 由a（x2+y2）≥（x+y）2得：a≥（x+y）2x2+y2，则a≥（x+y）2x2+y2max.

设z=yx，则（x+y）2x2+y2=1+2xyx2+y2=1+2xy+yx=1+2z+1z.

由线性规划知识易得：z=yx∈[2，4]，z+1zmin=2+12=52，

（x+y）2x2+y2max=1+2z+1zmin=1+45=95.

所以实数a的最小值是95，而不是2.原因很简单，因为yx∈[2，4] 所以x就不可能等于y，也就是说：我们只能得到：a>2，同样的，我们也只能得到：a>324125.

3 “局部”绝对值

3.1 “局部”绝对值函数

y=f（x）、y=f（x）这两种函数已为广大师生所熟悉，其处理方法可谓是人人皆知.但当函数解析式当中局部自变量或局部表达式含有绝对值时，就出现了一种新的函数，在此，我们把它称之为：“局部”绝对值函数，这类函数很新，有一定的难度，是不少学生的克星，很难对付.不用怕，去绝对值，分段是根本.

例3 （2012年某市模拟）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=kx+1与曲线y=∣x+1x∣-∣x-1x∣有四个公共点，则实数k的取值范围是 .

解 易知函数y=∣x+1x∣-∣x-1x∣为偶函数，所以只需在（0，+∞）上研究问题，

去绝对值后，可得：y=2x，0<x<1，

2x，x>1，而直线y=kx+1恒过定点（0，1），结合图像易得：当直线斜率为0或在（1，+∞）上与曲线相切时，符合题意，

再结合曲线的对称性，可得：实数k的取值范围是-18，0，-18.

评析 这里的函数y=x+1x-x-1x含有两个独立的绝对值，如何分段，去绝对值成为难点，而如能发现此函数为偶函数的话，那问题就不那么棘手了.

例4 设函数f（x）=x|x|+bx+c（x∈R），给出下列4个命题：

①当b=0，c=0时，f（x）=0只有一个实数根;②当c=0时，y=f（x）是偶函数;③函数y=f（x）的图像关于点（0，c）对称;④当b≠0，c≠0时，方程f（x）=0有两个实数根.上述命题中，所有正确命题的个数是 .

解 f（x）=x2+bx+c，x≥0，

-x2+bx+c，x<0，而当b=0，c=0时，f（x）=x2，x≥0

-x2，x<0结合图像易知①正确;当c=0时，f（-x）=-x-x-bx=-xx-bx=-f（x），为奇函数，所以②错;由f（x）+f（-x）=（xx+bx+c）+（-x-x-bx+c）=2c可得：函数y=f（x）的图像关于点（0，c）对称，所以③正确;当b≠0，c≠0时，不妨取：b=2，c=1，结合图像，可得：方程f（x）只有一个实数根，所以④错.所以正确命题共2个.

评析 很多学生都怕这种多选类的题型，很难做对，不能出一点差错，每一小问都必须很仔细地去面对.而这里再加入“局部”绝对值以及两个参数，更增加了此题的“难度”.而由以上解题过程，我们发现：实际上，此题一点都不难，这里，告诉我们一个经验，在面对难度最大的④时，取特殊值可是很快捷的途径.

例5 （2010年江苏） 设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|.

（1）若f（0）≥1，求a的取值范围;

（2）求f（x）的最小值;

（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞）直接写出（不需给出演算步骤）不等式h（x）≥1的解集.

解 （1）若f（0）≥1，则-a|a|≥1a<0

a2≥1a≤-1.

（2）当x≥a时，f（x）=3x2-2ax+a2，f（x）min=f（a），a≥0

f（a3），a<0=2a2，a≥0

2a23，a<0

当x≤a时，f（x）=x2+2ax-a2，f（x）min=f（-a），a≥0

f（a），a<0=-2a2，a≥0

2a2，a<0

综上f（x）min=-2a2，a≥0，

2a23，a<0.

（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1得3x2-2ax+a2-1≥0，Δ=4a2-12（a2-1）=12-8a2.

当a≤-62或a≥62时，Δ≤0，x∈（a，+∞）;

当-62<a<62时，Δ>0，得：

x-a-3-2a23x-a+3-2a23≥0

x>a

讨论得：当a∈22，62时，解集为（a，+∞）;

当a∈-62，-22时，解集为：

a，a-3-2a23∪a+3-2a23，+∞;

当a∈-22，22时，解集为：

a+3-2a23，+∞.

评析 此题是2010年江苏高考的函数压轴题，函数不仅含“局部”绝对值，而且分段的那个点居然是个动点.分段后，还要再讨论，此题综合考查了考生灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题等多种能力，是一道锻炼学生思维能力的好题.

3.2 “局部”绝对值数列

由于数列是特殊的函数，所以在数列题中，也就自然的出现了“局部”绝对值.

例6 （2013年某市模拟）已知数列an=n-16，bn=（-1）nn-15，其中n∈N*.

（1）求满足an+1=bn的所有正整数n的集合;

（2）n≠16，求数列bnan的最大值和最小值;

（3）记数列{anbn}的前n项和为Sn，求所有满足S2m=S2n（m<n）的有序整数对（m，n）.

解 （1）略.（2）bnan=（-1）nn-15n-16.

（ⅰ）当n>16时，n取偶数，bnan=n-15n-16=1+1n-16.当n=18时（bnan）max=32，无最小值.

n取奇数时bnan=-1-1n-16，n=17时bnanmin=-2，无最大值.

（ⅱ）当n<16时，bnan=-（-1）n（n-15）n-16.当n为偶数时，bnan=-（n-15）n-16=-1-1n-16.

n=14时，bnanmax=-12;

n=2时，bnanmin=-1314.

当n为奇数，bnan=n-15n-16=1+1n-16，

n=1，（bnan）max=1-115=1415，

n=15，bnanmin=0.

综上，bnan最大值为32（n=18），最小值-2（n=17）.

（3）n≤15时，bn=（-1）n-1（n-15），a2k-1b2k-1+a2kb2k=2（16-2k）≥0，n>15时，bn=（-1）n（n-15），a2k-1b2k-1+a2kb2k=2（2k-16）>0，其中a15b15+a16b16=0，所以S16=S14，m=7，n=8.

评析 此题的条件很是新颖，看上去很简单，但实际做起来，不怎么轻松，第（2）小题须进行2重分类讨论，而第（3）小题具有很强的技巧性.在此，我们希望此题的出现能引起广大师生的注意，它可能是一个大风暴的前奏，望大家多加提防.

通过上述6道例题的求解，我们发现：在“局部”着眼，在“局部”命题，已在高中数学多处出现，此类试题以其独到的考查角度和方式达到了非常好的命题效果，很是值得我们广大师生密切关注.

参考文献

[1] 朱传美，翟放明.例谈基本不等式的“局部”应用[J].中学数学月刊，2013（4）.

作者简介 朱传美，男，江苏兴化人，1976年4月出生，中学一级教师，泰州市教学能手，对高考数学试题有一定研究，发表论文80多篇.