赵泽福

（昭通学院 数学与统计学院，云南 昭通 657000）

所谓存在性问题是相对于中学数学课本中有明确结论的封闭型问题而言的，这类试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖、构思精巧，具有相当的深度和难度.它侧重考查学生的分析、探索能力和思维的发散性，因此对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.

相当多的数学问题研究的是关于某种性质的数学对象是否存在，或一数学对象是否存在某种特定性质.因此存在性问题是指涉及到的某种数学对象是否存在的问题.在数学问题中常以：一定存在；一定不存在；是否存在等三类形式出现.

一、“一定存在”型，即有适合某种条件或符合某种性质的对象，题目中常含有“至少有”、“一定有”、“存在”、“必然有”等词语，其结论只要求存在，不必确定.对于这类问题，无论用什么方法,只要找出一个，问题就足以解决.这就要求学生必须有扎实的基础知识和思维敏捷、推理严密、联想丰富等素质，因此是中学数学竞赛的难点之一，常出现在代数、数论、几何等问题中.处理此类问题，多数时候是根据问题的性质特征，分别以抽屉原理、极端原理等为理论基础，构造相应的抽屉或者具体实例，使研究的数学对象及其特征的存在得以肯定即可.

（一）、抽屉原理俗称鸽笼原理，最先是由19世纪德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题，所以又称狄利克雷原理.该原理的应用常常与反证法思维结合在一起.

适合应用抽屉原理解决的数学问题具有的特征是：新给的元素具有任意性，如n+1个苹果放入n个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让一些抽屉空着.问题的结论是存在性问题.对于具体的可以应用抽屉原理解决的数学问题，应搞清楚三个问题：1什么是“苹果”？2什么是“抽屉”？3苹果、抽屉各是多少？

用抽屉原理解题的基本思路是根据问题的自身特点，弄清楚对哪些元素进行分类，找出规律，从而构造合适的抽屉.一般来说，剩余类、数的分组、平面图形的划分、染色等，都可作为构造抽屉的依据.当然这一简单的思维方式，在解题过程中却演变出许多奇妙的变化和颇具匠心的精彩画面，值得我们去欣赏体会，因此在数学竞赛会经常见到它的踪影.

例1 证明任意6个人中至少存在3个人或是互相认识，或是互相不认识.（匈牙利，1947）

证明 在这六个人中任意取定一个人P，设A、B两集合分别为：A={与P认识的人}，B={与P不认识的人}.根据抽屉原理，剩余的 5个人 a、b、c、d、e中至少有3个人同属于集合A或者集合B，不妨设 a、b、c同属于集合 A.则对 a，b，c三个人来说，若他们彼此不认识，则问题得证.否则若a，b，c中有两个人互相认识，不妨假设这两个人是a和b，则P，a，b三个人互相认识.问题也得证.

例 2 对任意正实数a、b、c均有：(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ac)（美国奥林匹克试题，2004）

解析 由于不等式左边展开式中含有a2,b2,a2b2…等项，构造含a2,b2,a2b2…的不等式就成为解决问题的关键.因为 a、b、c∈R+，现把区间(0,+∞)分割成 A=(0,1]，B=[1,+∞)两个区间，由抽屉原理知，三个正实数a、b、c中必有两个同属于一个区间A或者 B.不妨设正实数 a、b∈A，则有(a2-1)(b2-1)≥0成立，从而 a2b2+1≥a2+b2圳2a2+2b2+a2b2+4≥3a2+3b2+3圳(a2+2)(b2+2)≥3(a2+b2+1)，即有(c2+2)(a2+2)(b2+2)≥3(a2+b2+1)(c2+2)=3(a2+b2+1)(1+1+c2)，由柯西不等式3(a2+b2+1)(1+1+c2)≥3(a+b+c)2，现就只需 3(a+b+c)2≥9(ab+bc+ac)成立，即需(a+b+c)2≥3(ab+bc+ac)成立，即需 a2+b2+c2≥ab+bc+ac……（※）成立.由均值不等式（※）是容易证得的.

评析：在有些数学问题中会隐藏着“存在性”的已知条件，这并不是简单随意增加已知条件，而是客观存在的.因此我们对所研究的问题要敏锐洞察善于挖掘，从而得到其精髓所在.

（二）、由于极端原理与大量“存在性”问题有着密切的关系，因此极端原理也是解决存在性问题的利器.

以数字必须绝对准确为其特征的数学，也常常要在极端的条件下使用数字，当然这不是一种“容许”的夸张，而是要在如果“不容许”的情况下，看它会发生什么后果，以帮助我们发现问题的本质.

数学家在解决数学问题时，经常要先从下面一些角度考虑问题：诸如“假如一个都没有”、“假如每一个都有”、“假如每一个至少有”、“假如每一个最多有”、“如果只有唯一的一个”、“如果是最特殊(如最大、最小、最长、最短、最多、最少、最左、最右等)的一个”等极端情况，在这种极端的状态下，往往能使问题的关键节点暴露出来，所暴露出来的关键节点，就可以帮助我们找到解题的途径.这种思想，在数学中称为极端原理思想.

极端原理的理论基础是最小数原理，最小数原理I：设M是正整数集的一个有非空子集，则M中必有最小数；最小数原理Ⅱ：设M是实数集的一个有限的非空子集，则M中必有最小数；推论：设M是实数集的一个有限的非空子集，则M 中必有最大数.用极端原理解题，就是重点放在所研究问题的极端情况.

例3 已知平面上有2n+3个有限点，其中无三点共线，也无四点共圆.求证：存在三点，过这三点的圆使其余2n个点一半在圆内，一半在圆外.

分析：求解此题时，不妨先考虑n=1这种极端情形.此时平面上有5个点，在这五个点中，可找到两点 A、B，使其余三点 P1、P2、P3都在直线 AB的同侧，由于任意四点不共圆，则P1、P2、P3对线段AB的张角 θ1、θ2、θ3必互相不等，不妨设为 θ1<θ2<θ3，这时过 A、B、P2三点作圆，则 P1在圆外，P3在圆内.于是便得到此问题的证明思路了.

评析：在准备求解不熟悉的复杂问题时，我们不妨用满足题目条件的某些极端（或特殊）情形进行试探，常常会探得有效的、意外的解题途径，最后打开解题思路.这种思想方法在竞赛数学中非常常见.

例 4 设集合A1,A2… An与 B1,B2…Bn均是集合M的一个分划，已知对任意两个不交的集合Ai,Bj(1≤i,j≤n)均有 |Ai∪Bj|≥n，求证：|M|≥n2/2

证明 由最小数原理I，必存在一整数k，使得k=min{|Ai|,|Bj|,(1≤i,j≤n)}，不妨设|A1|=k.（i）若k≥n/2，则由若k2k，及n-k>k>0，则有|M|=，问题得证.

评析：从|Ai|与|Bj|的最小值出发，较好地把握了其他集合的元素个数，是处理此问题的关键.

例5 求证：存在1996个连续的正整数，它们之中恰有一个素数.

证明 （仿效欧几里得“素数个数无穷多个”的证明方法）设N=1996!+1，则N+1,N+2，……N+1995即为连续的1995个合数.因为素数个数无穷多个，则由极端原理可设p为大于N的最小素数，则p>N+1995，及有p≥N+1996.因此从N到素数p之间有不少于1995个合数，就取p-1995、p-1994、……p-1、p这1996个连续的正整数，其中只有p一个为素数.

评析：应用极端原理展开想象，在处理“一定存在”性问题中也是独具特色的.

二、“一定存在”的对立面就是“不存在”.“不存在”型问题即为：无论用什么方法，都找不出一个适合已知条件或某种性质对象的问题，这类问题一般需要推理论证或说明理由.在无限个候选对象中,证明某种数学对象不存在时，若采用逐一排除，几乎不能实行.这就要使用反证法，反证法是数学家最精良的武器，而极端原理与反证法连用在竞赛数学中也是最精彩的表现.

例6 求证：不定方程x2+y2-19xy=19………①无整数解.

证明 假设①有整数解(x,y)，x,y肯定均不等于0，又|19xy|>19，则x,y一定同号.则现在就只讨论方程①的正整数解，由极端原理，令(a,b)是方程①的所有正整数解中a+b最小的一组解.由x,y的对称性不妨设a≥b.则a是方程x2-19bx+b2-19=0……②的一个正整数解，设方程②的另一个解为c，由韦达定理知c=19b-a，则c为整数.所以(c,b)是方程①的另组整数解，又b>0，则c>0，因此(c,b)是方程①的另组正整数解，又对方程②由韦达定理知c=，即 b>c，则 a>c.因此 a+b>c+b，这与(a,b)是方程①的所有正整数解中a+b最小的一组解矛盾.所以方程①无整数解得证.

例7 设a,b为正整数，ab+1整除a2+b2，求证：是完全平方数（第29届IMO试题）.

评析：第1～49届IMO，负责命题的主试委员会没办成一件事：编出一道试题让每位选手束手无策，相反却有一道试题，就是此题！主试委员会中谁都不会做，后又交给当时的世界顶尖数论专家去解，几天后仍然没头绪.但是有11名参赛选手却做出了正确解答，其中保加利亚一名选手解法最简，就是这种解法！他因此获得本届IMO特别奖.

三、“是否存在”属结论不确定的探索性、开放性问题，有两种可能：若存在，需找出来；若不存在,则说明理由.竞赛数学中的此类问题一般是先假定对象存在或是不存在，将“讨论型”存在性问题转化为“一定存在”型或“不存在”型问题处理.这是解决“讨论型”存在性问题的一种重要方法.

例8 已知a1,a2…an与b1,b2…bn是2n个正数，且中是否存在一个不大于1的数.（广东省数学竞赛题）

抽屉原理、极端性原理是解决竞赛数学中“存在性”问题的一个重要方法,只要我们善于运用这两个原理,在数学解题时，就会思路变得更清晰,计算更便捷,方法更精妙.

〔1〕朱华伟.从数学竞赛到竞赛数学[M].北京:科学出版社,2009.8.

〔2〕朱华伟,钱展望.数学解题策略[M].北京:科学出版社,2009.8.

〔3〕陈传理,张同君.竞赛数学教程[M].北京:高等教育出版社,2013.9.

〔4〕穆伟玲.高中数学备考要领[J].时代报告（学术版）,2011（8）.