陈衍峰

(通化师范学院数学学院，吉林通化134002)

高等数学课程是高等师范院校非数学专业开设的一门非常重要的必修基础课。高等数学课程对培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题能力、建立数学模型能力以及全面培养和提升学生的综合素质具有重要的作用。同时，高等数学也是硕士研究生考试三门基础科目之一。因此，高等数学一直是现代教育体制下高等师范院校非数学专业学生学习的重点，也是各教学部门关注的焦点。

高等数学除了教学内容不同于初等数学外，其授课模式和课程要求的任务、目标和期望都与初等数学有区别。高等数学教学按照一定的目的、要求，以培养和提升学生的综合素质和可持续发展能力为最终目标。初等数学教学改革正在如火如荼地进行，高等数学改革也势在必行。传统的高等数学教学模式已不能完全适应不断发展的教学改革。如何搞好高等数学教学，提高教学质量和教学效果，进行有效的创新，是每个高等数学教师必须思考的问题。

1 “深层次”教学方法概述

按教学内容划分，可把高等数学课堂教学分为概念教学和解题教学。在进行概念教学时，教师应挖掘数学表层知识里蕴含的深刻数学思想，注重数学思想方法教学;在进行解题教学时，教师应挖掘题目类型所包含的本质内容，揭示数学解题的思维过程，注重解题理论的引导。这种以讲解思想、挖掘本质和探寻意义，使学生在理解知识的基础上学会思考问题为目的，让学生通过记忆的方式把已有的知识继承下来的教学方法，被称为“深层次”教学方法。

“深层次”教学方法是进行高等数学课程教学改革的有益探索，其在概念教学和解题教学中都有所渗透。“深层次”教学方法的目的是使学生通过对数学概念的掌握和运用，最终理解和掌握其数学思想，使学生通过对数学题目的思考和运算，逐步提高思维能力。因此，“深层次”教学方法是使学生牢固掌握基础知识，培养数学能力，“既高分，又高能”的重要举措。

2 树立正确的高等数学学习观

数学学习贯穿了每个学生的小学和中学生涯。不同的学生对数学有不同的认识:一部分人认为数学就是用不同的技巧来解答各种题目;另一部分人认为数学是一种思维方式。这两种不同的观念导致两种不同的数学学习方法:一种是重视做题，关心具体解题的操作步骤，通过记忆达到考试过关的目的;另一种是在处理数学问题的过程中关注同类题目，只做少量习题，注重理解、领会题目所包含的数学原理、数学方法。

笔者经过多年教学研究发现，在中学应试教育模式下，由于数学教师每日布置大量的书面常规作业任务和对高考这一必须达成的目标的渴望，持这两种不同观念和学习方法的学生的学习成绩相差无几，差异不明显;到了大学阶段，由于高等数学的内容较初等数学更加抽象、难以理解，并且课程要求的任务、要达到的目标和期望要比初等数学少得多，因此在同样的环境、同样的师资条件下，持两种不同观念的学生的差异就凸显出来了，前者基本上连考试都不能顺利通过，后者却能取得很好的成绩。

在学习高等数学时产生这种差异的主要原因，在于学生各自不同的数学学习观念引导他们用不同的方法学习高等数学课程。作为高等数学任课教师，要想提高教学效果，在高等数学教学过程中必须注重数学思想、数学原理方法的引导，通过改变学生的学习认知环境，逐步向他们灌输正确的高等数学学习观，即学习高等数学的目的并不是学习这门课程的具体内容，而是提高逻辑思维能力。在学习高等数学的过程中应注重课程本质的学习，从认识的高度看问题，从大局出发看问题，把所学的内容看作整体的一个部分，思考所学内容和以前学过的其他内容的关系，弄懂各个部分是怎样组合起来的，从理论与方法的角度思考其发展方向及可能产生的结果，从而逐步养成分析问题、判断问题、解决问题的能力。

3 “深层次”教学方法在高等数学教学中的运用

数学概念是反映现实世界中结构形式和数量关系的思维形式，是数学运算、推理、证明的依据，是数学思维活动的核心和基础。数学概念教学质量直接影响学生数学思维能力与品质的形成和发展。数学题目是数学概念的具体反映，一切概念、定理、法则都要通过题目来表达。对一个概念是否理解，对一个定理是否认同，对一个法则是否会用，不能仅以会不会背书本内容来衡量，必须经过思考、推理、证明和应用才算达到要求。因此，解题教学在数学教学中也起着非常重要的作用。

3.1 概念教学中注重数学思想方法的渗透

概念教学主要包括对基本概念、基本定理、基本公式和基本法则等的讲授。概念、定理、公式和法则等只是数学知识的外在表现形式，是数学的表层知识。数学教学还应蕴含深刻的数学思想方法。只有在理解数学思想的高度上掌握数学概念，才能更好地形成数学能力。教师在进行概念、定理、公式和法则等教学时，要加强数学思想方法的教学，注意剖析这些概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、规律被揭示过程中蕴含的数学思想的发生过程，并将这一过程中丰富的思维训练因素挖掘出来。

著名数学家波利亚在三四十年前曾统计，中学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占总人数的1%，使用数学的占27%，基本不用或很少用数学的占72%。那为什么人人还要学数学?这是因为社会各行各业、各部门虽然对数学知识要求的深度和广度不同，但对人的素质的要求是共性的。比如对步入社会的人的要求包括:具备严谨的工作态度，在处理日常工作事务中具有善于分析、归纳总结、综合比较、分类评析、概括判断的能力。实际工作者、科研工作者，特别是决策部门工作人员更需要逻辑论证、严密推测的科学方法与工作作风，这一切都是从其他课程中学不到的，只有学习数学并通过数学思维方法的渗透才得以培养训练。

在概念教学中渗透数学思维方法，可以使学生的思维素质得到很大的提升。高等数学中蕴含的数学思想方法包括抽象、归纳、猜想、观察、演绎、一般化与特殊化、近似、极限等。教师应当通过高等数学课程的教学，将这些数学思想方法潜移默化地渗透给学生，提高他们的思想素质、创新能力。但是，目前的教材注重的是知识的传授，这就需要教师熟悉教材和相关知识，对内容进行全面深入的分析，大胆进行取舍，有计划、有步骤地传达不同的数学思想方法。通过富于逻辑的讲授，真正启发学生的思维活动，使之保持连贯性。例如，讲授数列极限内容时，“ε－N”定义是学生难以理解的基本概念，可以先通过具体数列，比如，运用逻辑推理一层一层地加以分析引导，使学生具体看到“无限趋近”的情形，由抽象到一般，然后引出数列极限的定义。这一过程与教材上先给出定理再给出证明的方式大不相同，而是给出了接近数学知识发现过程的一个模拟过程，使学生加深对数学本质的认识，学生从中可以领略到数学除了抽象、严肃外，还需要观察、归纳、直观，数学发现的过程是一个充满魅力的过程。领略了这样的过程，解开了数学神秘的面纱，学生学习数学的兴趣也会越来越浓。

3.2 解题教学中注重解题理论和方法的结合

解题教学既包括讲解数学题的基本运算，又包括数学问题解决的基本规律。在实际教学中，很多教师的解题教学采用“类型+解法”的方式进行。用这种方式教出来的学生，应对考试时能够合格过关，但对数学这种高级思维活动而言，更多地停留在操作层面上，没有从更深的层次、更高的理论层面上分析归纳解题的理论。

例如，在讲分部积分公式∫uv'dx=uv－∫vu'dx的应用时，很多教师只是给出了分部积分公式的使用方法(u、v因子的选择)或根据经验直接给出u、v因子的选择规律;“反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数，当两两相乘时，前者为u，后者为v'”，没有从更深的层次、更高的理论层面上分析、因子选择的原则。实际上，分部积分公式将导数从v因子转移到了因子，转移的目的是将不同结构的被积函数通过求导运算改变其中一种因子的结构，使被积函数的因子结构统一，从而简化积分结构，达到方便计算的目的。在选择u、v因子时，就应考虑求导后能够改变结构的因子为u。以五类基本初等函数为例，幂函数、指数函数、三角函数求导后结构不变;而反三角函数、对数函数，求导后结构改变为有理函数或无理函数。因此，u、v因子的选择规律为:反三角函数和对数函数会排在幂函数、指数函数、三角函数之前。挖掘出分部积分公式的内涵后，学生在应用分部积分公式选择u、v因子时，自然会先对积分结构进行分析，确定出难以处理的困难因子，再利用分部积分公式进行计算。由此可见，要发展学生的思维，解题教学不能仅采用“类型+解法”的方式进行，还应该深层次地挖掘题目类型所包含的本质内容，揭示数学解题的思维过程，使学生在巩固已学知识的同时，领悟其本质，进而创造出新知识，达到培养学生善思、会思的目的。

总之，在教学中运用“深层次”教学方法是现代教育体制下高等数学课程教学改革的一个重要突破，是落实现代教育理念的重要措施，是将知识讲授和能力培养有机结合的这有效手段。高等数学教师在教学实践中要善于思考、积累经验、大胆尝试，逐步完善教学的各个环节，这是取得较好的教学效果、推进教学改革的关键。

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