张志新，肖 峻

(电子科技大学光电信息学院，成都610054)

引 言

1987年，YABLONOVITCH在讨论如何抑制自发辐射［1］与JOHN在讨论光子局域［2］时各自提出了光子晶体(photonic crystal，PC)的概念。光子晶体是指一种介电常数呈周期性分布的人工电介质结构。它能够调制光子的传输模式，使光波色散特性出现带隙结构，出现类似半导体禁带的“光子禁带”(photonic band gap，PBG)。频率落在禁带中的电磁波被严格禁止传播，而频率处于禁带之外的光可以顺利通过，这使得光子晶体可实现对光子的操纵，为开发各种光子器件奠定了基础［3-7］。

1维光子晶体是由介电常数不同的两种介质交互重叠，周期排列而成的一种人工微结构。按照其定义可知，周期数、介质层折射率、介质层厚度是1维光子晶体最主要的结构参量，其变化对1维光子晶体的能带结构有不同的影响［8-10］。

1 1维光子晶体结构及矩阵传输理论

1维光子晶体的结构模型如图1所示。

Fig.1 Model of 1-D photonic crystal(ab)N

1维光子晶体由两种介电常数不同的电介质交互重叠，周期排列构成。其结构参量如下:周期数m(共有N=2m层介质);介质层折射率na和nb;介质层厚度da和db。

根据矩阵传输理论，入射场矢量［E0H0］与最终出射场矢量［EN+1HN+1］之间的关系式为:

其中，

式中，λ0是入射光在真空中的波长，ω为入射光频率，c≈3.0×108m/s为真空中的光速，ε0=8.8542×10-12F·m-1是真空中的介电常数，μ0=4π×10-7H·m-1是真空中的磁导率，n是介质折射率，d是介质层厚度，θ是光线在介质层中的入射角度。下标j取值为整数，取值范围为0≤j≤N+1，j=0表示入射介质对应的参量;j=N+1表示出射介质对应的参量;1≤j≤N表示第j层介质对应的参量［11］。

1维光子晶体的透射系数:

式中，Et和Ei分别表示透射电场强度和入射电场强度。1维光子晶体的透射率为:

2 1维光子晶体能带结构计算仿真及分析

以图1所示的1维光子晶体模型为研究对象，假设光子晶体置于空气中(n0=1)，且光线正入射(θ0=0)，光子晶体中心波长θ0=1550nm。由(3)式可知，在正入射条件下，横电波(transverse electronic wave，TE)与横磁波(transverse magnetic wave，TM)偏振波在光子晶体中具有相同的传输特性。

2．1 1维光子晶体周期数对其能带结构的影响

固定参量为 na=1.2，nb=3，nada=nbdb= λ0/4;改变1维光子晶体的周期数，对其能带结构进行仿真分析。

不同周期数的1维光子晶体的能带结构如图2所示。

Fig.2 Comparison of energy band structure of 1-D photonic crystal with different cycle numbera—m=3 b—m=10 c—m=30 d—m=80

从图中可以看出，周期数的改变不会影响1维光子晶体的能带分布，其能带位置与宽度不会改变;但随着周期数的增大，禁带边缘越加陡峭，通带透射特性增强，1维光子晶体的能带分布越清晰。

2．2 介质层厚度对其能带结构的影响

固定参量为na=1.2，nb=3，m=30;改变1维光子晶体的介质层厚度，对其能带结构进行仿真分析。

设介质层a与介质层b的光学厚度分别为nada=Xaλ0/4，nbdb=Xbλ0/4，取不同的 Xa和 Xb，1 维光子晶体的能带结构仿真如图3所示。

Fig.3 Comparison of energy band structure of 1-D photonic crystal with different dielectric layer thicknessa—Xa=1，Xb=1 b—Xa=2，Xb=2 c—Xa=2.5，Xb=1.5 d—Xa=1.3333，Xb=2

从图中可以看出，不同的介质层厚度对1维光子晶体能带结构的分布有重要影响。对介质层光学厚度为 nada=Xaλ0/4，nbdb=Xbλ0/4 的1 维光子晶体，其能带中心频率如下:

式中，ω0=2πc/λ0为光子晶体中心频率，j为大于0的整数。特别地，当 ω=2ω0/Xmin(Xmin为 Xa和 Xb中较小的值)的整数倍时，为通带中心频率。

此外，由于介质层厚度对能带分布的影响，对能带宽度也会造成一定影响。一般情况下，nada=nbdb=Xλ0/4，此时，禁带与通带宽度之和(即周期宽度)为2ω0/X(此处，X=Xa=Xb)，显然，随着 X 的增大，周期宽度将减小，禁带宽度与通带宽度也随之减小。

总之，改变1维光子晶体的介质层厚度可以改变其能带分布情况，调节禁带与通带的位置以及宽度，可以用于制作各种宽带滤波器件。

2．3 介质层折射率对其能带结构的影响

固定参量为m=30，nada=nbdb=λ0/4;改变1维光子晶体的介质层折射率，对其能带结构进行仿真分析。取不同的介质层折射率na和nb，光子晶体的能带结构仿真结果如图4所示。

Fig.4 Comparison of energy band structure of 1-D photonic crystal with different refractive indicesa—na=1.2，nb=3 b—na=1.8，nb=4.5 c—na=2，nb=3 d—na=3，nb=2

Fig.5 Ralationship between band gap width and refractive index ratio

从图中可以看出，介质层折射率的变化，对1维光子晶体的能带宽度有重要影响:(1)介质层折射率比值相等时，1维光子晶体的能带宽度不变;(2)1维光子晶体的禁带宽度随着介质层折射率比值的增大而增大;(3)介质层折射率的变化不影响能带分布情况，即禁带与通带的中心频率不随介质层折射率的变化而变化，所以能带的周期宽度不变。

3 结论

对普通的1维光子晶体而言，周期数、介质层厚度、介质层折射率是其主要的结构特性参量，这些参量的改变直接影响其能带结构。

(1)周期数的改变，不会影响1维光子晶体能带的分布情况及能带宽度，但是较大的周期数可以使禁带与通带交界处更加陡峭，通带透射特性增强，能带分布更加分明。

(2)介质层厚度的改变，直接影响1维光子晶体的能带分布情况，即禁带与通带的中心频率。

(3)介质层折射率的改变，特别是折射率比值的变化，直接影响1维光子晶体的能带宽度分布，在折射率比值大于1时，随着折射率比值增大，禁带宽度在周期宽度中所占比例逐渐增大。

掌握了1维光子晶体的能带结构随其结构参量的变化规律，对滤波器等1维光子晶体器件的设计提供了参考。

［1］ YABLONOVITCH E.Inhibitedspobntaneous emissionsolid-state physic sand electronics ［J］.Physical Review Letters，1987，58(20):2059-2062.

［2］ JOHN S.Strong localization of photonics in certain disordered dielectric superlattices［J］.Physical Review Physics，1987，58(23):2486-2489.

［3］ HUANG Y，WANG L Y，DONG K X，et al．Influence factors on characters of 1-D PCs filter［J］.Journal of Anhui Normal University(Natural Science Edition)，2008，31(3):247-251(in Chinese).

［4］ AI T T.Progress in the study of photonic crystals［J］.Laser＆ Iinfrared，2009，39(12):1257-1262(in Chinese).

［5］ DENG K F，SHI D F，JIANG M P，et al．Progress in the study of photonic crystal［J］.Chinese Journal of Quantum Electronics，2004，21(5):555-564(in Chinese).

［6］ BU T.Theoretically study of optical characteristics of 1-D photonic crystal［D］.Xi’an:Northwest University，2003:1-49(in Chinese).

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［10］ ZAGHDOUDI J，MAALOUL N，KANZARI M.Studies of optical properties of symmetrical quasi-periodic photonic crystals［J］.Optics and Photonics Journal，2012，2(4):270-277.

［11］ LIU Q N.Transmission formula and analysis of TM wave in 1-D photonic crystal［J］.Laser Technology，2014，38(3):325-329(in Chinese).