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优选“数学现实”，注重变式教学
——以“垂径定理”教学为例

☉江苏省海安县李堡镇初级中学 陶然

“垂径定理”一直是教学研究的热点，过往的教学常常是从折纸操作出发，感受轴对称图形，并在此基础上证明垂径定理和推论，再以例、习题应用定理的流程进行.笔者最近有机会执教该课，基于轴对称视角引导学生研究圆，并从证明圆是轴对称图形出发，顺便获得垂径定理和相关推论，也取得了较好的教学效果，本文记录该课的教学设计，并阐释教学立意，供研讨.

一、“垂径定理”教学设计

（一）教学目标

（1）从轴对称角度研究圆，探索并证明垂径定理及其推论；

（2）利用垂径定理解决相关问题过程中，积累一类重要的模式图形和解题经验.

（二）重点和难点

重点是垂径定理及其推论的证明；难点是从生活问题中抽象、构造出符合垂径定理的基本模式图形.

（三）教学流程

1.开课阶段

师：上一节数学课学习了圆的有关概念，接下来我们从对称的角度来研究圆.同学们思考一下，圆具有什么对称性质？

预设：圆是轴对称图形、中心对称图形、旋转对称图形等.

师：这节课重点研究圆的轴对称性质.同学们都说出了圆是轴对称图形，然而如何证明圆是轴对称图形呢？

预设：如果有学生提及将圆形纸片对折能重合，这算实验操作验证，并不能算严谨的证明.如果学生有困难，可安排学生从简单出发，如图4，从线段是轴对称图形出发，到等腰三角形（图3）、矩形（图2）是轴对称图形，特别是利用图2、图3，请学生讲解如何证明等腰三角形、矩形是轴对称图形，再到图1，研究“如何证明圆是轴对称图形？”.

图1

图2

图3

图4

2.新知探究

问题1：如何利用图1证明圆是轴对称图形？

预设：在圆上任取一点A，过点A作直径的垂线交圆于另一点A′，连接AO、A′O，设法证明A、A′关于直径CD所在直线对称即可.

证明之后，板书：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.

成果扩大：在上面的证明过程中，换个角度再看图1，就是：直径CD⊥AA′，此时根据轴对称性可得出AM＝

板书垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.

预设：引导学生写出符号语言后，在回顾垂径定理时，注意辨析条件和结论的区别，即一条直线若满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦，则可以推出：（1）平分弦；（2）平分弦所对的优弧；（3）平分弦所对的劣弧.这样既可以加深学生对定理的理解，又为学习推论作好了准备.

问题2：平分弦的直径能否垂直于弦，并且平分弦所对的弧呢？

预设：变式思考，得出推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.在这个推论中，要注意让学生区分它们的条件和结论.特别是要强调“弦不是直径”的条件，因为一个圆的任意两条直径互相平分，但是它们未必垂直，所以一定不能忽视这个条件.

3.例题讲评

例1如图5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径.

图6

图5

教学预设：该题由2014年江苏省南通市中考卷第24题改编而来.主要训练垂径定理带来的CE=DE，并构造直角三角形、利用勾股定理解决问题.

考题链接：（2015年浙江衢州）一条排水管的截面如图6所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于______m.

教学预设：利用垂径定理，构造直角三角形解决问题.

例2（教材例题改编）1300多年前，我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形（如图7）.经测量，桥拱下的水面距拱顶6m时，水面宽34.64m，已知桥拱跨度是37.4m，运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高.（运算时可取37.4=

图7

图8

教学预设：继续训练圆中常见的辅助线，即作弦的弦心距构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理进行计算.如图8，设圆弧所在圆的圆心为O，AB=37.4=GE=6.在Rt△OCE中，OE=根据勾股定理，OC2=CE2+OE2，即OC2=解得OC=28，OA=28.进一步在解得OF=21.所以拱高GF=28-21=7（m）.

4.课堂小结

（1）本课从轴对称的角度研究了圆，你对垂径定理有怎样的认识？

（2）在利用垂径定理解决问题时，你会积累哪种模式图形呢？（预设：如图9，弦长a、弦心距d、半径r及弓形高h之间的关系.）

图9

（四）板书设计

二、教学立意的进一步阐释

1.基于前后一致、逻辑连贯的数学理解，优选“数学现实”引入新课

人教社章建跃博士近年来倡导“三个理解”，其中第一位就是理解数学，特别是理解数学的“前后一致、逻辑连贯”的内在力量.正是基于上述认识，我们选择从线段、等腰三角形、矩形出发，让学生先复习这些轴对称图形是如何证明的，从而过渡到证明圆是轴对称图形，并且顺便成果扩大，概括出垂径定理及其推论.利用这样的“数学现实”引入新课也贴近了学生认知的最近发展区，是一种很有数学味道的开课情境.

2.注重例题变式教学，让学生感受到例、习题的渐次展开、层层深入

例题教学环节，我们注意变式，不仅对例1链接了一道变式考题，还另选视角，用一道有生活情境的例2来训练学生学会抽象、分离出垂径定理基本图形.在整个例题及变式解题过程中，感受到例、习题的渐次展开、层层深入，一步一步向上走.特别是在例、习题教学之后，还需要注重解后回顾反思环节，不仅要引导学生思考“一题多解”，还可启发优秀学生思考“多解归一”，从而引导学生积累出解题经验（如图9）.

三、写在最后

作为文末，还可提及张奠宙教授近年倡导的“超生活经验”数学话题，像本课所提及的“数学现实”引入新课应该也属于张教授所倡导的“超生活经验”情境引入，这类数学情境与生活现实相比，更有数学味儿，更忠实于数学前后一致、逻辑连贯的教学追求.当然，我们的努力还是初步的，期待更多的同行在教学设计中实践跟进，不断丰富这方面的案例研究.

1.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013（6）.

2.章建跃.课堂教学要注重数学的整体性［J］.中小学数学（高中版），2013（5）.

3.张奠宙.无理数教学三人谈［J］.数学教学，2015（8）..Z