☉江苏省宿迁市实验学校 李军

分图分类分析
——一道中考操作题的解法探究及分析思考

☉江苏省宿迁市实验学校 李军

一、原题呈现

题目（2015年南京市第25题）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）

图1

二、解法探索

1.“圆规”探究法

（1）以3为等腰三角形的“腰”.

①两腰都在正方形边上，如图2；②一腰在正方形边上，如图3、图4.

图2

图3

图4

以A为圆心，3的长为半径画弧，与边AB、AD相交即可.先画OA=3，再以O为圆心，3的长为半径画弧，与边CD相交即可.同图3，大小也相同，两图画出一个即可.

（2）以3为等腰三角形的“底”.

①“底”在正方形边上，如图5、图6；

图5

?

图6

②“底”不在正方形边上（先是两腰在正方形边上，然后是两腰不在正方形边上），如图7、图8.

图7

图8

同图7，也可作出图7中的已作线段关于对角线BD的对称线段即可.以A为圆心，1.5的长为半径画弧，与对角线AC相交于点E，过E作AC垂线与正方形两边相交即可.

2.“网格”探究法

根据题目条件，将边长为4的正方形放置到对应边长为1的正方形网格中加以探究，有了网格便可以通过观察，借助刻度尺或圆规等工具将问题解决（如图9～15便一目了然，画法略）.

（1）以点A为两腰交点思考（先是两腰在正方形边上，然后是两腰不在正方形边上，如图9～11）.

图9

图10

图11

（2）以点A为底与腰交点思考（先是底在正方形边上，再是腰在正方形边上，如图12～15）.

图12

图13

图14

图15

3.“折纸”探究法

因给定的图形及组合后的部分图形为轴对称图形，故笔者想到用“折纸法”进行探究，并进行了“折纸”试验，以上图形均可由“折叠”得出.

将给定的正方形做成正方形纸片，沿横向与纵向各折叠两次，便在正方形各边上得到“数值点（线）”（如图16），然后再分别以3为等腰三角形的“底”及以3为等腰三角形的“腰”两类分别折叠便可得出图形，如图17～23.

图16

图17

图18

图19

图20

图21

先折出对角线AC，再沿∠BAC的平分线折叠，在AC上使AE′= 3，再沿AE′的中垂线折叠即可.

图22

图23

三、特色分析

1.设计简明 立意操作

从选材看，选取学生特别熟悉的正方形和等腰三角形作为背景图，以生为本，简单美观；从语言表述看，简洁明确，要求具体，操作指向明了；从构思看，在操作中提炼“模型”，重视基础（基础图形、基础知识、基本操作），呈现层次性（学生会由简单入手，分层思考）和多样性（会呈现出不同的丰富多彩的情况）.

2.易于动手 引领探究

此题操作起点低、入口宽，不同层次的学生均可以动手尝试，会尽自己所能画出能想到的图形，当然也能得到相应的分数.由于学生易于动手，所以问题情境能激发学生的探究欲望，不断激励学生去向更多、更深的方向思索与迈进，简单的问题铺设着“过程性”道路，突出延展了问题思考过程与操作过程.

3.关注经验 突出分类

“基本活动经验”是《义务教育教学课程标准（2011年版）》新增的课程目标，将原有的“双基”教学发展为“四基”教学.本题的考查，就是立足于学生的基本经验，有的通过观察比划即可画出图形；有的需借助圆规操作，图形就会显现出来；有的需要分析思考，多次尝试才能得出答案.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“分类是一种重要的数学思想.学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类等.……分类的过程就是对事物共性抽象的过程.……学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题.”

本例属于典型的图形分类问题，突出考查学生在操作的同时要学会分类，同时指引学生可以从“形”和“数”两个角度加以分类（上述方法从不同侧面进行了探讨），即以固定不动的点A为分类点，分点A为两腰的交点及腰与底边的交点两大类，或以数量“3”为出发点，分以3为等腰三角形的“腰”与以3为等腰三角形的“底”两大类.这样就会做到“不重不漏”，完整解答.

四、命题建议

若能在原有问题基础上增加“求出相应的等腰三角形面积”，则问题将变得更丰富、更有内涵，更能引发学生去思考、去计算，进而去联系更多的知识，构建“点线式”知识网络，或许对学生综合能力的培养及思维的发展会大有裨益.

五、教学思考

1.多维探究，解题策略优化互补

日常教学中，应在学生已有的知识储备上，适时引导学生从不同角度思考问题，发散学生的思维，以提升学生解决问题的实际能力和思维水平，如果学生平时解题仅仅停留在为解题而解题、就题论题的层面上，靠题海战术和老师的灌输获得解题技巧，而很少经历探索、思考的过程，就不能养成思考的习惯，只能模仿和套用已有的知识储备，学生则不能形成真正的数学能力.

对于本题提供的三种操作思路，学生并不陌生，它是操作类题中经常涉及的（使用作图工具、正方形网格、折纸操作），不同的操作策略有不同的特点，教学时引导学生多方位思考，既培养学生解题的灵活性，也训练了学生的发散思维，还可以启发学生比较优劣，从而优选方案，更优更快地分析问题和解决问题.

2.重视操作，培养动手画图能力

操作类试题一般在中考中较难考查，此题为此搭建了很好的平台，对教学起到了较好的引领作用.平时教学中，教师不能一味地让学生埋头做计算题和推理题，更要在操作中培养学生的动手能力和创新精神，让学生在“做数学”中激发兴趣，发现结论，总结规律，掌握其操作方法，学会思考.本题可借助圆规，找到关键点就可把所有情况一一画出来，让学生知其然，更要知其所以然.如若本题仅仅是结果的展示，则失去了“数学本真”，也不符合学段特征（初中学段——尺规作图、合情推理、逻辑推理等）.

3.规范指导，反思过程

画图的过程是学生动手操作的过程，也是几何直观的具体体现，通过捕获作图过程中的信息寻找解决问题的切入口，在教学中重视培养学生的画图习惯，教师首先要做出示范.画图类问题在操作时，若教师平时重视不够或操作示范性不够严谨，自然就会导致学生画图不认真、不仔细，任意涂改，造成所画图形杂乱，以致引发思考浅浮，思维混乱.本题学生或许能画出部分图形，但如不规范操作，耐心思考，想完整全面答出此题也是望尘莫及的.这就要求在日常的教学中，一方面教师要做好表率作用，另一方面也要求学生认真对待，规范操作，条理思考，将图形画得准确、美观、完全.

美国教育心理家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”.在人的一生中，最有用的不仅是数学知识，更重要的是数学的思想方法和数学的意识，因此数学思想方法是数学的灵魂和精髓.操作类问题其实也蕴含着一定的知识和思想方法，需要师生共同总结思考，虽然本题考查的知识点不是很丰富，其关键是要能学以致用，其中有分类讨论、类比转化、特殊与一般、图形变换等重要数学思想，值得我们深思.

1.汤妙娟.对一道中考题的赏析、探究及反思［J］.中学数学（下），2015（6）.

2.由学芹.再说“数学好玩”［J］.中学数学（下），2012（9）.

3.张俊.一道试题的多解思考及其教学展望［J］.中学数学教学参考（中），2013（8）.

4.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.H