上官璇峰，李毅搏，孙泽亚

(河南理工大学，焦作454000)

0 引 言

轴向磁通无铁心永磁同步发电机拥有比传统电机更加高效的优势［1］。另外，高度的紧凑性以及盘式结构，使得这种电机非常适合直驱式风力发电系统。通常来说，发电机提供给负载的电压波形应该接近正弦波形［2］。永磁电机中，气隙磁场谐波含量较高，如果磁路结构设计不合理，谐波含量会更高，使得电动势中谐波含量很大，从而导致定子绕组感应电动势波形发生严重畸变，因此对发电机电动势波形的优化就显得很有必要［3］。

国内外学者对新型算法在电机优化设计方面的应用都做出相当多的研究。Mahmoudi A 等人通过遗传算法，以最高功率密度为目标，优化了电机的尺寸［4］。Wang H T 等学者将Taguchi 参数优化设计方法应用在无刷直流电动机的优化设计中，以达到削弱齿槽转矩、优化扭矩、增强电机稳定性的目标［5］。李立毅等以永磁体、环形绕组的尺寸为变量，以推力体积比、电机常数、电机波动为优化目标，利用多种群遗传算法进行无铁心永磁直线同步电机的优化设计［6］。Wang R J，Kamper M J 等学者在仅考虑磁密基波的情况下，对定子叠绕组和定子集中式非叠绕组的绕组电动势进行了详细解析计算，最后得出结论，对于多极对数电机，定子集中式非叠绕组的优势更加明显［7］。Jabbar M A 等学者将曲面响应的方法应用在永磁同步电动机的优化设计中，确定了与电动机性能相关的实验模型和设计参数［8］。

本文采用响应曲面的方法，在永磁体体积及线圈边截面积一定的情况下，对永磁体的极弧系数以及线圈边宽度进行优化，以达到电动势基波幅值最大，谐波含量最小的优化目标。

1 基波与谐波情况下的电动势计算

轴向磁通无铁心永磁同步发电机(以下简称AFPMSG)的结构示意图如图1 所示，显然这种电机具有很明显的扁平结构，适用于一些特殊场合。

图1 定子无铁心AFPMSG 的结构示意图

图2 所示为定子无铁心AFPMSG 的转子部分结构示意图。永磁体充磁方向为轴向，同一转子盘上永磁体采用N -S 极交替布置，不同转子盘上相对的两块永磁体为同一充磁方向。三维磁场解析计算的坐标系也在图2 中给出了标示。

图2 定子无铁心AFPMSG 的转子结构示意图

1.1 基波磁场下线圈电动势计算

每个线圈中感应的电动势ec通过傅里叶级数展开可表示［8］:

式中:m 表示定子绕组相数;θe=ωet，ωe为电机电角速度。

文献［9］指出，线圈电动势各次谐波的幅值Ecm:

式中:ωe表示电机转子的电角速度;Nc表示线圈匝数;h 表示绕组轴向厚度;Kwcm(r)表示半径r 处的m次谐波的绕组系数。Bz(r，0，z)表示三维坐标系下某一点的z 轴方向的磁密大小;式(2)中其他参数在图3 中给出了明确标示。通过绕组函数法可得到定子集中式非叠绕组的绕组系数的计算公式［10］:

图3 非重叠集中绕组的绕组函数

式中:θm表示绕组单个线圈所跨的电角度;θr表示半径r 处有效导体圆周方向所占的电角度。

1.2 谐波磁场下的线圈电动势

通常情况下，取磁场的基波即磁密曲线为标准正弦曲线来计算电机电动势。1.1 节中只考虑基波磁场下的线圈电动势及绕组系数。而实际情况下，轴向磁场永磁同步发电机的磁场中，圆周方向的磁密波形是含有大量谐波的。但是对于无铁心电机，空气磁阻较大，漏磁增多，磁密曲线会更加趋近正弦曲线。将磁场的谐波分量考虑到电动势计算中，可以更好地优化发电机的整体输出性能。

假定磁密分布为非标准正弦曲线，则用傅里叶级数表示气隙磁密:

将磁密的q 次谐波考虑进电动势的计算中:

不同半径处Kwcmq不同，设定平均半径处有效导体所占机械角度为θre，将线圈边宽度用θre表示。为方便起见，取平均半径处的Kwcmq=Kwcmq(θre)，不同轴向位置处Bzq的幅值不等，取平均位置处的幅值Bzqe，线圈电动势幅值:

q 次磁密谐波对应的线圈电动势:

式中:θe=ωet ，ωe为电机电角速度。考虑磁密谐波后，线圈电动势为各次磁密对应的线圈电动势的叠加:

磁密谐波以及线圈谐波共同影响了线圈电动势波形，q 次谐波磁密与m 次绕组系数配合下线圈电动势的谐波绕组系数:

图4 谐波绕组系数随着pθre的变化趋势

当q=1 时，m 取1，3，5，7，9，11，θm取5τ /6 电角度(即150°电角度)，为了表示方便，p 对极的电机中，以电角度pθre为横坐标轴，并且0 ＜pθre＜θm/2。对应的谐波绕组系数随pθre的变化趋势如图2 所示。由图4 可以看出，基波磁密条件下谐波绕组系数Kwcmq随着pθre的变化规律已经相当复杂。若q ＞1，谐波绕组系数变化趋势会更加复杂。基波绕组系数随着线圈边宽度的增加而降低，为使基波绕组系数较大，同时谐波绕组系数较小，需要选择合适的θre。

2 优化设计

为了削弱绕组电动势谐波含量，将绕组电动势谐波含量作为响应，极弧系数、线圈边长度作为自变量。考虑到电机运行时存在着许多非线性因素，使用解析法很难求出响应与变量之间的关系，本文使用曲面响应法来求出响应与自变量之间的函数关系式。在响应曲面建模中，通常假定响应与变量存在如下关系:

通常应用上式的一阶或二阶泰勒展开式作为相对较小区域内对真正函数的逼近形式，本文适当简化，使用典型的两变量二次多项式建立近似数学模型:

式中:y 为表征电机电动势基波幅值或THD 的响应函数;β 为待定系数;ε 为拟合误差;x1，x2为分别为永磁体极弧系数αp和线圈边宽度θre对应编码值。

2.1 实验设计

永磁电机的永磁材料价格比较贵，因此单位输出功率所需永磁体体积通常是衡量电机设计优劣的重要指标之一［12］。功率一定的电机，永磁体的用量是基本恒定的。因此，保持永磁体体积不变，通过改善永磁体极弧系数和永磁体形状来改善气隙磁密波形，进而优化发电机的电动势波形。对于轴向磁通永磁电机，永磁体内外径与功率大小有直接关系，功率一定，永磁体内外径基本确定。因此，绕组匝数基本确定，保持绕组匝数不变，即线圈边截面积大小不变，由式(8)和式(9)可知，知改变线圈边宽度，可以削弱电动势的谐波含量。

本文采用双边永磁转子(N-S)、中间定子的结构，单边转子20 极，中间定子24 槽的配合方式［13］。有限元模型参数如表1 所示。

永磁体体积保持恒定，以极弧系数为0.6，永磁体厚度hm=8 mm 时的永磁体体积为该电机所需永磁体体积，永磁体极弧系数αp=0.6，0.75，0.9 对应永磁体厚度hm=8 mm，6.4 mm，5.3 mm。绕组匝数100 匝，FEM 模型中，线圈边截面积设定为120 mm2，线圈边宽度θre=2.3°，3.8°，5.3°对应线圈边轴向厚度hw=17.6 mm，10.6 mm，7.6 mm。对模型的估计采用最小二乘法，考虑到变量量纲等因素，运算时先将自变量都做一个线性变换，使其因子区域都转化为中心点在原点的立方体［14］:

表1 电机有限元模型参数

式中:αpmax，αpmin和θremax，θremin分别为自变量αp和θre范围的上下限。编码完成后进行试验的响应面设计，本文采用中心组合设计，编码后的自变量取值水平为-1，0，+1，如图5 四个顶点(+1，+1)，(+1，-1)，(-1，-1)，(-1，+1);四个中点(0，+1)，(-1，0)，(0，-1)，(+1，0);一个中心点(0，0)。响应设计变量值与编码转换值如表2 所示。

表2 实验设计方案

图5 中心组合设计示意图

2.2 实验结果

2.2.1 轴向气隙磁密波形

气隙磁密的波形与极弧系数变化有着直接的联系，图6 为永磁体极弧系数为0.6，0.75，0.9，线圈边宽度θre=3.8°时的气隙磁密波形。从图6 中可以看出，随着极弧系数的增大，两极之间的磁场畸变程度减小。在等永磁体体积情况下，随着极弧系数增大，每极磁通面积增大，永磁体厚度减小。因此，轴向磁密幅值减小，而每极磁通量变化不大。

永磁体极弧系数为0.75 时，不同线圈边宽度情况下的，气隙磁密波形如图7 所示。对于无铁心绕组，两外转子铁轭之间部分磁导率是基本均匀的，因此随着线圈边宽度的增加(线圈边的轴向厚度减小，同时两外转子之间区域轴向厚度减小，漏磁减少)磁密幅值增大。

图6 线圈边宽度θre =3.8°时平均半径处气隙磁密波形

图7 永磁体αp =0.75 时平均半径处圆周方向气隙磁密波形

图8 不同轴向位置平均半径处圆周方向磁密波形

图8 表明，无铁心电机漏磁较大，不同轴向位置磁密谐波含量不同，线圈轴向中间位置磁密波形更加趋近正弦，因此，绕组轴向长度的大小对电机电动势的谐波含量也有较大的影响。

2.2.2 线圈电动势波形

电动势(EMF)波形与磁密波形有着直接联系，图9 表明，绕组轴向厚度相同、永磁体体积相等的情况下，极弧系数虽然不同，但是通过线圈的磁通量大致相同，因此，绕组的电动势波形相差不大。

图10 表明，同一极弧系数下，线圈边轴向厚度不同的情况下，由于双边永磁转子之间空气域的轴向距离随着绕组轴向厚度的增大而增大，漏磁增多，平均气隙磁密减小。因此，EMF 的幅值随着绕组轴向厚度的减小而增大。θre=3.8°，5.3°时，线圈边轴向厚度相差较小，因此θre= 3.8°，5.3°的EMF波形幅值相差不大。

图9 θre =3.8°时，不同αp对应的EMF 波形

图10 永磁体αp =0.75 时，不同θre对应的EMF 波形

2.3 实验结果分析

对2.2 中实验结果进行对比分析。将电动势波形进行傅里叶分解，获得每个方案电动势的基波幅值以及总谐波失真度(THD)值如表3 所示。

表3 电动势基波幅值与THD 值

图11 电动势基波幅值随极弧系数的变化趋势

图12 电动势基波幅值随θre的变化趋势

图11、图12 中，极弧系数为0.75 时，由于磁密谐波含量较少，电机电动势基波幅值较αp=0.6，0.9 时都大。另外，随着θre增大，绕组轴向厚度减小，漏磁减小，使得电动势基波幅值增大。可得出结论，气隙磁密波形和线圈边宽度θre对发电机电动势基波幅值影响较大，磁密谐波含量越小，θre越大，电动势基波幅值越大。

图14 电动势THD 值随线圈边宽度变化趋势

图13 表示电动势THD 值随着极弧系数增加的变化趋势。随着θre增大，绕组轴向厚度减小，不同轴向位置与绕组交链的磁密谐波含量增大，电动势THD 增大。同时αp=0.75 左右时，谐波含量最低。图14 中，αp=0.75 时，电动势THD 最小，随着线圈边宽度的增加，电动势的THD 值迅速增加。因为αp=0.75 时磁密谐波含量较少，另外θre=3.8°时，绕组系数的基波含量相对于谐波含量较大。因此，αp=0.75，θre=3.8° 时，电动势THD 值最小。

2.4 变量优化结果

依据表3 的9 个实验方案对应的实验结果数据，可在Minitab 中利用响应曲面的方法，寻找最优的极弧系数与绕组线圈边宽度的最佳配合。

应用最小二乘法估计得关于基波幅值的数学模型:

其中，x1、x2分别表示变量αp和θre。转化为编码前:

关于THD 的数学模型:

转化为编码前:

最优化永磁体极弧系数为0.706，θre=3.8°，电动势波形波形基波幅值可以获得最大基波幅值45.926 2 V、THD 最小值0.0202。建立相应有限元模型，计算得出的EMF 基波幅值为45.899 V，THD 值为0.022 31。有限元结果很好地验证了对于轴向磁通永磁同步电机设计参数优化方面应用响应曲面方法的可靠性和优越性。

3 结 语

本文分析了影响发电机电动势谐波含量大小的因素，推导出了基于谐波磁密的绕组系数，通过响应曲面的方法，以发电机的输出电动势基波幅值最大、谐波含量最小为目标，优化了发电机的极弧系数与线圈边宽度。最后，通过有限元的计算验证了响应曲面方法在轴向磁通无铁心永磁同步发电机优化设计中的可靠性。适当的极弧系数能够大大降低电机气隙磁密的谐波含量，适当的线圈边宽度可以在增加电动势基波幅值的同时，降低电动势的谐波含量。因此，对于轴向磁通永磁电机设计过程中，需选择合理的极弧系数和线圈边宽度。

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