王 琦， 杨志林

（合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

随着经济的全球化和消费者需求的个性化，零售市场的竞争日趋激烈。在沃尔玛、家乐福、联华超市等大型卖场，货架展示量是影响消费者选择的重要因素和零售商竞争的重要手段。货架展示量的效应是可替代产品种类和货架展示量越多，越能刺激消费者的购买欲望，并能影响消费者在同类产品中的选择。合作广告也是制造商与零售商用于提高销售量的一种有效策略。供应链上下游企业间的合作广告指的是制造商通过合作广告形式诱使零售商将地方性广告投入增加到制造商的满意水平，从而使得零售商销售额有额外的增加，进而导致制造商利润的额外增加。

文献［1－2］研究了需求依赖于货架展示量供应链之间的竞争模型，考察了随机需求下2条供应链的货架展示量竞争与链内协调问题，但均没有考虑合作广告对需求的影响；文献［3］研究了随机需求条件下需求受合作广告的影响，得出Nash合作博弈下的最优广告水平、订货量和整条供应链利润均优于以制造商为主导的Stackelberg博弈下的最优量；文献［4］考察了相乘型需求下需求受广告合作和价格的影响，运用4种博弈模型进行分析，得出合作博弈的最优选择均高于非合作博弈下的最优选择，但均没有考虑需求也受货架展示量的影响；文献［5］考虑了货架展示量与广告影响需求的供应链模型，但没有考虑需求受合作广告的影响和随机需求条件下的模型；文献［6－7］讨论了供应链中需求受零售商货架展示量努力的影响；文献［8］研究了需求依赖于零售商的货架展示量和价格的2个竞争供应商和零售商的协调定价模型，但均没有考虑合作广告对需求的影响。

本文假设在随机需求条件下，需求受到零售商货架展示量与合作广告的双重影响，建立了Nash合作博弈、制造商为主导的Stackelberg博弈和零售商为主导的Stackelberg博弈模型；分别得到最优广告水平、货架展示量水平、订货量以及供应链各方的利润，并对均衡结果进行综合比较；最后，给出数值算例对模型进行仿真计算与分析。

1 基本模型描述

考虑单一制造商与单一零售商组成一个单周期产品的2级供应链。在随机需求条件下，需求不仅受到零售商的地方性广告水平与制造商的全国性广告水平的影响，而且受到零售商的货架展示量水平的影响。

设c为制造商的产品成本；w为制造商的批发价格；q为零售商的订购量；p为零售商的零售价格；s为单位产品的销售残值（假定p＞w＞c＞s）；g为因缺货造成的信誉成本；A为制造商的全国性广告水平；a为零售商的地方性广告水平；t为制造商分担零售商的广告费率比率，且0≤t≤1；b为零售商的货架展示量水平。

借鉴文献［3，9－10］在合作广告研究中的市场需求函数，本文假设市场需求函数为：

其中，D0为市场饱和需求量；α为共同需求影响因子；β、γ分别为零售商与制造商的广告弹性；δ为零售商的货架展示量弹性，且D0、α、β、γ、δ均为正常数。随机变量ε的密度函数为f（x），分布函数为F（x）。显然，D（a，A，b，ε）是一个关于a、A、b的增函数。β值越大，零售商地方性广告水平对需求的影响越大；γ值越大，制造商全国性广告水平对需求的影响越大；δ值越大，零售商货架展示量水平对需求的影响越大。

考虑广告成本因素，根据文献［10］，制造商的广告费用函数为C（A）＝kmA，零售商的广告费用函数为C（a）＝kra，其中km和kr分别为制造商和零售商的单位广告成本，且km＞kr＞0。考虑货架展示量成本因素，货架展示量的费用函数为C（b）＝nb，其中n为货架展示量的单位成本。

制造商的利润函数为：

零售商的利润函数为：

令z＝q－（D0－αa－βA－γb－δ），从而零售商的利润可以转化为：

供应链整体的利润为：

最优订货量为

2 Nash合作博弈

当制造商和零售商合作时，供应链各成员为追求最大收益从而整体考虑最优地方广告水平a、最优全国广告水平A和最优货架展示量水平b。此时，供应链整体的利润仅由a、A、b和z决定，不含有t。

供应链整体的期望利润为：

易知E（π）是关于z的凹函数，由∂E（π）／∂z＝0，得F（z）＝（p＋g－c）／（p＋g－s），记ψ＝（p＋gc）／（p＋g－s），则

将（8）～（11）式代入q＊的表达式中，可得：

3 制造商为主导的Stackelberg博弈

此时制造商占主导地位，零售商为跟从着。根据逆向归纳法，首先零售商最大化其收益选择地方性广告水平a和最优货架展示量水平b，然后制造商根据零售商的选择，最大化其收益选择最优全国性广告水平A和地方性广告分担率t。

零售商的期望利润为：

将（14）～（16）式代入（2）式中，制造商的问题可以表述为：

而当（w－c）－（1＋β＋δ）（p－w）≤0时，t＝0，此时制造商不对零售商提供地方广告分担。

性质1 制造商为主导的Stackelberg博弈，只有（w－c）－（1＋β＋δ）（p－w）＞0时，制造商才会对零售商进行地方性广告分担。且制造商对零售商地方性广告分担率随着制造商所获利润的增大而增大，随着零售商所获利润的增大而减小。

证明

∂tMS＝（1＋δ）（p－w）＞0，∂（w－c）［（w－c）－β（p－w）］2

∂tMS＝－（1＋δ）（w－c）＜0。

∂（p－w）［（w－c）－β（p－w）］2

将（18）式、（19）式代入（15）式、（16）式，可得：

将（14）式 （19）～（21）式代入q＊的表达式中，可得：

性质2 在制造商为主导的Stackelberg博弈下：

（1）由于∂a／∂t＞0，则制造商分担零售商的地方性广告费用的意愿越强，相应地零售商的地方性广告投入也就越多。

（2）由于∂a／∂A＜0，则制造商全国性广告投入越多，零售商地方性广告投入就越少。

（3）由于∂b／∂t＜0，则制造商分担零售商的地方性广告费用的意愿越强，零售商的货架展示量投入就越少。

（4）由于∂b／∂A＜0，则制造商的全国性广告投入越多，零售商的货架展示量投入就越少。

4 零售商为主导的Stackelberg博弈

此时零售商占主导地位，制造商为跟从着。根据逆向归纳法，首先制造商最大化其收益来选择全国广告水平A和地方性广告费分担率t，然后零售商根据制造商的选择来确定最优地方广告水平a和最优货架展示量水平b。显然，制造商选择的最优地方广告分担率tRS＝0。

制造商的利润函数为：

由∂πM／∂A＝0，可得：

将（24）式代入（13）式，零售商的期望利润为：

将（27）式、（28）式代入（24）式，可得：

将（26）～（29）式代入q＊的表达式，可得：

性质3 在零售商为主导的Stackelberg博弈下，由于∂a／∂b＜0，则零售商的地方性广告投入越多，零售商的货架展示量投入就越少。

5 结果分析

性质4 无论是Nash合作博弈还是制造商为主导的Stackelberg博弈，制造商最优全国性广告水平与零售商最优地方性广告水平的比率为一常数，并且这一常数等于γkr／βkm。

性质4说明，只有当（w－c）－（1＋β＋δ）×（p－w）＞0时，在制造商为主导的Stackelberg博弈下，制造商才会对零售商进行地方性广告分担。

性质5 无论是Nash合作博弈还是零售商为主导的Stackelberg博弈，零售商的地方性广告水平与零售商的货架展示量水平的比率为一常数，即βn／δkr。

证明 根据（9）式、（10）式，可得：

根据（27）式、（28）式，同理可得：

性质6 在制造商为主导的Stackelberg博弈下的最优地方性广告水平大于在零售商为主导的Stackelberg博弈下的地方性广告水平，即aMS＞aRS；但在制造商为主导的Stackelberg博弈下的最优全国性广告水平小于在零售商为主导的Stackelberg博弈下的全国性广告水平，即AMS＜ARS。

证明 根据（20）式、（27）式、（19）式、（29）式，可比较aMS和aRS、AMS和ARS的大小，具体有：

同理可得：AMS／ARS＜1。

6 数值算例

某易逝品（如报童类产品）的制造商与零售商进行广告合作，该市场需求是不确定性的，且市场需求满足标准正态分布函数。敏感性分析结果见表1～表3所列。主要的参数分别设定如下：

D0＝100，α＝10，β＝0.2，γ＝0.5，δ＝0.3，p＝180，w＝150，c＝100，s＝80，g＝300。

表1 Nash合作博弈下关于合作广告单位成本与货架展示量单位成本的敏感性分析

表2 制造商为主导的Stackelberg博弈下关于合作广告单位成本与货架展示量单位成本的敏感性分析

表3 零售商为主导的Stackelberg博弈下关于合作广告单位成本与货架展示量单位成本的敏感性分析

由表1～表3可得如下结论：

（1）在相同条件下，Nash合作博弈下制造商全国性广告水平、零售商地方性广告水平、货架展示量水平、订货量以及供应链整体利润都分别大于在制造商为主导的Stackelberg博弈下和在零售商为主导的Stackelberg博弈下的对应值，即Nash合作博弈具有Pareto优势；随着合作广告单位成本或货架展示量单位成本的下降，3种博弈情形下的q、E（πM）、E（πR）、E（π）均增大。

（2）当制造商全国性广告单位成本km减小或零售商地方性广告单位成本kr减小时，制造商全国性广告投入水平A和零售商地方性广告投入水平a将分别增大，说明制造商或零售商在单位广告成本下降时，为了追求更多的利益将各自努力提高自身的广告投入水平；随着零售商货架展示量的单位成本n的下降，货架展示量水平b增大。

比较表2和表3可知，在相同条件下，制造商为主导的Stackelberg博弈下的零售商地方性广告水平、货架展示量水平、订货量和制造商利润以及供应链整体利润均大于零售商为主导的Stackelberg博弈下的对应值，但制造商的全国性广告水平和零售商利润均小于零售商为主导的Stackelberg博弈下的对应值。

7 结束语

合作广告是制造商和零售商的一种营销合作策略，考虑在随机需求条件下，需求受到零售商货架展示量和合作广告的双重影响，构建了3种博弈模型。在制造商为主导的Stackelberg博弈下，全国性广告水平小于在零售商为主导的Stackelberg博弈下的对应值；在零售商为主导的Stackelberg博弈下，地方性广告水平小于在制造商为主导的Stackelberg博弈下的对应值。最后，数值算例对本文的结论进行了实际论证。

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