数学教学是数学活动的教学.关于数学活动，至今还没有一个准确的定义，我们认为：数学活动是指学生有目的地、积极主动地学习数学的活动.包括尝试错误、收集和整理资料、观察、操作和实验等活动.但不包含单纯教师讲授和机械运算的学习活动.数学活动可分为三类：一是发现数学的活动，二是应用数学的活动，三是数学交流的活动.学生通过这样的数学活动，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验，从中体味数学学习的乐趣，增强学习数学的兴趣，加深对数学本质的理解，进而提高思考力、判断力和表达力.随着数学新课程的深入实施，广大的数学教师在课程理念方面已有一定的认识，比较重视改善学生的数学学习方式，重视数学交流、合作学习等数学活动的教学，并积累了较丰富的数学新课程实施经验.但是，当前数学活动教学在很大程度上仍然停留在“为活动而活动”的表层上，数学活动展开不够充分，数学的本质凸显不够，数学教学缺乏创造性和数学性，学生内在的情感和思维没有被真正激活，这极大地影响了主体的主动建构.究其原因，不少教师对数学活动教学的理解和把握不够，缺乏对数学活动的形式及其作用的理性认识，不能准确地了解学生的真实思维活动，较多的只是凭自己的经验、直觉，甚至是主观臆断选择教学方法，不知道数学教学应该在何处活动、何时活动、怎样活动、活动应该达到什么目的，因而在实施数学活动教学时无所适从，不能科学地把握教学的进程与节奏.在设计有效的数学活动时，涉及到2个重要环节，即一个是恰当的问题情境和可供学生进行有效活动的序列问题.问题情境的创设应该力求把握3个要素：一是来源于学生熟悉的生活；二是情境简明扼要；三是能自然引向数学的本质.教师在设计数学活动的过程中，要筛选那些可能会引发富有成效的研究活动的数学问题，这与提出的好问题同等重要.

下面例谈数学活动设计的价值取向.

1明确目标，彰显活动的主旨价值

学习活动是学生理解、掌握学科知识，形成和发展思维能力的重要平台，是沟通现实生活与理论学习、具体问题与抽象概念之间的桥梁.但学习活动只是课堂教学的一种形式，实现学习目标才是内容，形式必须为内容服务，我们追求的是在形式与内容的辩证统一中构建灵动、和谐、高效的课堂.因此，学习活动的设计必须为学习目标服务，目标的内容要能体现学习的重点、难点，能反映课程标准和教材对教学的基本要求，目标的结果要指向学生的发展，凸显活动的主旨价值.主旨明确是开展学习活动的先决条件，任何学习活动都必须基于学习目标而设计，围绕学习目标而展开.有些活动表面上很热闹，但收到的效果不明显，很大程度上是因为活动的目标不明确.

这样的活动过程，至少具有以下优点，有效复习向量的加法运算；强化刚刚学习的“向量减法”的“几何作图法”；更为重要的是，使学生经历计算、观察、归纳、概括、证明的过程.

在课堂教学中，也有部分教师为了体现课程的“活动性”，一节课中安排了大量的活动，活动一个接一个，形式力求新颖，可是对活动的目的性、必要性以及内在逻辑关联等问题缺乏思考和研究.有不少活动是为了活动而活动，对达成教学目标没有多大的意义，出现了活动表面化、形式化的倾向.比如，有的教师为了激发学生的学习兴趣，常常采用游戏活动导入教学，有时一个游戏活动就要花十分钟的时间，而其作用仅仅是导入教学，对实现这节课的教学目标并没有多大的意义.这样的活动，实际教学效率很低.

有的老师认为，只要在课堂教学中安排了活动就体现了课程的活动性，体现了活动教学.这是对课程性质的曲解和误读.在实际教学中，应避免活动设计偏离教学目标、为了活动而活动、只有活动的形式而缺乏活动的教育价值的做法.在设计每个活动时，教师应该思考和明确设计这个活动的目的和意图是什么，落脚点以及活动的价值在何处，活动是否能、或在多大程度上能有效揭示数学本质、达成教学目标，活动与教学主题、教学目标的相关性如何，活动是否是必需的，活动是否能真正发挥教育价值，等等.

案例2“古典概型（数学3内容）”的教学片断.

一位教师在讲古典概型时，首先通过问题情境，引导学生归纳得出什么是基本事件、什么是古典概型，进而给出古典概型概率计算公式，然后教师又通过两道基础练习和两道例题，训练学生计算古典概型的概率问题.整个教学过程环节安排非常紧凑，教师能够让学生多思、多做、多说，师生互动也非常默契.按理说这样的课堂不会有什么问题，但由于教师对学生学习的难点（求解计数问题）不够了解，对突破难点的本质性方法（弄清“有序”和“无序”，“有序”问题要分类讨论）没有揭示，导致学生对计算“基本事件”个数问题没有真正掌握，出现了在后续练习时，很多学生计数出错的问题.针对学生存在的普遍性问题，教师意识到自己教学中的“缺陷”，重新对例题进行讲解、回顾.

学生在学习古典概型（数学3内容）时，还没有学习“两个基本计数原理”和“排列、组合”的内容，因此求解复杂一点的计数问题是学生学习的难点，而解决这一难点问题的关键是要揭示求解计数问题的本质方法——弄清“有序”和“无序”，对“有序”问题，要分类计数.从本案例中看，教学内容虽然很充实，学生也都“动”起来了，但是教师没有引导学生揭示数学本质，导致“计数”成为学生难以逾越的障碍.尽管教师后来通过学生的练习及时发现了教学中的问题，并采取了有效的补救措施，但课堂教学时间的隐性流失已经不可避免，这样的课堂显然是低效的.

数学教学不仅要注重活动形式，更要注重活动内容，活动要围绕学习目标、揭示数学本质而展开.只有形式上的热热闹闹，没有内容上的本质揭示，其活动必然要偏离教学目标，导致大量的教学时间隐性流失，使得课堂教学华而不实，从而出现低效的课或无效的“废”课.

2节约成本，注重活动的实用价值

学习活动形式是丰富多彩的，但教师需要针对不同的学习内容和不同年龄阶段的学生精心选择.尤其要注意活动的可操作性，否则就失去了活动的意义.在有限的45分钟之内，要尽量减少不必要的环节，减少学生不必要的精力投入，节约成本，注重活动的实用价值.首先，要充分考虑活动操作的客观性和现实的可能性.其次，要尽量降低活动的成本.活动效益应该用学生的学习效益来衡量，其具体指标为学生的有效学习量与精力投入之比.高效课堂的基本追求就在于促使学生用相对较少的精力投入去获取相对较多的学习收获，因此，节约精力投入量和增加学习收获量，是高效课堂的主要旨归.选择活动方式最重要的原则是“不可替代性”和“成本最低化”.设计数学活动是为教学服务的，首先是有效，其次是经济，而不是比新奇，出花样.

案例3“集合概念”的教学片断.

有位老师讲集合的概念时，恰到好处地运用“起立与坐下”展开教学，先是学生喊“起立”，一般地由教师喊“坐下”.可是，那位老师却先后发出了“男同学请坐下”、“女同学请坐下”的指令.正当听课者一愣的时候，老师又让同学们起立，然后发出了“请高个子的同学坐下”、“请矮个子的同学坐下”的指令.这更是给听课者以“又惊又喜”的感觉，从内心里敬佩执教者的匠心独运：从平常每堂课都要完成的日常动作中一下子就抓住了本节课的重点，化抽象为形象，化难懂为易懂.让人真切地感受到什么叫良好的开端是成功的一半.

案例4“正弦曲线的作图”的教学片断.

在教学“正弦曲线的作图”时，现在较为流行的做法是用电脑显示作图过程，这尽管有省时、图美等优点，但缺陷是不利于学生作图能力的提高，特别是用正弦线作图的思路的发现过程也被掩盖了.我的教学实践是：要求学生作函数y=sinx（x∈[0，2π]）内的图像，学生纷纷用描点法作图，并将学生的“作品”进行展览.那些歪歪扭扭、奇形怪状的“图”引起学生的哄堂大笑.问题来了：为什么画的不准？大家都感到32，22等无理点描不准；那么，我们是否学过某种方法使长为32，22的线段准确的表达出来呢？思维展开了.在一番紧张的探究之后，用“正弦线”的方法终于得到了.这样，简单、经济、实用.

3有效参与，发挥学生的主体价值

学生参与学习活动的行为可以分为有效参与和无效参与两类，有效参与是指学生有明确的学习动机，参与的活动具有交际性，通过活动收到明显的学习效果；无效参与是指在教学活动中，学生参与的动机不明确，参与方式机械被动，或有明显的表演色彩，尽管参与人次多、课堂活跃，但学生的知识和能力无明显发展，思维能力没有提高.我们在进行学习活动设计时，要着眼于学习者的主体地位，让学生对活动享有绝对的参与权、选择权，以激发其学习动机和责任感，充分发挥学生的主观能动性，促进学生对知识意义的主动建构.同时，要依据学习目标和不同学段学生的思维特点，不仅要注意学生浅层次的感性参与，即通过简单的思维和简单的活动方式参与的课堂教学活动，如教师设疑学生答问，围绕设问展开小组讨论等.更要关注学生较高层次的理性参与，即学生在活动中独立质疑，归纳总结，运用已知解答或推论出新知，运用相关知识提出新设想，提出有理有据的质疑或不同见解，等等，这样的活动体现的是学生的主体地位，注重的是学生的思维过程和能力的开发，活动指向的是学生的持续发展和终身发展.

案例5“曲线的极坐标方程的意义”的教学片断.

1.问题驱动，促进学生学会思考

问题1：建立直角坐标系可以描述点的位置，建立极坐标系怎样描述点的位置呢？

问题2：建立直角坐标系，可以求曲线的方程，建立极坐标系是否可以求曲线方程？

问题3：求曲线的极坐标方程的步骤是什么？

问题4：曲线的直角坐标方程和极坐标方程互化的方法.

以这4个问题为主问题，每个问题又衍生出系列的子问题，这样，在解决问题过程中，学生既学习了知识，又掌握了方法，同时促进了他们参与的主动性，学习到了相应的学习方法.

2.引导活动，促进学生学会探索

活动1：尝试与探索：直角坐标M（x，y）与极坐标M（ρ，θ）之间的关系

活动2：思考与讨论：以极点O为圆心，1为半径的圆的点满足的方程.反过来，这个圆上的点都满足这个方程吗？

活动3：尝试给曲线的极坐标方程下个定义.

活动4：应用与练习

例1：求经过点A（4，3）且与极轴垂直的直线l的极坐标方程.

练习1：已知一点P的极坐标为（1，π），求过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程.

例2：求圆心在A（r，0）且过极点的圆的极坐标方程.

练习2：求圆心在C（r，π2），半径为r的圆的极坐标方程.

例3：（1）化直角坐标方程x2+y2-8y=0为极坐标方程.

（2）化极坐标方程ρ=6cos（θ-π3）为直角坐标方程.

练习3：将下列极坐标方程化为直角坐标方程

（1）ρcosθ=4，（2）ρ=5，（3）ρ=2rcosθ.

活动5：总结求曲线极坐标方程的基本思路.

这里5个活动，又引出系列活动，每个活动都促进学生进行思维，课堂教学现场表明，学生在每个活动中都表现了很高的热情，他们不仅“想学”，而且，在活动过程中，逐步地感悟到“会学”.

3.引导反思，促进学生学会升华

（1）回顾一下，直角坐标系中点的位置如何确定？

（2）观察一下，“单位圆上的点有什么特征？”

（3）尝试一下，解决圆心在极轴的圆的极坐标方程.

（4）思考一下，求曲线的极坐标方程的步骤.

（5）猜想一下，下列方程表示的曲线是什么？

等等.

有些问题，学生开始解决时，无法下手，我就提醒学生注意条件和结论，注意和已解决的问题进行联系，回忆过去解决问题的方法等；在解决问题过程中，学生解决很顺利时，就提醒学生进行检查、甄别，学生不顺利，提醒学生怎样往前进行；解决问题之后，提醒学生进行回顾总结.这样，通过问题驱动、引导活动、引导反思等措施，促进学生积极参与学习活动.

4忙而有序，体现教师的主导价值

高效课堂是一种基于求知，引导学生主动学习、独立思考、学用结合、总结反思的教学方案.在活动中，教师不再是“说教者”“支配者”，而是领导者、组织者、引领者、参与者、商谈者，活动的开展体现了教师的主导价值.教师不仅仅是好的的方案的制定者和开发者，还是学习活动的组织者和引领者，不但要对学习活动的形式进行规划和预设，监控活动的有序开展，还要针对活动过程中出现的新情况、新问题，采用灵活机动的措施积极应对，确保学习活动健康、顺利、有序地开展.首先，学生的结论和观点需要教师不失时机地引导和点拨.其次，学习活动的结果和目标的达成需要教师恰当地予以评价.

案例6“函数概念”的教学片断.

南京师范大学附属中学陶维林老师在教学“函数概念”一课时，先让学生举几个函数的例子（因初中已学过“函数”），学生每举出一个例子，他就追问举例的学生：“你凭什么说自己举的例子表示一个函数？其他学生也思考一下，他所举的是函数的例子吗？为什么？”然后根据学生所举例子，引导他们明确分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数.由于学生所举例子都是用解析式表示的，于是他接着问：“函数关系都是可以用解析式表示的吗？”引导学生开阔思路，再举一些用图象、表格表示对应关系的函数.陶老师自己也参与举例，并让学生来判断他举出的例子是否能够表示一个函数，说明理由.

在这些问题的引导下，学生思维参与度高，不同数学思维层次的学生都能参与举例，使自己保持一种持久、亢奋的学习状态，无疑，教学取得了很好的效果.这样的设问与追问所取得的成效，远大于教师“精讲多练”所取得的成效.

案例7“函数y=ax+bx（ab≠0）图象（示意图）的绘制”的教学片断.

函数y=ax+bx（ab≠0）是高中阶段一个非常重要的函数，熟练掌握其图象有助于解决许多相关的问题.由于学生此前未曾见过此类函数图象，教材上亦没有现成的图象，自然是“逼”着学生去尝试自己画图.由于题中含有参数a、b，因此问题较为复杂.教师便引导学生尝试从最简单的情形：a=b=1开始，即画出函数y=x+1x的图象.

有学生尝试将y=x和y=1x的图象“叠加”，发现操作起来并非想象的那么方便.更多的学生利用描点法作图.描点过少，图形不准确；描点过多，费时费力.此时，教师进一步提示：能否从函数式分析其蕴含的性质，借助性质画图呢？学生们研究发现：函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），是奇函数，其图象关于原点对称，因此只需研究x∈（0，+∞）上的图象既可.注意到x∈（0，+∞）时，x+1x>x，因此函数y=x+1x的图象必在y=x图象的上方.当x→+∞时x+1x→x，因此y=x是函数y=x+1x的一条渐近线，同理，y轴也是函数y=x+1x的渐近线.再利用x∈（0，+∞）时，x+1x≥2，知x=1时，（x+1x）min=2.借助上述性质，学生画出了函数的示意图（图2）.首战告捷！接着，笔者引导学生研究函数y=x-1x的图象绘制（图3）.笔者进一步引导学生，推广到函数y=ax+bx（ab≠0），从哪些方面研究性质将有助于图象绘制？学生们类比发现：①该函数为奇函数；②有两条渐近线：y轴和直线y=ax；③ab>0时，由|ax+bx|=|ax|+|bx|≥2ab可以找到函数的极值点；ab<0时，由ax+bx=0得x=±-ba，知函数y=ax+bx（ab<0）与x轴有交点（±-ba，0），从而画出图象（ab>0时，类似图2；ab<0时，类似图3.图略）.

图2y=x+1x图3y=x-1x案例中，教师通过适时地引导，为学生搭设思维跳板，帮助其开拓思路，突破难点，活跃思维，并在更高层次上继续思考.教师追寻学生的思维轨迹，不断地紧追不舍，不断地由此及彼，由浅入深，思路就越探越清，问题就越探越明，知识就越探越多.看似简单、平常的一引一问却蕴含着智慧，孕育着深刻，学生通过自我探究和互动合作，不仅亲身体验到研究的艰辛和乐趣，享受到成功的喜悦，更重要的是，他们从中学到了开展科学研究的一般方法.

总之，以活动引领和串联学习内容的形式是新课程理念的体现，切合学生的认知规律.面对新教材中给教师留下的广阔的再创造空间，如何设计、组织好活动，注重挖掘活动的内涵，发挥活动应有的功效，有许多东西值得我们去思考.我们只有不断研究和探索，提高自身的理念和驾驭活动的能力，才能打造高效课堂，促进学生的发展.

参考文献

[1]渠东剑.让数学活动设计更精当[J].中国数学教育（高中版），2010（6）：6-8.

[2]宋数山.高中数学教学如何促进学生从“想学”到“会学”[J].数学通报，2010（12）：21—23.

[3]陈唐明.微课题研学催生灵动高效的数学课堂[J].教育理论与实践（中小学教育教学），2011（6）：51-53.

[4]赵绪昌.从课堂教学环节谈问题设计的策略[J].中国数学教育（高中版）（沈阳），2013（4）：17-19.

[5]赵绪昌.浅谈数学教学中问题设计的有效性[J].中国数学教育（高中版）（沈阳），2013（12）：18-20.

[6]赵绪昌.数学智慧课堂的生成策略[J].数学通讯（教师阅读）（武汉），2013（11）：5-9.

作者简介赵绪昌，男，1963年生，主任，四川宣汉人，中学特级教师，四川省学术和技术带头人，苏步青数学教育奖和国务院政府特殊津贴获得者，主要从事中学数学教学研究和中小学教育科学研究.