葛栩宏，张红星，席瑞杰，杨登科

利用多面函数拟合法建立区域地壳水平运动模型的改进算法研究

葛栩宏1，张红星2，3，席瑞杰1，杨登科1

( 1．武汉大学测绘学院，湖北武汉430079; 2．中国科学院测量与地球物理研究所，湖北武汉430077; 3．中国科学院大学，北京100049)

一、引言

随着GPS观测技术的日趋成熟，我国先后建立了多个大范围的高精度GPS地壳运动观测网络，其代表是“中国地壳运动观测网络”，对其GPS观测资料进行统一处理，便可以得到统一框架下区域地壳运动的测站速度场［1］。但是由于GPS站点数目有限且分布不均匀，导致通过实测GPS网点所反映的区域地壳运动是不完整的，无法满足某些特定区域形变分析的需求［2］。因此，有必要利用实测GPS观测数据建立一个符合实际、有实用价值的区域地壳运动模型。

目前，建立地壳运动速度场模型的方法主要有欧拉矢量法和几何拟合法。欧拉矢量法的使用前提是块体为刚性体，使用时需细分块体［3］，过程较为烦琐。几何拟合法对块体无刚性块体要求，因而使用时也无须细分块体，常用的方法有多面函数法［4］、拟合推估法［5］、有限元插值法［6］等。

多面函数拟合法由于具有设计灵活、可控性强等优点，自提出以来就被广泛应用于与地学有关的插值问题。许多学者利用多面函数法拟合水平速度场进行区域水平运动分析［6-10］。但在拟合过程中，都是对N、E方向设定相同的核函数，而没有分别从N、E方向的拟合效果出发，因此没有达到两个方向均最佳的拟合效果。本文从多面函数拟合法出发，利用速度残差比较，分别求取N、E方向上的最佳拟合核函数，进而对多面函数拟合水平速度场的方法进行改进，使其更精确有效地建立区域地壳水平运动模型。

二、多面函数拟合水平速度场

1．多面函数拟合法

多面函数拟合方法［4］是美国的Hardy教授于1977年提出的，其基本思想是任何一个光滑的数学表面均可以由一系列有规则的数学函数以任意精度逼近，利用已知点推估待测点。在球面坐标系下进行计算时，该模型可表示为

式中，u(λ，β)为观测点的水平运动速度; m为选定的已知水平运动速率的点，即结点;αi为待定参数; Q(λ，β;λi，βi)为核函数，不同形式的核函数有不同的拟合效果。目前效果较好的核函数有倒双曲型、正双曲型和三次曲面型等。

1)倒双曲型(β=－1/2)

2)正双曲型(β=1/2)

3)三次曲面型(β=3/2)

式中，β为指数因子; d(λ，β;λi，βi)为两点的球面距离;δ为平滑因子。

多面函数拟合法的关键是确定平差结点、指数因子和平滑因子。选择平差结点的原则是尽量分布均匀，覆盖整个研究区域。平滑因子δ的作用是改变核函数的形状，δ值越大，核函数所表达的曲面越平缓，反之曲面越陡峭。不同的核函数对δ的变化敏感程度是不同的，在实际应用中很难确定一个普遍适用的δ值［11］。

2．多面函数拟合水平速度场

用多面函数拟合法建立区域地壳水平运动模型时，通常将GPS观测点速率分为N和E方向分量，利用多面函数拟合法对速度场N、E分量进行拟合，经过计算和比较，确定最佳核函数的β、δ值，从而得到E、N方向的参数αΕi、αΝi，建立区域地壳水平运动模型，最终可以得到区域内任一点的平面速度拟合值。

对于研究区域n个已知点和选定的m个合理分布的平差结点，多面函数拟合水平速度场公式如下［8］

式中，uN、uE分别代表分解的N、E方向的一维速率。

三、多面函数拟合水平速度场改进算法

目前，在利用多面函数法拟合水平速度场时，都是对N、E方向选取相同的核函数。但是，由于测站在N、E方向的速度大小和分布情况均不相同，若两方向选择同一个核函数进行建模，则没有顾及N、E方向各自最佳的拟合效果，因此得到的速度场模型并不是最佳的。本文提出对N、E方向采用不同的核函数，具体来讲，即通过变换平滑因子和指数因子，利用速度残差比较，分别求取N、E方向上最佳拟合时的核函数，从而更加精确有效地建立区域地壳水平运动模型。具体计算流程如图1所示。

四、算例分析

为了评估改进算法的效果，本文分别对四川、江苏、安徽等多省的水平速度场数据进行试算比较，并以四川区域水平速度场数据为例进行分析论述。

1．试验数据

本文采用中国地壳运动观测网络在四川区域2010年、2011年、2012年3期共98个区域站的GPS观测数据，其中，所有观测站点数据完整性大于80%，且大部分站点高于90%。数据处理主要分为3步。

图1 多面函数拟合水平速度场改进算法流程

1)采用GAMIT软件分析处理数据:解算策略为Relax;观测值类型为LC_Help;截止高度角为10°;采样间隔为30 s;对流层折射采用Saastamoinen模型改正;顾及测站位置的潮汐改正;引入中国大陆及周边的11个IGS站进行联合解算。

2)利用GLOBK将单日松弛解与SOPAC处理分析的全球IGS站单日松弛解合并，获得各站点在ITRF2008参考框架下的三维速度场。N、E方向速度的标准差都优于0．40 mm，U方向优于0．95 mm。

3)利用欧亚板块的欧拉矢量参数(见表1)将各站点ITRF2008框架下的速度转换至以欧亚板块为运动背景场的框架下。

表1 欧亚板块欧拉矢量参数表 (°/Ma)

采用以上方法获得了四川区域各站点在欧亚框架下的水平速度场，如图2所示(误差椭圆置信区间为95%)。

图2 四川区域站点在欧亚框架下的水平速度场

2．试验策略

在研究范围均匀选取28个站点作为平差结点和外部检核点，试验过程用Matlab软件编程实现，其中，平滑因子β分别取－1/2、1/2、3/2，平滑因子δ分别取0．01、0．1、1、10、100、200、300、400、500。

1)策略1:采用传统多面函数拟合水平速度场算法进行拟合，得到拟合后速度残差，经过模型内、外符合精度比较，本文仅展示3种曲面函数分别在取不同平滑因子时拟合最佳的情况，试验结果见表2。

2)策略2:采用本文提出的改进算法，对N、E方向分别进行循环拟合，得到拟合后速度残差。采用倒双曲面函数作为核函数在取不同平滑因子时的速度残差统计结果见表3。采用正双曲面函数及三次曲面函数作为核函数时，经试验验证，对不同平滑因子的敏感度较低，拟合效果比较稳定，本文仅列出拟合最佳的情况，试验结果分别见表4—表5。

从表2可以看出，策略1中方法在核函数为三次曲面型、平滑因子取1时精度最高，即拟合效果最好。

从表3—表5可以看出，E方向在核函数为正双曲面型、平滑因子取500时精度最高，N方向在核函数为三次曲面型、平滑因子取1时精度最高。

将策略1、策略2中最佳拟合模型进行比较，得到精度统计结果见表6。

表2 3种曲面函数拟合最佳时的速度拟合残差统计 ( mm/a)

表3 倒双曲面函数在取不同平滑因子时的速度拟合残差统计 ( mm/a)

表4 正双曲面函数在取不同平滑因子时的速度拟合残差统计 ( mm/a)

表5 三次曲面函数在取不同平滑因子时的速度拟合残差统计 ( mm/a)

表6 多面函数拟合水平速度场改进算法精度统计( mm/a)

从表6可见，改进的多面函数拟合水平速度场方法在建立区域地壳水平运动模型时显著提高了内、外符合精度，可以有效地改善拟合效果、提高模型精度。

五、结束语

本文通过算例证实，在用多面函数拟合法建立区域地壳水平运动模型时，N、E方向速度场在拟合最佳时所取得的核函数并不相同，进而提出了一种多面函数拟合水平速度场的改进算法，该算法是对N、E方向分别采用不同的核函数。具体来讲，即通过变换平滑因子和指数因子，利用速度残差比较，分别求取N、E方向上的最佳拟合核函数。验证结果表明，该算法可有效改善模型拟合效果，提高建模精度，并且改进算法与传统算法在编程实现方面难度相当，对实际应用具有一定的参考价值。

［1］ 刘经南，姚宜斌，施闯．中国地壳运动整体速度场模型的建立方法研究［J］．武汉大学学报:信息科学版，2002，27( 4) : 331-336．

［2］ 刘经南，施闯，姚宜斌，等．多面函数拟合法及其在建立中国地壳平面运动速度场模型中的应用研究［J］．武汉大学学报:信息科学版，2001，26( 6) : 500-503，508．

［3］ 曾安敏，秦显平，刘光明，等．中国大陆水平运动速度场的多面函数模型［J］．武汉大学学报:信息科学版，2013，38( 4) : 394-398．

［4］ HARDY R L．The Application of Multiquadric Equations and Point Mass Anomaly Models to Crustal Movement ［M］．Rockville，MD: National Geodetic Survey，1978．

［5］ 杨元喜，曾安敏，吴富梅．基于欧拉矢量的中国大陆地壳水平运动自适应拟合推估模型［J］．中国科学:地球科学，2011，41( 8) : 1116-1125．

［6］ 蒋志浩，张鹏，秘金钟，等．基于CGCS2000的中国地壳水平运动速度场模型研究［J］．测绘学报，2009，38( 6) : 471-476．

［7］ 武艳强，江在森，杨国华，等．利用多面函数整体求解GPS应变场的方法及应用［J］．武汉大学学报:信息科学版，2009，34( 9) : 1085-1089．

［8］ 赵丽华．区域地壳运动模型实现的理论与方法研究［D］．西安:长安大学，2011．

［9］ 马娜．基于GPS观测资料的区域地壳形变——应变特征研究［D］．西安:长安大学，2012．

［10］刘权威，孙国学．多面函数拟合在地壳水平运动研究中的应用［J］．山西地震，1996( 4) : 35-40．

［11］黄立人，陶本藻，赵承坤．多面函数拟合在地壳垂直运动研究中的应用［J］．测绘学报，1993，22( 1) : 25-32．

襄阳市测绘研究院成为湖北省地市首家测绘类甲级资质单位

【本刊讯】10月27日，襄阳市测绘研究院正式通过国家测绘地理信息局资质审批，晋升为国家甲级测绘单位，成为湖北省地市级首家测绘类甲级单位，同时也是襄阳市唯一一家具有摄影测量与遥感、地理信息系统工程、不动产测绘、工程测量的甲级测绘资质单位。

近几年来，随着经营规模的快速稳步发展，襄阳市测绘研究院在仪器设备投入、人才培养引进、技术改革创新、市场空间拓展等方面均取得了飞速发展。此次甲级测绘资质获批，为襄阳市测绘研究院提供了更加广阔的发展空间，使该院能够开拓更深、更广的业务领域，拥有参与更多、更深的测绘地理信息项目的资格，进一步拓宽了经营范围，增强了市场竞争力。

(本刊编辑部)

Research on the Improved Algorithm Using Hardy Function Interpolation to Establish Regional Crustal Horizontal Movement Model

GE Xuhong，ZHANG Hongxing，XI Ruijie，YANG Dengke

利用多面函数拟合法建立区域地壳水平运动模型，通常对N、E方向设定相同的核函数。然而，由此确定的N、E方向速度场并非最佳拟合。为了改进拟合效果，本文提出了一种多面函数拟合水平速度场的改进算法，并利用中国地壳运动观测网络在四川区域2010年、2011年、2012年3期的速度场数据进行了验证。结果表明，N、E方向速度场在最佳拟合时所取的核函数并不相同，本文提出的改进算法可以有效改善模型拟合效果，并提高模型精度。

区域地壳水平运动模型;多面函数拟合法;速度场;核函数;中国地壳运动观测网络

葛栩宏( 1991—)，女，硕士，研究方向为GPS精密数据处理及区域地壳形变。E-mail: whuchgxh@ 163．com

P228

B

0494-0911( 2015) 11-0020-04

葛栩宏，张红星，席瑞杰，等．利用多面函数拟合法建立区域地壳水平运动模型的改进算法研究［J］．测绘通报，2015( 11) : 20-23．

10．13474/j．cnki．11-2246．2015．0337

2014-11-07;

2015-09-15