索中英，程嗣怡，袁修久，李彦明

(1.空军工程大学 理学院，陕西 西安710051;2.空军工程大学 航空航天工程学院，陕西 西安710038)

0 引言

原始的粗糙集理论并不能从多准则(描述偏好程度的有序属性值)有序分类问题的决策表中提取所有的基本知识［1］，然而在很多实际问题中，考虑属性的有序性是很重要的。例如对于威胁等级分类中不同目标的工作状态、距离等属性，不仅要考虑属性的不可区分性或相似性，更应考虑属性对于威胁等级分类的有序性。

Greco 等提出多准则有序分类问题的优势粗糙集方法，使用占优和不可区分结合的二元关系来建立粗糙近似［2-3］。在针对优势关系粗糙集模型的研究中，根据优势关系获取决策规则是研究的热点之一。Greco 等优势粗糙集方法给出了确定D≥、可能D≥、确定D≤、可能D≤、近似D≥≤5 种决策规则形式［4-5］，文献［6］提出了“↑”和“↓”描述符，并给出了“↑”和“↓”两种可信规则形式，文献［7］通过语义计算方法给出了3 种规则形式。从这些文献可以看出，多数规则都是从Greco 形式中演变而来，用于解决不同应用方面的问题，但这些规则形式仅能从有限数据中提取有限决策规则，这就给决策过程带来了困难。文献［8］研究协调优势决策信息系统的规则获取方法，该方法试图通过少数样本数据，获取涵盖目标条件属性所有取值的确定性规则，其规则的正确性是值得商榷的，文献［8］在决策规则获取方法中设Et=∧Ft，是以属性向量(对象属性取值的有序数组)为单位取小，而在针对目标威胁评估的实例中是以单个属性为单位取小，并且两种取法均有其不足之处，以属性向量为单位取小，作为取得该决策的最小属性值，要求取得该决策的属性值必须大于等于该最小属性值，此种做法要求实例数据必须包含取得各类决策的最小属性取值样本，显然不具通用性;以单个属性为单位取小则极易出现不同决策的最小属性取值相同的情况，如文献［8］实例中E1= E2= {(1，1，1，1，1)}，在此基础上得到(1，1，1，1，1)→d=1 而不是(1，1，1，1，1)→d =2 是缺少依据的，并且在极端的情况下极有可能出现各类决策的最小属性取值均相同的情况。综上所述，文献［8］中方法易导致所获取规则正确率较低。

此外在目标威胁评估等实际问题中，所面对的信息系统不仅是基于优势关系的，而且是不协调的。Greco 等在2000年提出一种基于优势关系下的可变一致性模型(VC-DRSA)［9］，该模型设定了一个信任度，并利用具有“自反”和“传递”特性的优势关系来解决多属性决策问题。文献［10 -11］在基于优势关系下的信息系统中引入了协调近似空间的概念，分别讨论了分配约简和分布约简，进一步丰富了基于优势关系下不协调决策信息系统的研究。

然而通过分析发现文献［9 -11］中关于不协调优势决策信息系统的研究均是在“承认引起优势决策信息系统不协调的对象存在是合理的”基础上展开的。本文认为要从不协调优势决策信息系统中提取规则，首先应依据在优势决策信息系统中，相对于决策属性而言，条件属性值是效益型还是成本型，借助一定的方法剔除不合理对象而后提取其决策规则。

1 相关概念及理论

1.1 优势决策信息系统及其属性约简

定义1［1］称{U，A，F，d}是决策信息系统，其中U={x1，x2，…，xn}为对象集，U 中的每个元素xi(i≤n)称为一个对象。A ={a1，a2，…，am}为属性集，A 中的每个元素al(l≤m)称为一个属性。F ={fl:U→Vl(l≤m)}为U 与A 之间的关系集，其中Vl为al(l≤m)的值域。d:U→Vd为决策，Vd取有限值。

定义2 设{U，A，F，d}为决策信息系统，R≤A=其中称为决策信息系统的优势关系，此时该决策信息系统称为优势决策信息系统。

定义3 设{U，A，F，d}为决策信息系统，给出优势关系R≤B，若R≤B=R≤A，称B 为优势决策协调集。若B 为优势决策协调集，且B 的任何真子集都不是优势决策协调集，则称B 为优势属性约简集，简称优势约简集。

定理1 设{U，A，F，d}是优势决策信息系统，对于任意Dd＜∈Q，属性约简集B 满足B∩Dd＜≠∅.

1.2 基于粗糙集的全序化方法

粗糙集方法通过关系模型得到优势信息系统中的对象之间的排序［12-13］。

若(xi，xj)∈R≤B，它等价于B，记作若记为

定理2 若B⊆A，R≤B=R≤A，则xi≤Bxj当且仅当xi≤Axj.

通过粗糙集方法实现优势决策信息系统中的对象排序［12］，步骤如下:

1)计算优势决策信息系统的辨识矩阵Q，而后依据定理1 获得该决策信息系统的属性约简集。

2)针对约简的优势决策信息系统，求取所有的［xi］≤B(i≤n)，对于，利用包含度计算属性集B 条件下，对象xi优于xj的程度，

式中:|·|表示集合元素的个数;n 表示对象的个数。进一步获得对象之间的优势矩阵

3)利用算术平均得到对象xi在属性B 下的综合优势度

RB(xi)的值越大，则对象xi越具有优势，因此按照RB(xi)由大到小的顺序即可将对象由优到劣排序。

定义4 对任意的x，y∈U，如果x≤y 或x≥y之一成立时，则称x、y 是可比的，否则称为不可比的。

由粗糙集方法可以得到对象的某种排序，并且无论约简属性集是否唯一，得出的排序在可比较的对象上是一致的。

2 优势决策信息系统的规则获取方法

借助粗糙集方法，利用优势决策信息系统中的条件属性集能够实现对象的优劣排序，在排序的基础上综合考虑决策属性，则可剔除不协调对象，将不协调决策信息系统转化为协调决策信息系统。

因此接下来针对协调决策信息系统{U，A，F，d}，讨论其决策规则获取方法。

设Vl=Vd=V，条件属性集的取值域与决策属性的取值域相同。

设Vm={(u1，u2，…，um)|ul∈V(l≤m)}，对于(u1，u2，…，um)∈Vm，(v1，v2，…，vm)∈Vm，记(u1，u2，…，um)∧(v1，v2，…，vm)=(u1∧v1，u2∧v2，…，um∧vm)，(u1，u2，…，um)∨(v1，v2，…，vm)=(u1∨v1，u2∨v2，…，um∨vm)，其中ul∧vl和ul∨vl分别表示取ul与vl中的最小值和最大值。

假定协调优势决策信息系统{U，A，F，d}是有限值域的，Vl=Vd=V={1，2，…，r}，l≤m.

设Dt={xi|d(xi)=t}，t≤r 表示决策目标为t的对象集合，Ft={F(xi)|xi∈Dt}，t≤r 表示决策目标为t 的对象的属性值集合，记Ft中存在可比较对象的对象集合为Gt，不存在可比较对象的对象集合为Mt. Et=∧Gt=∧{F(xi)∈Gt|xi∈Dt}，t≤r 表示决策目标为t 的属性值中取小值，Ht= ∨Gt=∨{F(xi)∈Gt|xi∈Dt}，t≤r 表示决策目标为t 的属性值中取大值。

1)假设决策目标值越大时，对象的属性向量越大，即属性值是效益型时，可以得到以下确定性决策规则:

r1:若F(x)≤F(xi)∈(H1∨M1)，则d(x)=1;

r2:若(F(x)≥F(xi)∈Et)∧(F(x)≤F(xi)∈Ht)，1 ＜t ＜r，或者F(x)=F(xi)∈Mt，则d(x)=t;

r3:若F(x)≥F(xi)∈(Er∨Mr)，则d(x)=r.

此外可得到部分确定性规则:

r4:若F(x)＜(Ht∨Mt)，t ＜r，则d(x)=1∨2∨…∨t;

r5:若F(x)＞F(xi)∈(Et-k∨Mt-k)，并且F(x)＜F(xi)∈(Ht∨Mt)，则d(x)=t-k∨t -k +1∨…∨t;

r6:若F(x)＞F(xi)∈(Et∨Mt)，t ＞1，则d(x)=t∨t+1∨…∨r.

2)假设决策目标值越大时，对象的属性向量越小，即属性值是成本型时，可以得到以下确定性决策规则:

r1* :若F(x)≥F(xi)∈(E1∨M1)，则d(x)=1;

r2* :规则不变;

r3* :若F(x)≤F(xi)∈(Hr∨Mr)则d(x)=r.

此外可得到部分确定性规则:

r4* :若F(x)＞(Et∨Mt)，t ＜r，则d(x)=1∨2∨…∨t;

r5* :若F(x)＜F(xi)∈(Ht-k∨Mt-k)，并且F(x)＞F(xi)∈(Et∨Mt)，则d(x)=t -k∨t -k+1∨…∨t;

r6* :若F(x)＜F(xi)∈(Ht∨Mt)，t ＞1，则d(x)=t∨t+1∨…∨r.

3)假设当属性取某个值、某些值或属于某个区间时，决策目标值最大，则需要结合实际问题背景，依据属性值的偏离程度，将属性值转化为效益型或成本型，而后借助效益型或成本型的规则获取方法，获得决策规则。

3 实例分析

雷达对抗目标威胁等级评估优势决策信息系统(U，A，F，d)如表1所示，其中U={x1，x2，x3，x4，x5，x6}为目标雷达对象集，A ={a1，a2，a3，a4，a5，a6}为属性集，雷达对抗目标威胁评估信息系统中属性取值可能是有限离散值、连续数值，也可能是语言值。本实例已将其统一处理为效益型离散取值属性，优劣排序为3≻2≻1，F ={fl:U→Vl，al∈A}为目标雷达对象与属性之间的关系集，Vl的取值见表1，由于所以该雷达对抗目标威胁等级评估信息系统为不协调优势决策信息系统，其对应的辨识矩阵如表2所示。

表1 雷达对抗目标威胁评估优势决策信息系统Tab.1 Dominance decision-making information system for target threat assessment

表2 威胁评估优势决策信息系统的辨识矩阵Tab.2 Discernibility matrix of dominance decision-making information system for threat assessment

3.1 基于粗糙集的协调化处理

首先在决策辨识矩阵中提取非空决策辨识集，而后依据定理1 可得雷达目标威胁评估优势决策信息系统的属性约简为B={a1，a2，a3，a5，a6}.

对于约简后的优势决策信息系统有

由(1)式可得到雷达目标的优势矩阵

由(2)式计算目标xi威胁的综合优势度RB(xi)为:RB(x1)≈0.83，RB(x2)≈0.78，RB(x3)≈0.52，RB(x4)≈0.43，RB(x5)≈0.67，RB(x6)≈0.79，RB(x7)≈0.88，RB(x8)≈0.6，RB(x9)≈0.78，RB(x10)≈0.88.

根据RB(xi)由大到小，得出目标威胁等级次序为:x7≈x10≻x1≻x6≻x2≈x9≻x5≻x8≻x3≻x4，结合决策属性可以看出目标x7和x8威胁等级决策是不合理的，因此将优势决策信息系统中的对象x7和x8剔除。

3.2 目标威胁评估规则提取

由对象U={x1，x2，x3，x4，x5，x6，x9，x10}构成的协调优势决策信息系统中，D1={x3，x4}，D2={x2，x5，x6，x9}，D3={x1，x10}，F1={(2，1，2，2)，(1，1，1，2)}，F2={(2，3，2，3)，(2，2，2，2)，(3，1，3，1)，(2，3，2，3)}，F3={(2，2，3，3)，(2，3，3，3)}，E1=(1，1，1，2)，H1=(2，1，2，2)，E2=(2，2，2，2)，H2=(2，3，2，3)，M2=(3，1，3，1)，E3=(2，2，3，3)，H3=(2，3，3，3)，于是有确定性规则，共17 条:

r1:当F(x)≤H1(x)时，d(x)=1;

r2:当E2(x)≤F(x)≤H2(x)或F(x)=M2(x)时，d(x)=2;

r3:当F(x)≥E3(x)时，d(x)=3.

而后在其余64 类条件属性中，寻找部分确定性规则:

r4:当F(x)＜H2(x)或F(x)＜M2(x)时，d(x)=1∨2;

r5:当F(x)＞E2(x)或F(x)＞M2(x)时，d(x)=2∨3.

依据以上规则可以得到目标威胁评估的17 条确定规则和40 条部分确定规则，如表3所示。

表3 目标威胁评估规则库Tab.3 Rules of target threat assessment

4 结论

本文围绕优势决策信息系统的规则获取方法展开研究，具体完成以下主要工作:

1)给出优势决策信息系统的决策辨识集和决策辨识矩阵的定义，以及寻找属性约简集的方法。

2)在属性约简的基础上，利用基于优势关系的粗糙集方法实现对象的优劣排序，综合考虑决策属性，剔除不协调对象，将不协调优势决策信息系统转化为协调优势决策信息系统。其中基于优势关系的优劣排序方法与其他排序方法得出的结果［13］，在可比较的对象上完全相同，这一点说明了利用该方法进行优劣排序的有效性。

3)提出协调优势决策信息系统的规则获取方法，该方法在充分挖掘决策信息系统中蕴含信息的同时，确保规则的正确性。利用文中方法得到的规则与利用基本粗糙集方法仅可以得到的8 条规则一致，此外文献［8］中利用10 个样本得到全部条件属性取值的108 条规则是不甚合理的，本文区分确定性规则和部分确定性规则，保证了规则的正确性和合理性。

准确对多部目标雷达进行威胁等级评估是快速进行干扰决策、合理分配干扰资源，达到最佳干扰效果的重要依据，是电子对抗领域的一个重要研究课题。通过实例分析发现文中方法为雷达目标威胁评估提供了新的方法和思路，此外该方法具有普适性，可以为解决现实生活中大量面对的属性含有“偏好信息”的决策问题提供参考。

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