郝　乐

(沈阳大学 经济学院, 辽宁 沈阳　110044)



关于正项级数敛散性的判别法序列

郝乐

(沈阳大学 经济学院, 辽宁 沈阳110044)

摘要:通过将熟知的对数判敛法、根值判敛法和比值判敛法进行推广,得到了相应的判别法序列,并列举了其中的某些方法的应用.

关键词:正项级数; 收敛; 判别法; 序列

关于正项级数敛散性的判别,除了定义及柯西收敛准则外,并不存在对任意级数都能生效的万能判别法.但一些方法却可以无止境地推广和延伸,从而得到判别法序列,见文献[1]. 这些判别法序列的功能是逐渐加强的.首先引入如下记号:

1对数判别法序列

在本段中记:

证明显然,判别法L0就是对数判别法,见文献[2],以下设k是任意的正整数.

(1) 若10 及自然数N, 使得当n≥N时,有ln[k+1]n>0及Lk(n)≥1+α,即

整理得

由柯西积分判敛法及比较判敛法知,级数∑an收敛.

(2) 若-∞≤pk<1,则存在自然数M, 使得当n≥M时,有ln[k+1]n>0及Lk(n)<1, 整理得

由柯西积分判敛法及比较判敛法知,级数∑an发散.

2根值判别法序列

在本段中,引用如下记号:

证明显然,判别法G0就是柯西(根值)判别法,见文献[3],以下设k是任意的正整数.

两端取对数,得

则

3比值判别法序列

在本段中记:

证明显然,判别法D0,D1,D2分别就是达朗贝尔(比值)判别法、拉贝判别法和伯尔特昂判别法,见文献[4]. 下面就k≥3的一般情形予以证明.

为书写方便,记:

上式两端取对数,则有

lnan-lnan+1=

N≥M时

由文献[5]中的定理1.1及附注(1.3)可知

式中,Ck-1为广义欧拉常数.所以

则

与前面的判别法Lk强于判别法Lk-1同理,在判别法序列{Dk}中,判别法Dk强于判别法Dk-1.

解

显然,判别法D0即达朗贝尔(比值)判别法失效.……