戴杰涛　李烈军　戴文笠　张祖江

(1.华南理工大学 机械与汽车工程学院, 广东 广州510640; 2.宝钢集团 广东韶关钢铁有限公司, 广东 韶关 512123)

张力下的板形屈曲临界载荷和宽度分析*

戴杰涛1李烈军1戴文笠2张祖江2

(1.华南理工大学 机械与汽车工程学院, 广东 广州510640; 2.宝钢集团 广东韶关钢铁有限公司, 广东 韶关 512123)

摘要：针对现场板带材的实际板形瓢曲情况,在分析以往板带材屈曲按全板宽进行计算的解析模型的基础上,文中采用压应力区域作为板形瓢曲变形区域,以反映现场的实际板形情况,并据此建立了张力影响板形瓢曲变形的解析计算模型,获得了不同张力大小情况下板带材的临界屈曲载荷与宽度的变化情况:临界屈曲载荷随张力的增大而增大,而临界屈曲宽度随张力的增大而减小,与现场的实际情况一致.为进一步验证解析计算结果,建立了张力作用下板带材瓢曲的有限元计算模型,仿真计算结果与解析计算结果基本一致.

关键词：板带材;张力;屈曲;有限元

张力对整体浪形的影响一直是板形瓢曲计算领域的一个薄弱环节,因为在实际的生产过程中,带钢是一个整体,随着张力的增大,板带材的压应力会随之变化,导致板形瓢曲区域也发生变化.同时,有限元仿真计算结果也表明,在板形瓢曲计算中,张力越大,屈曲宽度越小.现有张力对板形瓢曲变形影响的研究主要集中在连续退火炉内张力对热瓢曲的影响[1-5],有关张力对热、冷连轧过程中板形瓢曲变形影响的研究相对较少[6-9],最常见的方法是在解析研究过程中忽略张力对板形瓢曲变形宽度的影响,认为在不同张力情况下板形瓢曲变形的宽度保持不变[6,9],计算结果不能有效地反映板带材张力对板形瓢曲变形宽度的影响.此外,以往对现场板形瓢曲进行解析计算时,均认为钢板的屈曲区域是整体宽度的[10-14],但在实际的生产过程中,不管有没有张力,板带材的瓢曲区域均没有达到整体宽度,只是在部分宽度内发生,因此,如果按整体宽度对板带材的临界屈曲载荷进行计算,获得的临界屈曲载荷往往要小于实际的板形临界屈曲载荷值.以往按整体宽度对冷轧后薄带钢板形瓢曲行为进行计算,获得的临界屈曲载荷均很小[8-9,11,14],以宽为1 600 mm、厚为1 mm的钢板为例,按文献[11]方法计算获得的临界屈曲载荷为1.512 MPa,折算到板形浪形为0.2 IU(1 IU表示100 m长的板带材纵向延伸差为1 mm).按后屈曲计算,如果其浪形达到5 IU,则其浪形高度将达到10 mm以上,而实际浪形的控制标准为高度在3 mm以内,相应的浪形在5 IU以内,显然上述计算结果不符合现场的实际情况.

针对上述问题,文中采用压应力区作为板形瓢曲变形区域对现场实际板形情况进行跟踪分析,建立了张力影响板形瓢曲变形的解析计算模型,以解决采用全板宽计算导致临界屈曲载荷偏小的问题;同时将张力引入解析模型,以解决以往解析模型在考虑张力时不能有效反映张力对板形瓢曲宽度影响的问题.为进一步验证解析计算结果,文中还建立了张力作用下板带材瓢曲变形的有限元仿真分析模型,以验证解析计算模型的正确性.

1张力对板形瓢曲影响的解析计算

1.1　张力作用下板材的载荷函数

根据现场钢板的板形应力情况,以板中心为坐标原点,y表示纵向位置,x表示横向位置,可以将钢板的板形载荷定义为(文中在计算时均以中浪为例进行分析),

(1)

式中:Ny为钢板沿宽度方向的载荷分布值;N0为边界不均匀分布载荷尖峰值;b为钢板宽度;l、m、n为常数,其数值根据板形仪上显示的板形曲线进行拟合得到;dN为待定常数.

考虑到板形应力应满足自平衡条件[8-12],即

(2)

可以求出式(1)中待定常数dN:

(3)

设板材受到的张力为Nz,则板材的载荷为

(4)

1.2　板形瓢曲区域的分析

在以往的板形瓢曲计算过程中,往往认为板形的瓢曲区域为整体宽度,而从图1所示的中浪及板形应力图可以看出,钢板的起浪区域不是整体宽度,而是受压应力作用的区域.同时从受力角度分析也可以知道,钢板在受拉应力区域不能发生板形瓢曲变形.因此,文中在对板形瓢曲进行解析计算时,将钢板的瓢曲区域限定在受压应力区域.

图1　在拉、压应力作用下板材的中浪变形实物图Fig.1　Photo of plate central wave deformation under tensile and compressive stress

因此,对于式(4)所示的载荷情况,板材的瓢曲区域可以通过下式获得:

(5)

bw=f (b,Nz/N0)

(6)

1.3　浪形函数

从上述浪形瓢曲区域的分析可以看出,发生浪形瓢曲变形的区域为Ω1[-bw,bw;-a,a],而非整个方板区域Ω[-b,b;-a,a],屈曲区域的长度a为浪形的半波长,其具体取值由能量最低原理确定.

根据现场的实际浪形模态特征,取板形瓢曲区域两侧边为固支约束,则挠度函数W(x,y)应满足如下边界条件:

(7)

在满足上述边界条件的情况下,根据现场浪形函数案例的实测,浪形的挠度函数可描述成如下数学表达式:

(8)

式中,A为挠度幅值.

挠度函数W的仿真结果如图2所示,显然此挠度函数更符合图1所示的实际板形情况.

图2　挠度函数仿真结果Fig.2　Simulation result of deflection function

1.4　临界屈曲载荷的求解

根据小挠度理论和能量原理[14-15],屈曲时刻对应的临界状态由式(9)获得:

T=U

(9)

其中,微弯状态下矩形板带材的弯曲变形能U为

(10)

作用在中面内的中面内力做功T为

(11)

式中，Nx为钢板沿长度方向的载荷分布值，Nxy为钢板剪切载荷分布值.文中讨论的现场钢板情况下的Nx和Nxy值均为0.

由此可知,式(7)-(9)构成了求解屈曲载荷N0的方程组.获得N0的表达式

(12)

引入

θ=a/bw

(13)

根据临界屈曲载荷最小,对临界载荷N0求θ的偏导,则有

(14)

从而获得θ=2/3.

将θ=2/3及式(6)、(13)代入式(12)中,可以获得

N0=f(Nz,b,h)

(15)

在给定张力Nz的情况下,通过式(15)获得临界屈曲载荷后代入式(6)中,可以进一步获得张力作用下板材的临界屈曲宽度.

1.5　与整体宽计算结果对比

为了验证采用压应力区域宽度作为屈曲宽度计算结果的正确性,针对现场某块规格为板宽2b=1 600 mm、厚度h=1.0 mm的钢板进行了跟踪,此钢板在轧制过程中板形仪上显示钢板的板形应力为4.89 IU,板形应力函数如式(16)所示,在检测平台上测量得到的浪高大约为3.3 mm.

Ny=N0x2

(16)

针对上述现场的实际钢板,在张力为0的情况下,按压应力区域屈曲计算获得的临界屈曲载荷为4.284 MPa,而以整体宽计算获得的临界屈曲载荷为1.512 MPa.为了更好对比两者的计算结果,采用摄动法[14-15]对后屈曲路径进行计算(具体计算过程在此不作赘述),按压应力区域屈曲在延伸差为4.89 IU(即内应力载荷为10.27 MPa)的情况下,获得的浪高为4.16 mm,而按整体宽计算获得的浪高为10.35 mm,显然按压应力区域进行计算更符合现场的实际情况.

1.6　算例分析

针对1.5节中的钢板情况,文中计算了不同张力情况下板形的临界屈曲载荷和宽度.

在弹性模量E=210 GPa、泊松比μ=0.3的情况下,板形的临界屈曲载荷和宽度随张力的变化如图3所示.从图中可以看出:板带材的临界屈曲载荷随着张力的增大而增大,并且近似呈直线增长;随着张力的增大,板带材的临界屈曲宽度迅速降低,达到一定的值后下降趋势趋于平缓.

图3　临界屈曲载荷和宽度随张力的变化曲线Fig.3　Changing curves of critical buckling load and width with outer tension

为了进一步验证上述计算结果,对活套上同样规格的钢板进行了不同张力调整试验,从试验中可以看出,当张力增大时,活套上钢板的浪形宽度会变小,这与图3(a)的计算结果一致,同时随着张力的增大,本来有浪形的钢板会被拉直(即钢板的临界屈曲载荷增大),这与图3(b)的计算结果也一致.这从侧面验证了文中建立的张力对板形屈曲影响解析模型的正确性.

2张力对板形屈曲影响的有限元仿真

为了进一步分析张力对板形屈曲的影响,也进一步验证解析计算过程的正确性,文中应用ANSYS有限元软件对承受张力的板带材进行了仿真分析[16].

2.1　模型参数与网格划分

由于Shell63单元具有弯曲和薄膜两种功能,可以承受面内载荷和法向载荷,同时其已经考虑了应力强化和大变形,因此文中采用Shell63单元来划分网格.

选取材料性能参数如下:弹性模量为210 GPa,泊松比为0.3,带钢沿各方向的热膨胀系数为1.2×10-6/℃,厚度为0.001 m.

这里可以直接建立一个矩形面积作为带钢模型,并令原点为模型的中心点,x、y方向分别为带钢的宽度方向(横向)和长度方向(纵向),面积尺寸初步定为8 000 mm×1 600 mm(长度×宽度,分析过程中宽度保持不变),网格数为30×150.

2.2　约束及边界载荷

根据轧制理论可以知道，带钢的纵向瓢曲浪形是由于带钢纵向延伸在宽度方向上的分布不一致.为了描述这种不一致的纵向延伸分布,文中采用不均匀的温度场来描述带钢的不均匀延伸,同时对载荷离散化后将离散化的数据添加到每个节点上,这样就构成了中浪求解的载荷条件.在带钢的端边界上以节点载荷的形式给定张力,其合力与带钢的张力大小一致.对于模型的边界约束,以中浪为例,给定图4所示的约束条件.

图4　张力下板带材屈曲的有限元模型Fig.4　Finite element model of strip plate buckling under tension

2.3　张力条件下板形纵向瓢曲模态

图5给出了张力条件下的钢板瓢曲浪形模态,从图中可以看出,在张力条件下钢板的浪形模态在宽度方向上不是钢板的整体宽度,而是部分宽度,这验证了文中对张力条件下带钢采用压应力区域而非整体宽度进行计算的正确性.

图5　张力下板带材的屈曲模态Fig.5　Buckling modal of strip plate under tension

2.4　张力对临界屈曲载荷和宽度的影响

不同张力情况下板带材的临界屈曲载荷和宽度的解析计算结果与有限元仿真结果比较如图6所示,从图中可以看出:在不同张力情况下,板带材的临界屈曲载荷随着张力的增加而增加,有限元仿真计算结果小于解析计算结果,这是因为在解析计算过程中,固支约束边界给定在板带材的实际边部,而不是在发生瓢曲区域的边部,这使得实际发生瓢曲区域的边界约束要比解析计算的边界约束弱;随着张力的增大,板带材的临界屈曲宽度减少,有限元仿真结果大于解析计算结果,这同样是由于有限元计算过程中添加的约束条件与解析计算中添加的约束条件不一致造成的.

图6　临界屈曲栽荷和宽度的解析计算结果与有限元仿真结果比较Fig.6　Comparison of critical buckling load and width betweenresolution results and finite element simulation results

3结论

文中采用压应力区域而不是全板宽作为板形瓢曲变形区域对现场实际板形情况进行跟踪分析,建立了张力影响板形瓢曲变形的解析计算模型,获得了不同张力情况下板带材的临界屈曲载荷和宽度的变化情况.为进一步验证解析计算结果,文中还建立了张力作用下板带材瓢曲变形的有限元仿真分析模型,获得的仿真结果验证了解析计算模型的正确性.

参考文献:

[1]刘顺明,尹显东,郑晓飞,等.退火炉内带钢拉伸失稳与屈曲失稳分析 [J].轧钢,2013,30(6):22-25.

Liu Shun-ming,Yin Xian-dong,Zheng Xiao-fei,et al.Ana-lysis of tensile instability and buckling instability of strip in the furnace of continuous annealing line [J].Steel Rolling,2013,30(6):22-25.

[2]李会免,刘建雄,李俊洪.连续退火炉内带钢横向张力分布研究 [J].材料热处理技术,2010,39(4):148-150.

Li Hui-mian,Liu Jian-xiong,Li Jun-hong.Research of transverse tension distribution on steel strip in continuous-annealing furnace [J].Material & Heat Treatment,2010,39(4):148-150.

[3]戴杰涛,李烈军,张祖江,等.中厚板宽板轧制中边浪的产生机理与抑制措施 [J].华南理工大学学报:自然科学版,2014,42(12):64- 69.

Dai Jie-tao,Li Lie-jun,Zhang Zu-jiang,et al.Generation mechanism and restrain measure of edge wave on the medium plate rolling [J].Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition,2014,42(12):64- 69.

[4]胡广魁.连续退火炉内钢带稳定运行张力分析 [J].宝钢技术,2010(5):47-50.

Hu Guang-kui.Tension analysis for stable strip running in a continuous annealing furnace [J].Baosteel Technology, 2010(5):47-50.

[5]戴江波.冷轧宽带钢连续退火线生产线上瓢曲变形的研究 [D].北京:北京科技大学机械工程学院,2005.

[6]林振波.冷带轧机板形判别模型的有限条分析 [D].河北:燕山大学机械工程学院,1993.

[7]边宇虹,刘宏民.求解带材轧后大挠度屈曲变形的一个通用方法 [J].机械工程学报,1994,30(增刊):21-27.

Bian Yu-hong,Liu Hong-min.Universal method analysing the large deflection buckling deformation of rolled strip [J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,1994, 30(Suppl):21-27.

[8]杨荃,陈先霖.轧制带材的瓢曲生成路径 [J].北京科技大学学报,1994,16(1):53-57.

Yang Quan,Chen Xian-lin.The deforming route of buckled waves of rolled strip [J].Journal of University of Science and Technology Beijing,1994,16(1):53-57.

[9]杨荃.冷轧带钢屈曲理论与板形控制目标的研究 [D].北京:北京科技大学机械工程学院,1992.

[10]Poplawski J V,Jr Seccombe D A.Bethlehem’s contribution to the mathematical modeling of cold rolling in tandem mills [J].Iron Steel Engineering,1980,57(9):47-58.

[11]常铁柱.薄宽带钢板形斜向和横向屈曲变形行为研究 [D].北京:北京科技大学机械工程学院,2009.

[12]Roberts W L.Cold rolling of steel [M].New York:Marcel Dekker Inc,1978.

[13]Tarnopolskaya T,Gates D J.Analysis of the effect of strip buckling on stability of strip lateral motion with application to cold rolling of steel [J].Journal of Dynamic Systems Measurement and Control,2008,130(1):1-7.

[14]戴杰涛,张清东.冷轧薄板中浪板形缺陷的屈曲及后屈曲理论与轧制试验研究 [J].机械工程学报,2011, 47(2):44-50.

Dai Jie-tao,Zhang Qing-dong.Analysis and experimental on central buckling and post buckling of thin cold-rolled sheet [J].Journal of Mechanical Engineering,2011,47(2):44-50.

[15]戴杰涛,张清东,秦剑.薄宽冷轧带钢局部板形屈曲行为解析研究 [J].工程力学,2011,28(10):236-242.

Dai Jie-tao,Zhang Qing-dong,Qin Jian.Analysis of local buckling for thin cold-rolled strip [J].Engineering Mechanics,2011,28(10):236-242.

[16]卿伟杰,杨荃.冷轧带钢整体和局部屈曲及后屈曲的有限元分析 [J].北京科技大学学报,2000,22(4):377-380.

Qing Wei-jie,Yang Quan.Study on cold rolled strip glo-bal and local buckling,post-buckling using the finite element method [J].Journal of University of Science and Technology Beijing,2000,22(4):377-380.

Analysis of Critical Load and Width of Plate-Shaped Buckling under Tension

DaiJie-tao1LiLie-jun1DaiWen-li2ZhangZu-jiang2

(1. School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong,

China; 2. Shaoguan Iron and Steel Co.Ltd., Baosteel Group, Shaoguan 512123, Guangdong, China)

Abstract:Based on the actual plate and strip buckling situation in the site and by analyzing the analytic model of plate and strip buckling, which used to be calculated as a whole, this paper takes the compressive stress region as the plate-shaped buckling deformation region to reflect the actual plate shape situation in the site, and then establishes an analytic calculation model of the outer tension affecting the plate-shaped buckling deformation. Thus, the changes of the critical buckling load and critical width of plate and strip are obtained under different outer tensions, that is, with the increase of tension, the critical buckling load increases while the critical width decreases, which accords well with the actual situation in the site. In order to further verify the analytic calculation result, a finite element calculation model of the plate and strip buckling is established under outer tensions, and the simulation result is consistent with the analytic calculation one.

Key words:plate and strip; tension; buckling; finite element

中图分类号：TG335.5

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2015.09.017

作者简介：戴杰涛(1982-)，男，博士后，工程师，主要从事冶金机械力学行为和板带钢板形的机理分析与控制研究.E-mail： djt66008@163.com

*基金项目：中国博士后科学基金资助项目(2014M562168)

收稿日期：2015-03-10

文章编号：1000-565X(2015)09-0107-06

Foundation item： Supported by the China Postdoctoral Science Foundation(2014M562168)