郑伟佳　王孝洪　皮佑国

(华南理工大学 自动化科学与工程学院, 广东 广州 510640)

基于输出误差的永磁同步电机分数阶建模*

郑伟佳王孝洪†皮佑国

(华南理工大学 自动化科学与工程学院, 广东 广州 510640)

摘要：为了得到永磁同步电动机更为精确的数学模型,采用机理建模和数值建模相结合的方式,提出了一种永磁同步电动机分数阶建模方法.首先根据电动机组成机理建立电动机的电磁环节和机械环节模型,分别对这两个环节进行建模实验,然后采用基于输出误差的数值拟合方法进行参数辨识,得到永磁同步电动机的分数阶模型,最后根据所得模型设计速度控制器并进行电动机速度跟踪仿真和实验.结果表明,电动机分数阶模型比整数阶模型能更准确地描述电动机的实际特性.

关键词：同步电动机;建模;输出误差算法;参数辨识;PI控制器

近年来,分数阶微积分得到了广泛的研究和应用[1- 6].越来越多的实际系统可以用分数阶微分方程精确建模,如电池[7]、热力学系统[8]和感性元件[9].Hartley等[10]给出了基于连续分布的分数阶系统辨识方法.Gabano等[8]和Poinot等[11]提出了热力学系统的分数阶建模方法.余伟等[12]研究了永磁同步电动机的分数阶建模,将电动机看成一个整体,将其整数阶数学模型中的S算子直接假设成分数阶,再辨识其阶次而得到电动机的分数阶模型,在验证时对分数阶模型的阶跃响应与整数阶模型的阶跃响应进行了对比.该模型虽然比整数阶模型能更准确地描述电动机的实际特性,但将电动机作为一个整体进行建模未能很好地利用电动机的组成机理,因而不能进一步获得对电动机本质的认识,同时辨识中电动机的电磁环节和机械环节还可能相互影响.

为此,文中采用机理建模与数值建模相结合的方式,首先根据电动机的组成机理将电动机分成电磁环节和机械环节两部分(前者将电压转换成电磁力矩,后者在力矩作用下产生转子旋转),并分别建立这两个环节的数学模型;然后以伪随机序列作为激励信号,分别对这两个环节进行建模实验,根据输入输出采样数据,采用基于输出误差的数值拟合方法辨识这两个环节的参数,得到永磁同步电动机的分数阶数学模型;最后分别以整数阶模型和分数阶模型作为对象模型,根据增益截止频率和相位裕度准则设计速度比例积分(PI)控制器，并进行速度跟踪仿真和实验,比较仿真结果和实验结果之间的差异.

1永磁同步电动机模型

根据电机统一理论,在dq坐标系下永磁同步电动机的等效模型为[13]

(1)

(2)

式中,uq是q轴电压,E是反电动势,Ce是感应电动势系数,n是电动机转速,R是电枢电阻,iq是q轴电流,L是电枢电感,T是电磁转矩,TL是负载转矩,Cm是转矩系数,iL是等效负载电流,m是电动机等效飞轮重量，g是重力加速度，D是飞轮惯性直径.

实际的系统通常是分数阶的[14],采用分数阶模型能够更好地描述电感的特性[9，15].电动机电磁环节可由式(3)表示,其中分数阶次满足0<ϑ<2.

(3)

电动机的动力学方程[13]是基于旋转体上质量为均匀分布的假设,实际电动机的机械环节也应该是分数阶的,如式(4)所示,其中分数阶次满足0<ξ<2.

(4)

2分数阶系统的时域辨识

2.1　分数阶系统的近似

在频段(ωL,ωH)内,分数阶积分器1/sξ可用一阶积分器和包含2N+1个单元的Oustaloup滤波器[16]串联来逼近[11，17],即

(6)

(7)

设分数阶辨识参考模型的传递函数为

P(s)=b/(sξ+a)

(8)

(9)

2.2　分数阶模型参数辨识

(10)

3永磁同步电动机分数阶建模

3.1　永磁同步电动机调速平台

永磁同步电动机调速实验平台如图1所示,实验所用电动机为日本三洋公司的P10B18200BXS永磁同步电动机,伺服驱动装置为实验室自制,其中控制板所用的DSP为德州仪器公司的TMS320F2812芯片.PC机所用软件平台为德州仪器公司的CodeComposerStudio(CCS)软件,PC机通过仿真器与驱动装置通信,控制电动机运行.

图1　永磁同步电动机调速实验平台Fig.1　PMSM speed-control platform

3.2　辨识输入信号选取

伪随机二进制序列(PRBS)是应用最广的一种实验信号,它能对辨识系统进行持续激励,并具有可调的幅度和周期,且不受环境变化的影响[19].文中选用伪随机序列作为辨识输入信号.

3.3　电磁环节参数辨识

考虑电动机电压方程(3),如果能在采样过程中保持电机转速为0,则电压方程变为

(11)

根据采样得到的q轴电压uq和电流iq,就可以对电枢回路参数进行辨识,因此辨识的关键是保证电动机转速为0.根据磁链跟踪控制原理,采用磁定位技术[20]可以满足此要求.

给永磁同步电动机的定子回路输入一个大小和方向恒定的电压矢量,在电动机空间建立一个静止的圆形磁场,把电动机转子拉到电压矢量对应的位置后保持静止.在随后的辨识实验过程中,保证定子电压的方向不变.当q轴电流达到一个相对稳定的值时,把q轴电压设为伪随机序列,保持d轴输入电压为0,并对q轴电压和电流进行采样,得到的uq和iq波形如图2所示.

根据(uq, iq)采样数据,经辨识算法迭代运算,得到ξ=0.908 1,a=127.380 3,b=83.638 3.电磁环节的传递函数为

(12)

图2　q轴电压uq与电流iq波形Fig.2　Waveforms of q-axis voltage uqand current iq

3.4　机械环节参数辨识

机械环节的建模实验需要进行两次数据采样.首先,把电动机q轴电压设为一常数,对q轴电流iq1和电机转速n1进行采样.当电机转速达到一个相对稳定的值时,把伪随机序列叠加到q轴电压中.此时q轴电流可以分成两部分,一部分由q轴电压的直流分量产生,另一部分由叠加的伪随机序列产生,只有后者被用于参数辨识.同样地,电动机转速也可以分成两部分,一部分由q轴电流的直流分量产生,另一部分由q轴电流的交流分量产生(该交流分量由伪随机序列产生),只有后者被用于参数辨识.为了得到仅由伪随机序列产生的部分,需要再进行一次采样:把q轴输入电压重新设成原来的常数,对q轴电流iq2和电机转速n2进行采样.这时采样得到的q轴电流仅由q轴直流电压产生,电动机转速仅由此时的q轴电流产生.综合两次采样数据,仅由伪随机序列产生的q轴电流交流部分为iq=iq1-iq2,其波形如图3(a)所示;仅由q轴电流中的交流分量产生的电机转速交流部分为n=n1-n2,其波形如图3(b)所示.

图3　q轴电流iq和电机转速n的交流部分Fig.3　AC component of q-axis current iqand motor speed n

在辨识算法中取a=0,根据(iq,n)采样数据,经过辨识算法迭代计算,得到系统参数ξ=1.046 3,b=1 033.084,可得机械环节的传递函数为

(13)

综合电磁环节和机械环节的辨识结果,得到永磁同步电动机分数阶模型为

(14)

4永磁同步电动机分数阶模型验证

4.1　模型验证方案

文献[12]分别根据电动机的整数阶和分数阶模型设计控制器,并分别使用两个控制器控制电动机进行调速实验.尽管实验结果表明,根据分数阶模型设计的控制器具有更好的控制性能,但由于没有模型仿真结果和实验结果的对比,无法评估分数阶模型和整数阶模型对电动机实际特性描述的精确程度,因而未能充分论证电动机分数阶模型能比整数阶模型更准确地描述电动机的实际特性.

根据增益截止频率和相位裕度准则,文中分别基于电动机分数阶模型和整数阶模型设计两组速度PI控制器.在软件平台上进行速度跟踪仿真:使用基于整数阶模型设计的控制器控制整数阶模型,而使用基于分数阶模型设计的控制器控制分数阶模型.在电动机调速平台上分别使用两组控制器控制电动机进行速度跟踪实验.比较两个模型的仿真结果和实验结果之间的差异,如果分数阶模型仿真结果和实验结果的偏差小于整数阶模型仿真结果和实验结果的偏差,则说明分数阶模型能更准确地描述电动机的实际特性.

4.2　控制器设计

根据得到的电动机分数阶模型参数,把永磁同步电动机调速系统的速度环转换为单位反馈系统,则速度环的分数阶开环传递函数为

(15)

根据永磁同步电动机的整数阶模型,采用文中提出的辨识方法对模型参数进行辨识,得到速度环的整数阶开环传递函数为

(16)

PI控制器的形式为C(s)=Kp(1+Ki/s),PI控制器的设计根据如式(17)、(18)所示的增益截止频率和相位裕度准则[21]：

(17)

(18)

式中,ωc为截止频率,φm为相位裕度.根据给定的截止频率和相位裕度,求解式(17)、(18)可分别求得基于分数阶模型和整数阶模型的速度PI控制器.

4.3　实验结果及分析

(1)给定截止频率为ωc=25 rad/s,相位裕度为φm=75°,计算得到基于Ps_i(s)的控制器C1(s)和基于Ps_f(s)的控制器C2(s)如下:

C1(s)=1.317(1+17.947/s)

(19)

C2(s)=1.368(1+15.085/s)

(20)

设定电动机转速为1 000r/min,使用Matlab对分数阶和整数阶系统进行速度跟踪仿真,在电动机调速平台上进行速度跟踪实验,得到采用C1(s)的整数阶模型和采用C2(s)的分数阶模型的仿真、实验结果如图4所示.

图4　整数阶系统、分数阶系统的仿真和实验结果对比Fig.4　Comparison between simulation results and experimental results for integer-order and fractional-order systems

(2)给定截止频率为ωc=40 rad/s,相位裕度为φm=70°,计算得到基于Ps_i(s)的控制器C3(s)和基于Ps_f(s)的控制器C4(s)如下:

C3(s)=2.122(1+23.883 7/s)

(21)

C4(s)=2.281(1+19.069 0/s)

(22)

采用C3(s)的整数阶模型和采用C4(s)的分数阶模型的仿真和实验结果如图5所示.

图5　整数阶系统和分数阶系统的仿真和实验结果对比Fig.5　Comparison between simulation results and experimental results for integer-order system and fractional-order system

从两组控制器的仿真和实验结果可以看出,分数阶模型的仿真结果与实验结果的偏差小于整数阶模型的仿真结果与实验结果的偏差,说明分数阶模型能更准确地描述电动机的实际特性.在实际应用中,采用文中提出的辨识方法对电动机进行模型辨识,得到的分数阶模型比整数阶模型更准确,根据分数阶模型设计的控制器具有更可靠的控制性能.

5结论

文中将机理建模与数值建模相结合,采用基于输出误差的辨识算法对永磁同步电动机进行分数阶建模研究,根据电动机的组成机理分别对永磁同步电动机的电磁环节和机械环节进行建模实验和模型参数辨识,然后根据分数阶模型和整数阶模型设计PI速度控制器并进行电机速度跟踪仿真和实验,结果表明,文中提出的分数阶模型能更准确地描述电动机的实际特性.

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Fractional-Order Modeling of Permanent Magnet Synchronous Motor Based on Output-Error Algorithm

ZhengWei-jiaWangXiao-hongPiYou-guo

(School of Automation Science and Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong, China)

Abstract:In order to obtain a precise model of permanent magnet synchronous motor (PMSM), a fractional-order modeling approach of PMSM is proposed by combining the mechanism modeling and the numerical modeling. First, the model structures of electromagnetic part and mechanical part of PMSM are built on the basis of the composition mechanism of PMSM, and modeling experiments are conducted on the two parts. Then, the parameters of the two parts are identified by applying the output-error numerical fitting method, and the fractional-order model of PMSM is thus obtained. Finally, the speed controllers are designed on the basis of the obtained model, and the simulations and experiments of tracking the motor speed are performed. Simulation and experimental results show that the proposed fractional-order model can describe the nature of PMSM more precisely in comparison with the integer-order model.

Key words:synchronous motors; modeling; output-error algorithm; parameter identification; PI controller

中图分类号：TP273

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2015.09.002

作者简介：郑伟佳(1988-),男,博士生,主要从事电动机分数阶建模与控制研究.E-mail: z.wj08@mail.scut.edu.cn† 通信作者： 王孝洪(1976-),男,副教授,主要从事电力电子技术、运动控制技术及其应用研究.E-mail: xhwang@scut.edu.cn

*基金项目：广东省数控一代机械产品创新应用示范工程专项资金项目(2013B011301012);广州市产学研协同创新重大专项(201508030040)

收稿日期：2015-02-12

文章编号：1000-565X(2015)09-0008-06

Foundation item： Supported by the High-Performance Digital Servo Drive Technology and Equipment for the Numerical Control Injection Molding Machine(2013B011301012)