李顺琴, 惠小静

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000)



李顺琴, 惠小静

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000)

计量逻辑学；R0-命题逻辑系统；矛盾度；等价形式；对称性定理

1 预备知识

2 公式真度定义的等价形式

证明结合定义4知，只需证明

从而

即

所以

结合定义4，得

由定理再结合引理1，可得如下推论：

推论1设A=A(p1,p2,…,pm)∈F(S)，则

(ⅰ)A是重言式当且仅当Cn(A)=0.

(ⅱ)A是矛盾式当且仅当Cn(A)=1.

3 矛盾度的相关性质

(ⅰ)若A≈B(A～B)，则Cn(A)=Cn(B).

(ⅱ) Cn(A∨B)=Cn(A)+Cn(B)-Cn(A∧B).

(ⅲ) Cn(A)=1-Cn(A).

(ⅳ) 若A→B是定理，则Cn(A)≥Cn(B).

即

因此

从而

结合定理1，得

Cn(A∨B)=Cn(A)+Cn(B)-Cn(A∧B)

再结合定理1，得

Cn(A)=1-Cn(A).

结合定理1，得

Cn(A)≥Cn(B)

Cn(A1∨A2∨…∨As)

证明对s用数学归纳法证明.

当s=2时，根据定理1(ⅱ)知结论成立.

假设

+(-1)s-2Cn(A1∧A2∧…∧As-1)

那么

Cn(A1∨A2∨…∨As)

=Cn((A1∨A2∨…∨As-1)∨As)

=Cn(A1∨A2∨…∨As-1)+Cn(As)-Cn((A1∨A2∨…∨As-1)∧As)

=Cn(A1∨A2∨…∨As-1)+Cn(As)-Cn((A1∧As)∨…∨(As-1∧As))

根据数学归纳法知结论对s∈Z+-{1}成立.

证明设A=A(p1,p2,…,pm)∈F(S)是含有m个原子公式p1,p2,…,pm的命题公式.把A中的原子公式pi换成pi，公式A变成公式B，即

A(p1,…,pi-1,pi,pi+1,…,pm)=B(p1,…,pi-1,pi,pi+1,…,pm)

φ(x1,…,xi-1,xi,xi+1,…,xm)=(x1,…,xi-1,1-xi,xi+1,…,xm)

因此

由定理1，知Cn(A)=Cn(B).

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