管训贵

(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)

关于丢番图方程|3x-2y|=p

管训贵

(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)

设p为奇素数，研究了丢番图方程|3x-2y|=p表素数的问题，所用的方法仅限于取有限模。

丢番图方程；素数；正整数解

1 引言及主要结论

丢番图方程|3x-2y|=p(p为奇素数)的求解问题，引起了不少数论爱好者的兴趣。文献[1]证明了p=41，43，53，59，67，71时，此方程均无非负整数解。本文将给出一般性的结论，从而对文献[1]的结论进行推广，所用的知识仅限于整除与同余。

定理1 设p为奇素数，对于丢番图方程

3x-2y=p，

(1)

(Ⅰ)若p≡5(mod12)，则方程(1)除去p=5，x=y=2和p=17，x=4，y=6外，无其他的正整数解；

(Ⅱ)若p≡7(mod8)，则方程(1)除去p=3a-2(2|a)，x=a，y=1和p=3a-4(2|a)，x=a，y=2外，无其他的正整数解，这里a∈N*；

(Ⅲ)若p≡43，59(mod 240)，则方程(1)无正整数解；

(Ⅳ)若p≡67(mod 504)，则方程(1)无正整数解。

定理2 设p为奇素数，对于丢番图方程

2y-3x=p，

(2)

(Ⅰ)若p≡1，3(mod 8)，则方程(2)无正整数解；

(Ⅱ)若p≡53(mod 80)，则方程(2)无正整数解；

(Ⅲ)若p≡71(mod 1008)，则方程(2)无正整数解。

2 关键性引理

引理1[2]方程xy-(x-1)z=1仅有正整数解(x，y，z)=(1，s，t)，(2，1，t)，(r，1，1)和(3，2，3)，这里r，s，t为任意正整数，且r≥3。

引理2[3]设a关于模m的阶是t，则ar≡1(modm)成立的充要条件是t|r。

3 定理的证明

先证定理1，设方程(1)有正整数解(x，y)。

证明 (Ⅰ)对方程(1)模3得(-1)y≡1(mod 3)，故2|y，即y≥2。又模4得(-1)x≡1(mod 4)，故2|x。令x=2x1，y=2y1(x1，y1都是正整数)，代入方程(1)得

(3x1+2y1)(3x1-2y1)=p。

因p为素数，故必有3x1+2y1=p，且3x1-2y1=1。根据引理1，x1=y1=1及x1=2，y1=3。此时p=5或17。

(Ⅱ)y=1时，令x=a，则方程(1)有正整数解x=a，y=1，此时p=3a-2。由3a-2≡7(mod 8)知，3a-2≡1(mod 8)，因3对模8的阶是2，故由引理2知2|(a-2)，即2|a。y=2时，令x=a，则方程(1)有正整数解x=a，y=2，此时p=3a-4。由3a-4≡7(mod 8)知，3a-1≡1(mod 8)，类似可得2|a。y≥3时，对方程(1)模8得3x≡-1(mod 8)，即1，3≡-1(mod 8)，显然不可能，故方程(1)无y≥3的正整数解。

(Ⅲ)情形A。p≡43(mod 240)，对方程(1)模3得2y=3x-p≡-1(mod 3)，故2|y。

若y=1，则3x-2=p，令x=a，则p=3a-2。由3a-2≡43(mod 240)知3a-2≡5(mod 80)，即3a-2≡0(mod 5)。因此方程(1)不可能有正整数解。

若y=3，则3x-8=p，令x=a，则p=3a-8。由3a-8≡43(mod 240)知3a-1≡17(mod 80)，但3a-1≡1，3，9，27(mod 80)。矛盾，也不可能。

若y≥5，对方程(1)模16得3x≡p≡11≡27(mod 16)，即3x-3≡1(mod 16)。又3对模16的阶是4，故由引理2知4|(x-3)。令x=4k+3，对方程(1)模5，并注意34≡1(mod 5)，得2y=3x-p=34k+3-p≡27-3≡-1≡-24(mod 5)，即22(y-4)≡1(mod 5)。……