纪宏伟

定义域是函数的“灵魂”，是研究函数的基础.举凡函数解析式、值域、最值、单调性、奇偶性、函数图象等，无不以定义域为前提加以讨论.可以说，凡是研究与函数有关的问题，都必须考虑函数的定义域，其重要地位由此可见一斑.在解题过程中若忽视定义域这个重要条件，将导致错误.现就忽视定义域情形作一剖析，以飨读者.

1.求函数解析式

例1 已知f（x）=|x|，x∈[-1，1]，求y=f（x+1）+1的解析式.

错解 显然，y=f（x+1）+1=|x+1|+1，x∈[-1，1].

剖析 上述错误在于将y=f（x）的定义域搬用到y=f（x+1）+1上，事实上，应用代换原理，y=f（x+1）+1中的x的取值范围是-1≤x+1≤1即-2≤x≤0，

所以y=f（x+1）+1=|x+1|+1

=-x，-2≤x≤-1，

x+2，-1

2.求函数的值域或最值

例2 已知f（x）=3x-2，x∈[2，4]，求y=[f -1（x）]2-[f -1（x2）]的值域.

错解 y=log23x+2log3x+2

，因x∈[2，4]，所以f（x）=3x-2∈[1，9]，即f -1（x）的定义域为[1，9]，从而y的定义域为[1，9]，于是y=log23x+2log3x+2∈[2，10].

剖析 函数的值域是函数在定义域上的象集，因此求值域时，函数的定义域是必须要考虑到的.以上错解的原因是没有注意定义域对函数值域的影响.在本题中，两函数复合后定义域发生了变化，由f -1（x）的定义域为[1，9]得1≤x2≤9，从而y的定义域为[1，3]，故可求得y的值域是[2，5].

例3 求函数f（x）=3-2sin2x·tanx的最值.

错解 f（x）=3-2×2sinxcosx·sinxcosx=3-4sin2x=1+2cos2x.因-1≤cos2x≤1，所以-1≤1+2cos2x≤3，即f（x）min=-1，f（x）max=3.

剖析 在对函数式进行化简变形中，必须以不改变定义域为条件，上述错误的原因在于忽视了在解题过程中函数的定义域发生了变化，导致了三角函数式的变形为非等价变形，使得最小值的原象不在定义域中.易知f（x）的定义域

为{x|x≠π2+kπ，k∈Z}，故2x≠π+2kπ，所以-1

3.求三角函数的周期

例4 求函数y=4sinx（1-tan2x）secx（1+tan2x）的最小正周期.

错解 由万能公式cosx=

1-tan2x21+tan2x2，

将原式化为y=4sinxcosxcos2x=sin4x，

故所求最小正周期为T=π2.

剖析 在解题过程中，忽视了定义域的改变.只有在x≠kπ+π2（k∈Z）的条件下，以上化简才属于等价变形.在x≠kπ+π2（k∈Z）的条件下作出y=sin4x的简图，不难得到最小正周期

是π.在化简三角函数解析式后，千万莫忘了由原解析式确定定义域，以使得问题正确获解.

4.对函数奇偶性的判断

例5 已知函数f（x2-3）=lg

x2x2-6，判断函数f（x）的奇偶性.

错解 设t=x2-3，则x2=t+3，

所以f（t）=lnt+3t-3，即f（x）=lnx+3x-3.

因为f（-x）=ln-x+3-x-3=lnx-3x+3=-f（x），

所以f（x）是奇函数.

剖析 定义域呢？判断函数奇偶性，首当其冲的就是要考虑定义域.以上错解的原因是转换不等价，没有考虑函数的定义域.事实上，因

x2x2-6>0，所以x2>6，即t=x2-3>3，所以f（x）=lnx+3x-3定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数.

5.有关单调性问题

例6 已知函数f（x）=log3（x2-ax+3a）在区间[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）.

A.（-∞，4] B.（-4，4]

C.（-∞，4）∪[2，+∞）D.[-4，2）

错解 只要使x2-ax+3a在[2，+∞）上递增即可，故a2≤2，选A.

剖析 [2，+∞）首先应是定义域的子集，以上解法忽视了函数定义域，导致解题失误. x2-ax+3a>0在[2，+∞）上恒成立，故除满足a2≤2外，还需要满足4-2a+3a>0，所以-4

忽视定义域，苦果吃不尽.由以上例题可以看出，对函数定义域不够重视，将可能导致在解决有关问题时出现这样或那样的错误，因忽视定义域而致误真可谓屡见不鲜.因此，必须深刻领会定义域在解决有关函数问题中的约束作用，在研究函数问题时树立起“定义域优先”的观点，确立定义域的思维优势，这样才能有效防止错误的发生.希望能在教学中引起足够的重视.