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关于分数阶导数定义的商榷

2015-01-14施伟辰

科技视界 2015年11期
关键词:微积分等价计算公式

吴 佳 施伟辰

(上海海事大学物流工程学院,中国 上海201306)

0 引言

分数阶微积分[1-3]的研究历史很久远,要上溯到17世纪。1695年,在L’Hospital在给Leibniz的著名信中提到了关于某一函数的n阶导数,当n为二分之一时,结果会是如何,从而产生了分数阶微积分。对于分数阶微积分的研究, 首先是在数学上,Euler、Laplace、Abel、Fourier、Liouvile 对分数阶微积分的研究做了一些工作。但是,第一本关于分数阶微积分理论的专著[4]直到 1974 年才出版。 随着 Caputo、Riemann、Grünwald、Hadamard、Letnikov、Hardy、Riesz、Marchaud、Littlewood、Ross等数学家或物理家对分数阶微积分的贡献,形成了现在被公认的几种分数阶导数的“定义”,其中包括 Riemann-Liouville“定义”和 Caputo“定义”[5]。

在最近几十年间,对于分数阶微积分应用的研究有了较大的发展,在科学及工程中的很多领域都有重要的应用,这些领域包括生物材料[6-7],控制和机器人[8-9],粘弹性动力学[10-11],量子力学[12-13]等等。 在这些众多涉及到分数阶导数理论应用的文献中,都是直接引用上述“定义”的说法。

本文经仔细回顾R-L和Caputo的所谓“定义”,发现它们都是源自于分数阶导数(0<α< 1 )而得到的两个不同的表达式,含义相同并且互为等价。因此,我们认为,分数阶导数的定义仍然为(0<α< 1 )。 而RL和Caputo或者其他的所谓“定义”应称作R-L和Caputo等的分数阶导数的计算公式。

1 数学归纳法推导分数阶导数的计算公式

对任何自然数n有

对连续函数f(t),反复应用分部积分法可得

当 n=2 时,有

假设 n=k-1 时式(3)成立,则

从而当时,

因此式(7)成立。

对于非正整数的正数a>0,记[a]为不超过a的最大整数,取m=[a]+1。令

显然,由式(8)我们知道式(9)和式(10)是等价的,他们只是表达形式不同,含义相同。 所以,分数阶导数的定义应该是(0<α< 1 ),而式(9)和式(10)只是两种不同的计算表达式。把式(9)和式(10)称作“定义”并不妥当,而把它们称作计算公式更为贴切。

由此可见,或许可能还有很多其他所谓的分数阶导数的“定义”,但如果都是源自于式,他们也只是不同的计算公式,而非定义。

由于R-L和Caputo的所谓 “定义”都是是等价的源于(0<α< 1 ),所以被称作“定义”并不妥当。 分数阶导数的定义是(0<α< )1 ,而R-L和Caputo的所谓“定义”应该改称为R-L和Caputo的分数阶导数的计算公式。

[1]S.G.Samko,A.A.Kilbas and O.I.Marichev,Fractional Integrals and Derivatives:Theory andApplications[M].Gordon and Breach,New York,1993.

[2]I.Podlubny,Fractional Differential Equations[M].Academic Press,San Diego,1999.

[3]A.A.Kilbas,H.M.Srivastava and J.J.Trujillo,Theory and Applicationsof Fractional DifferentialEquations[M].Elsevier,Amsterdam,2006.

[4]Oldham K B,Spanier J.The Fractional Calculus [M].New York-London:Academic Press,1974.

[5]Li Xiao-rang.Fractional Calculus,Fractal Geometry and Stochastic Process[D].Ontario:The University of Western Ontario USA,2003.

[6]W.G.Gl?ckle and T.F.Nonnenmacher,A fractional calculus approach to selfsimilar proteindynamics[J].Biophysical Journal,1995,68:46-53.

[7]M.Kopfet al,Anomalous diffusion behavior of water in biological tissues[J].BiophysicalJournal,1996.

[8]]R.R.Nigrnatullin and S.I.Osokin,Signal processing and recognition oftree kinetic equationscontaining non—integer derivatives from law dielectric data[J].Signal Processing,2003,83:2433-2453.

[9]M.D.Ortigueira,On the initial conditions incontinuous-time fractional linear systems[J].Signal Processing,2003.

[10]R.Metzler and T.F.Nonnenmacher,Fractional relaxation processes and fractional rheologicalmodels for the description of a class of viscoelastic materials[J].Int.J.Plasticity,2003.

[11]A.Chatterjee,Statistical origins offractional derivatives in viscoelasticity[J].Journal ofSoundand Vibration,2005,284:1240-1245.

[12]N.Laskin,Fractional quantum mechanics and Lévy path integrals[J].Phys.1ett.A 268(2000):297-305.

[13]D.Baleanu and S.I.Muslih,About fractional supersymmetric quantum mechanics[J].Czechoslovak Journal of Physics,2005,55(9):1062-1066.

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