郭艳红

(河南大学 数学与信息科学学院，河南 开封 475004)

零积三角矩阵代数

郭艳红

(河南大学 数学与信息科学学院，河南 开封 475004)

设A是域K上的含单位元的结合代数. 证明了系数在代数A中的三角矩阵代数Tn(A),n≥2, 总是一个零积代数. 进而证明了代数A的对偶扩张代数和m-重复代数都是零积代数.

零积代数；三角矩阵代数；平凡扩张；m-重复代数

0 引 言

零积代数(zero product determined algebra)是Bresar等人在研究交换环之间的线性映射时引入的一类重要的代数，近年来这类代数得到了广泛的关注和研究. 不仅对于结合代数，对于非结合代数，特别是李代数，也给出了零积代数的概念. Bresar等人证明了矩阵代数都是零积代数[1]. 对于一般的李代数, 并不一定是零积的, Grasic等人在文[2]首先给出了一类不是零积代数的无限维李代数. 但代数闭域上任意有限维李代数的的周期子代数都是零积代数[3]. 在文[4]中, 作者证明了有限多个代数的值和是零积的当且仅当每一个值和项都是零积代数. 此外, C*-代数和W*-代数的零积性也得到了细致的分析, 参看文献[5].

本文我们证明了含单位元的结合代数A的三角矩阵代数一定是零积代数，进而证明了A的对偶扩张代数和m-重复代数都是零积代数.

1 预备知识

零积代数是由Bresar等人在文[1,6]中提出的，首先回忆一下零积代数的定义. 设K是一个域，A是一个结合K-代数. 记A2是由{xy | x, y∈A }张成的K-向量空间. 对于任一K-向量空间V及K双线性映射{-,-}: A×A→V. 我们考虑下面两种条件:

(a) 对任意的x, y∈A，若xy=0，则{x,y}=0；

(b) 存在K线性映射T: A2→V使得对……