郭艳红

(河南大学 数学与信息科学学院，河南 开封 475004)

零积三角矩阵代数

郭艳红

(河南大学 数学与信息科学学院，河南 开封 475004)

设A是域K上的含单位元的结合代数. 证明了系数在代数A中的三角矩阵代数Tn(A),n≥2, 总是一个零积代数. 进而证明了代数A的对偶扩张代数和m-重复代数都是零积代数.

零积代数；三角矩阵代数；平凡扩张；m-重复代数

0 引 言

零积代数(zero product determined algebra)是Bresar等人在研究交换环之间的线性映射时引入的一类重要的代数，近年来这类代数得到了广泛的关注和研究. 不仅对于结合代数，对于非结合代数，特别是李代数，也给出了零积代数的概念. Bresar等人证明了矩阵代数都是零积代数[1]. 对于一般的李代数, 并不一定是零积的, Grasic等人在文[2]首先给出了一类不是零积代数的无限维李代数. 但代数闭域上任意有限维李代数的的周期子代数都是零积代数[3]. 在文[4]中, 作者证明了有限多个代数的值和是零积的当且仅当每一个值和项都是零积代数. 此外, C*-代数和W*-代数的零积性也得到了细致的分析, 参看文献[5].

本文我们证明了含单位元的结合代数A的三角矩阵代数一定是零积代数，进而证明了A的对偶扩张代数和m-重复代数都是零积代数.

1 预备知识

零积代数是由Bresar等人在文[1,6]中提出的，首先回忆一下零积代数的定义. 设K是一个域，A是一个结合K-代数. 记A2是由{xy | x, y∈A }张成的K-向量空间. 对于任一K-向量空间V及K双线性映射{-,-}: A×A→V. 我们考虑下面两种条件:

(a) 对任意的x, y∈A，若xy=0，则{x,y}=0；

(b) 存在K线性映射T: A2→V使得对任意的x, y∈A，都有T(xy)={x,y}.

显然，由条件(b)可以推出条件(a). 如果对任意的K向量空间V和K双线性映射{-,-}: A×A→V，都有条件(a)可以推出条件(b)，则代数A称为一个零积代数. 对于非结合代数，特别是李代数和Jordan代数，同样可以定义零积代数. 本文，我们只考虑结合代数的零积性.

设A是一个含单位元1的结合K-代数. 所有位置的元素都是A中元素构成的下三角矩阵在矩阵乘法下构成K上的结合代数，称为代数A上的三角矩阵代数，记作Tn(A). 利用D(A)=HomK(A,K)是一个A-A-双模, 我们可以得到A的平凡扩张代数T(A)=A⊕D(A)，其乘法定义为

(a,f)(b,g)=(ab,ag+fb),

其中乘法为矩阵的乘法.

2 主要定理

本节我们证明含单位元的结合代数A上的三角矩阵代数Tn(A)是零积代数，进而证明A的对偶扩张代数和m-重复代数都是零积代数.

定理1Tn(A)是一个零积代数.

证明 设V为一个K-向量空间, {-,-}: Tn(A)×Tn(A)→V为一双线性映射，并且{-,-}满足对任意的x, y∈Tn(A)，若xy=0，则{x,y}=0.下面令a, b∈Tn(A)为非零元，并记Eij为矩阵单位，即一个n×n矩阵只有第i行第j列的位置为1，其余位置都为0.

首先，当j≠k，或i

其次，我们有:

(1) 若i≥j≥l, 则对任意的i≥k≥l且k≠j，则{aEij,bEjl}={abEik,Ekl}；

(2) 若i

事实上，若i≥k≥l且j≠k，则简单计算可知(aEij+abEik)(bEjl-Ekl)=0.从而由假设可知{aEij+abEik, bEjl-Ekl}=0，即得到结论.

在(1)和(2)式中，用ab取代a，1取代b，则有:

(3) 若i≥j≥l, 则对任意的i≥k≥l且k≠j，则{abEij,Ejl}={abEik,Ekl}；

(4) 若i

从而可知，对任意的1⦤i, j, l⦤n，都有等式{aEij,bEjl}={abEij,Ejl}.

要证明Tn(A)是一个零积代数,注意到A是一个含单位元的代数, 我们只需证明对Tn(A)中满足等式x1y1+x2y2=0的任意元素x1, x2, y1, y2，都有 {x1,y1}+{x2,y2}=0成立. 为此, 我们记

对于任意的s=1, 2.由于x1y1+x2y2=0，对任意的二元组(i,l)，满足i≥l，我们有

另一方面，即S={(i,l)|n≥i≥l≥1}，则有

定理得证.证毕.

一个结合代数A的平凡扩张代数和重复代数是两类重要的代数，在研究A的表示理论和导出范畴时起着非常重要的作用,由定理1我们可以证明它们也都是零积代数.

推论1代数A的平凡扩张代数T(A)是一个零积代数.

证明 类似于定理1的证明, 将定理1的证明中代数A中的乘法用A在D(A)上的左模或右模作用取代, 即可得到结论. 证毕.

更一般地，我们有：

3 结 论

1) 证明了一个结合代数上的三角矩阵代数， 即这个结合代数的对偶扩张代数和m-重复代数都是零积代数.

2) 值得说明的是,一个李代数上的三角矩阵代数一般不是零积的李代数，利用本文的方法可以证明, 一个零积李代数上的三角矩阵代数也是一个零积李代数.

[1] Bresar M, Grasic M, Ortega J S. Zero product determined matrix algebras[J]. Linear Algebra and its Applications, 2009, 430: 1486-1498.

[2] Grasic M. Zero product determined classical Lie algebras[J]. Linear Multilinear Algebra, 2010, 58 (8): 1007-1022.

[3] Wang D, Yu X, Chen Z. A class of zero product determined Lie algebras[J]. Journal of Algebra, 2011, 331: 145-151.

[4] Brice D, Huang H. Direct sums of zero product determined algebras[J]. arXiv:1110.5848v1.

[5] Chebota M A, Ke W-F, Lee P-H, Wong N-C. Mappings preserving zero products[J]. Studia Mathematica, 2003, 155 : 77-94.

[6] Bresar M, Semrl P. On bilinear maps on matrices with applications to commutativity preservers[J]. Journal of Algebra, 2006, 301: 803-837.

[责任编辑：王军]

Zero product determined triangular matrix algebras

GUO Yanhong

(School of Mathematics and Information Science, Henan University, Kaifeng 475001, China)

Letbe an associative algebra with identity over a field. We show that the triangular matrix algebra, , over algebrais always a zero product determined algebra. Therefore, we proved that the trivial extension ofand the m-replication algebra ofare zero product determined.

zero product determined algebra; triangular matrix algebra; trivial extension; m-replication algebra

2014-11-14

河南大学校内基金项目

郭艳红(1983-)，女，河北景县人，河南大学助教，硕士，主要从事有限维代数的表示理论的研究.

O153.3

A

1672-3600(2015)09-0019-03