崔艳，李群

(阜阳师范学院 数学与统计学院 ,安徽 阜阳 236000)

二阶非线性三点边值问题的解和多解性

崔艳，李群

(阜阳师范学院 数学与统计学院 ,安徽 阜阳 236000)

利用锥上的不动点定理,给出了非线性二阶三点边值问题解和多解的存在性定理,其中允许非线性项有一个负的下界.

半正非线性;存在性;多解性

1 引言及预备知识

近年来,关于非线性二阶三点边值问题的研究受到了广泛关注,取得了一些研究成果[1-5],文献[7]在非线性项满足一定增长条件下,研究了边值问题

正解的存在性,上述正解的研究大都在f非负,即f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)的情况下展开的,本文通过构造一个适用的锥,研究了边值问题(P)的解和正解的存在性和多解性,不要求非线性项f满足增长条件,并且允许非线性项f有一个负的下界,即允许f是半正的.

我们称函数ω∈C[0,1]是凹的,若ω(τt1+(1-τ)t2)≥τω(t1)+(1-τ)ω(t2),t1,t2,τ∈[0,1].

设p(t)=-ρt2+(1-αη2)t+β(1-αη2),则p″(t)=-2ρ,0≤t≤1,于是p(t)是一个[0,1]上的非负凹函数,易知p(0)=βp'(0),p(1)=αp(η),又因为

00,

直接计算表明G(t,s)满足以下性质:

定义g(t,l)=f(t,l)+M,(t,l)∈[0,1]×[-kM,+∞),g:[0,1]×[-kM,+∞)→[0,+∞)连续,考虑三点边值问题

(i)算子T:C+[0,1]→C[0,1]有定义且连续,

(ii)对于任何ω∈C+[0,1],(Tω)(0)=β(Tω)'(0),(Tω)(1)=α(Tω)(η).

简单核验后我们得到:

引理2(1) ω*是问题(P)的解当且仅当ω*+ω0是(P')的解,

注:在具体问题中q(t)是可简便计算出的.

显然0<σ<1.

因此, 0

本文将使用下列控制函数,对于l>0,我们记

显然φ(l)≥Φ(l)≥0,Ψ(l)≥ψ(l)≥0,事实上,控制函数Φ(l),Ψ(l),φ(l)及ψ(l)都是可计算的,而且φ(l)和ψ(l)的计算是比较简单的.

引理3T:C+[0,1]→K是全连续的.

证 对于任何ω∈C+[0,1],有g(t,ω(t)-ω0(t))≥0,0≤t≤1 , 参照[8]中引理2.1和2.2的证明将可获证.

(1)‖Tω‖≤‖ω‖,ω∈∂Ω1,并且‖Tω‖≥‖ω‖,ω∈∂Ω2.

(2)‖Tω‖≥‖ω‖,ω∈∂Ω1,并且‖Tω‖≤‖ω‖,ω∈∂Ω2.

2 解的存在性定理

定理1假设存在两个正数a

(1)Φ(a)≤aA,Ψ(b)≥bB,特别地, φ(a)≤aA,ψ(b)≥bB,

(2)Ψ(a)≥aB,Φ(b)≤bA,特别地, ψ(a)≥aB,φ(b)≤bA,

则问题(P)至少有一个解ω*,满足ω*+ω0∈K,并且a≤‖ω*+ω0‖≤b.

证:仅证情况(1),由于a……