马尔可夫链在韶关市年降水量预测中的应用

张有存

（韶关学院数学与统计学院，广东韶关512005）

根据韶关市1951-2012年降水量的历史数据，采用均值－标准差分级法进行状态分级，将这62年分成枯水年、偏枯年、正常年、偏丰年、丰水年5种状态.运用马尔可夫链预测方法，验证了韶关市的年降水量序列满足马尔可夫性，建立了韶关市年降水量的马尔可夫链预测模型，预测结果与实际情况相吻合.最后运用极限分布估计年降水量各状态的重现期.

马尔可夫链；转移概率；极限分布；年降水量

韶关是广东省北部的中心城市，也是农业大市，普遍种植水稻，农业生产一定程度上受降水量的影响.然而韶关气候复杂多变，天气预报又具有随机性，一般也只是预报短期天气情况。如果能相对准确地预测韶关一年的降水量的话，这将对韶关农业生产活动大有帮助，可以提前选择适合的种植品种，同时也可为韶关市政府提前安排防汛抗旱工作提供参考.基于此，本文采用马尔可夫链方法，建立韶关市年降水量预测模型.

1 预备知识

1.1 Markov链

定义1随机过程称{Xn,n=0,1,2,…}为Markov链［1］，若它只取有限个或可列个值E0,E1,E2,…,（称E0,E1, E2,…是过程的状态，所有状态构成的集合称为状态空间S）且对任意的n≥0及状态i,j,i0,i1,…,in-1有：

1.2转移概率与转移矩阵

定义2称式（1）中的条件概率P{Xn+1=j|Xn=i}称为Markov链{Xn,n=0,1,2,…}的一步转移概率，简称转移概率［1］.当它只与状态i,j有关，而与n无关时，称Markov链是时齐的，并记pij=P{Xn+1=j|Xn-1=i}.

定义3将pij(ij∈S)排成一个矩阵的形式，令P=(pij)=，称P为转移概率矩阵，一般简称为转移矩阵［1］.容易看出pij(i,j∈S)具有性质：

1.3不变分布

定义4对于Markov链，概率分布{πj,j∈S}称为不变的［1］，若πj=Σj∈sπjpij.

2 模型建立与预测

2.1状态分级

采用传统的样本均值-标准差分级法.假设x1,x2,…,xn为指标值序列，x¯为样本均值，则s=可用来计算样本均值标准差.通常在应用的时候会把指标值的变化区间划分为

表1 韶关市年降水量分级

运用此法对韶关市1951-2012年降水量序列进行状态分级，历史数据资料见表2，计算得样本均值为1 573.1 mm，标准差为283.7 mm，取a1=1.1，a2=0.5，可将韶关市62年降水量划分成枯水年、偏枯年、正常年、偏丰年、丰水年5个级别，分别用状态1、2、3、4、5来表示（见表1），各年降水量状态见表2.

表2 韶关市1951-2012年降水量序列及其状态

2.2转移概率计算

令fij为随机序列由状态i经一步转移到达状态j的频数，则由表2易得转移频数矩阵：

(fij)=从而得到转移概率矩阵P=(pij)=

2.3马氏性检验

能否用Markov链模型分析和预测，关键看所研究的随机序列是否具有马氏性.通常对离散型Markov链用χ2统计量来检验［4］.在转移频数矩阵(fij)中，用第j列之和除以各行各列的总和所得的值称为边际概率，记为p·j=，当n充分大时，服从自由度为(m-1)2的χ2分布，此处m代表指标值序列所有可能的状态总数，pij为转移概率.若α为所给的显著性水平，代入样本数据计算出统计量χ2＞χ2a((m-1)2)，则判定随机序列具有马氏性，否则认为不具有马氏性.

运用此法，对韶关市年降水量序列进行检验，m=5,结合转移频数矩阵和转移概率矩阵计算χ2=50.103，给定显著性水平α=0.05，查表可得分位点χ20.05(16)=26.296，从而有((m-1)2)，所以韶关市年降水量序列具有马氏性.

2.4模型预测

根据Chapman-Kolmogorov方程的结论，有p(n)=pn.即可通过（2）式给出的转移概率矩阵P建立模型进行预测.

现在依据上述模型预测韶关市2013年降水量：由表2可知2012年降水量状态为5，由一步转移概率矩阵P的第五行可知由状态5到状态2的概率为0.1，到状态3的概率为0.6，到状态4的概率为0.1，停留在状态5的概率为0.2；同样也可考虑二步转移概率矩阵，此时初始状态应该是2011年降水量状态，由表2知是状态3，由P2的第三行可知由状态3经二步到状态1的概率为0.11，到状态2的概率为0.16，停留在状态3的概率0.447，到状态4的概率为0.128，到状态5的概率为0.155，所以韶关市2013年降水量最有可能的状态是3.由中国气象科学数据共享服务网上查到韶关市2013年降水量为1 684.0 mm，属于状态3，预测结果与实际数据相吻合，说明运用Markov链模型对韶关市年降水量进行短期预测是可行的.

运用同样的方法，可预测出2014年韶关市年降水量的状态为3，属于正常年.

3 极限分布

运用Markov链模型进行预测，短期预测结果比较准确，若考虑长期的话，可以分析其极限分布.由（2）式中的一步转移概率矩阵可知，各状态是互通的，属于有限维Markov链，故是正常返的，且又是非周期的，因此该Markov链是遍历链.由Markov链相关理论可知，它的极限分布就是它的不变分布，而且是唯一的.由定义4可得方程：

解得π=0.164，π=0.164，π=0.377，π=0.131，π=0.164.利用公式Tj=可计算出各状态的重现期.长期来看，韶关市年降水量处在正常年的概率最大，约2～3年出现一次，处在偏丰年的概率最小，约7～8年出现一次.其他状态约6年出现一次.

4 结语

根据韶关市1951-2012年降水量的历史数据资料，建立了Markov链预测模型，验证了模型短期预测的可行性，并预测2014年韶关市年降水量是正常年.同时运用极限分布，得出长期来看韶关市年降水量的状态是正常年的结论，还给出了各状态的重现期，对韶关市政府安排防汛抗旱工作及人们的生产活动提供一些参考.

［1］张波,张景肖.应用随机过程［M］.北京:清华大学出版社,2004.

［2］冯耀龙,韩文秀.权马尔可夫链在河流丰枯状况预测中的应用［J］.系统工程理论与实践,1999（10）:89-93.

［3］夏乐天,朱元甡,沈永梅.加权马尔可夫链在降水状况预测中的应用［J］.水利水电科技进展,2006（6）:20-23，27.

［4］刘德地,陈晓宏.一种北江流域年降雨量的权马尔可夫链预测模型［J］.水文,2006（6）:23-26，96.

Application of Markov Chain to Forecast Annual Precipitation of Shaoguan City

ZHANG You-cun
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

According to the historical annual precipitation data of Shaoguan city from 1951 to 2012,the state graded using the mean and standard deviation classification method,the past 62 years are classified into five states:droughtyear,weak drought year,normal year,weak water-logging year and water-logging year.Taking Markov chain forecasting methods to verify the sequence of annual precipitation of Shaoguan city to meet Markov property,a Markov chain model of annual precipitation of Shaoguan city was established and the predicted results coincided with the actual situation.Finally,it would use limiting distribution to estimate the return period of each annual precipitation state.

Markovchain;transitionprobability;limiting distribution;annual precipitation

O211.62

：A

：1007-5348（2015）04-0004-04

（责任编辑：邵晓军）

2015-02-18

张有存（1986-），男，广东英德人，韶关学院数学与统计学院助教，硕士；研究方向：随机分析及其应用研究.