蹇焕燕，付秋菊，张正亮（宜宾学院数学学院，四川宜宾644007）

推广的Cantor函数的性质

蹇焕燕，付秋菊，张正亮
（宜宾学院数学学院，四川宜宾644007）

通过分析推广的Cantor函数的取值特点，讨论这类特殊函数的连续性、可微性、可积性，得出这个特殊函数不可导点构成[0,1]上的类似于Cantor集的集合.

值域；连续性；可积性；可导性；Cantor函数

Jian HY,Fu QJ,Zhang ZL.Propertiesof Extended Cantor Function[J].Journal of Yibin University,2015,15（6）：121-124.

数学分析[1]讨论的是函数的连续性、可微性、可积性等微观与局部性质，这些函数包括初等函数以及一些特殊函数，如隐函数（组）、积分函数、级数函数、极限函数等.对于由微分形式构成的函数方程在文献[2]中已考虑其可解性与解法，其它形式的函数方程散见于一些习题参考书[3].Cantor函数[4-5]是用其某些性质来定义的一类特殊函数，本文主要讨论由如下形式的函数方程确定的函数，它是Cantor函数的推广.设 f（x）是定义在[0,1]上的函数，且满足以下条件：

首先分析了函数的取值特点，并通过该特点证明当b=2,a＞2时，函数 f（x）在[0,1]上的一致连续性，用两种方法计算出该函数在[0,1]上的定积分，并用迫敛的方法证明了 f（x）在[0,1]上的一些特殊点不可导，这些不可导点构成的是一个类似于Can⁃ tor集的集合，Cantor集的构造方法见文献[6].

1　b=2、a＞2的情形

1.1函数取值情况

为了方便，本文采用集合论中类似于Cantor集的构造方法，先对定义域 [0,1]进行分割，记E

再将E1*的两个区间分别分为3个小区间，即：

令

按此方法继续下去，得到一系列小区间Ek、和Eki（k=1,2,…；i=1,2,…2k-1），这些Ek和满足以下特点：

由（1）（2）知 f（0）=0,f（1）=1,在（1）（2）中令可得，再由 f（x）在[0,1]上单增得：

再由（1）得：

又由 f（x）在[0,1]上单增得出：

可得……