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不等式的解法

2014-12-13车树勤

数学教学通讯·初中版 2014年11期
关键词:底数正数分式

车树勤

本部分内容由解一元一次不等式、一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、绝对值不等式组成. 客观题主要考查以上不等式的基本解法,或已知二次函数零点的分布考查参数的取值范围;主观题常把对不等式的考查与其他知识相结合,比如考查导数及其应用为主的试题中,解不等式在判断函数单调性方面起到了关键作用.

重点:对于以上各种类型,一要熟练掌握它们各自的典型解法;二要注重提升运算的准确性.

难点:含参不等式要做到正确分类,以做到各种情况不重不漏.

1. 一元一次不等式、一元二次不等式的解法

(1)解一元一次不等式时要考虑x项的系数是否为零,以及正负情况.

(2)解一元二次不等式先将二次项系数化正,再借助对应的二次函数的图象写出解集. 对于含参数不等式,由于参数的取值不确定,所以往往需要进行分类讨论.

2. 高次不等式、分式不等式的解法

?摇(1)解高次不等式时,把不等式化为一边是0,另一边可分解为关于x的一次或二次因式的积或商的形式,用“序轴标根法”求解. 注意每个因式中x的系数要为正,且穿根时“奇穿偶回”.

(2)解分式不等式时不能随意去分母,只有在确切地判定了分母的符号的情况下,才可以考虑去分母;在用穿根法(序轴标根法)解题时,要注意区分“空心点”和“实心点”,不能随意画. 分式不等式的常见解法:>0或<0?圳p(x)·q(x)>0(或p(x)q(x)<0);≥0或≤0?圳p(x)q(x)≥0,q(x)≠0或p(x)q(x)≤0,q(x)≠0..

3. 绝对值不等式的解法

解含绝对值的不等式的思路是:将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解. 解题的过程仍是转换、化归、化简的过程. 化去绝对值符号的常用方法有:定义化简法、区间化简法、平方化简法、分类讨论法等.

解含有两个或两个以上绝对值符号,并且其形式是和或差的不等式可用零点分段法来分段讨论求解,但在求解过程中,注意不要忘记对区间端点的讨论.

4. 指、对数不等式

(1)指数不等式:转化为代数不等式①af(x)>ag(x)(a>1)?圳f(x)>g(x);af(x)>ag(x)(0b(a>0,b>0)?圳f(x)·lga>lgb.

(2)对数不等式:转化为代数不等式①logaf(x)>logag(x)(a>1)?圳f(x)>0,g(x)>0,f(x)>g(x);logaf(x)>logag(x)(00,g(x)>0,f(x)

5. 无理不等式的解法

无理不等式的常见类型及等价形式:

(1)>?圳

f(x)≥0g(x)≥0?摇?圯定义域,f(x)>g(x);

(2)>g(x)?圳

f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)>[g(x)]2,或f(x)≥0,g(x)<0;

(3)

f(x)≥0,g(x)>0,f(x)<[g(x)]2.

1. 一元一次不等式、一元二次不等式

例1  解关于x的不等式a(x-ab)>b(x+ab).

思考  对原不等式进行展开,移项整理成cx>d的形式;在把c除到右边之前要考虑c的取值情况,分c>0,c=0,c<0三种情况进行讨论,特别是当c=0时要根据d的正负来确定.

破解  将原不等式展开,整理得(a-b)x>ab(a+b),当a>b时,x>;当a=b时,若a=b≥0时x∈,若a=b<0时x∈R;当a

例2  (1)关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为xx<-2或x>-,求关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集.

(2)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0,其中a>0.

思考  (1)根据不等式的解集可以知道a应该为负数,可知不等式ax2-bx+c>0的解集的结果应该是取中间. 但是两个条件三个未知数,不可能解出a,b,c的值,观察两个不等式的特征可以对不等式进行变形,转化为已知的不等式来解,根据方程根的情况写出解集. (2)这是一个含有参数的一元二次不等式,在求解时可以对其进行因式分解,求出方程的两个根,当然有一个根是含有参数a的,所以要比较两个根的大小,则须按照a的取值大小进行分类,两个根相等的情况不能遗漏.

破解  (1)由题可知,a<0且-=

-,=1,从而ax2-bx+c>0可以变形为x2-x+<0,即x2-x+1<0 ,所以

(2)由一元二次方程ax2-(a+1)x+1=0的根为x1=1,x2=知,

①当>1,即0

②当0<<1,即a>1时,不等式ax2-(a+1)x+1<0的解集为,1.

③当=1,即a=1时,不等式ax2-(a+1)x+1<0的解集为.

2. 高次不等式、分式不等式endprint

例3  解不等式

思考  看似一个简单的分式不等式,但是有的同学在解的时候,常会直接把分母乘到右边,而忽视了分母的正负性.

破解1  当x-1>0时,16<(x-1)2,解得x>5;当x-1<0时,16>(x-1)2,解得-35}.

破解2  原不等式化为>0,转化为(x-5)(x+3)>0x-1>0,或(x-5)(x+3)<0,x-1<0, 所以原不等式的解为{x-35}.

破解3  原不等式等价于(x-5)·(x+3)(x-1)>0,用标根法可得原不等式的解为{x-35}.

3. 绝对值不等式

例4  已知不等式x-2-x-3>m,(1)若不等式有解;(2)若不等式的解集为R;(3)若不等式的解集为,分别求m的取值范围.

思考  首先,得到式子x-2-x-3的取值范围;其次,若不等式有解,则m比x-2-x-3的最大值小;若不等式的解集为R,则m比x-2-x-3的最小值小;若不等式的解集为,则m不小于x-2-x-3的最大值.

破解1  令f(x)=x-2-x-3,则得分段函数f(x)=-1,x≤2,2x-5,2

破解2  因为x-2-x-3=2-x-x-3≤2-x+x-3=1,所以-1≤x-2-x-3≤1.

破解3  把x-2-x-3看做是数轴上的点x到2与3两点的距离之差,能迅速得到-1≤x-2-x-3≤1.

(1)若不等式有解,则m比x-2-x-3的最大值小,所以m<1.

(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,则m比x-2-x-3的最小值小,所以m<-1.

(3)若不等式的解集为,则m不小于x-2-x-3的最大值,所以m≥1.

4. 指、对数不等式

例5  解不等式:(1)2<3(x-1);(2)logx-3(x-1)≥2.

思考  利用对数函数的单调性及换元法,转化为代数不等式求解.必须注意底数是大于1,还是小于1且大于0. 若底数不能确定,则需分类讨论. 解对数不等式时,可以把对数两边换成同底,利用单调性来比较真数的大小,同时还要注意真数为R+的条件.

破解  (1)原不等式可化为2<2-3(x-1),因为底数2>1,所以x2-2x-3<-3(x-1),整理得x2+x-6<0. 解之得-3

?摇?摇 (2)由已知,原不等式等价于x-1>0,x-3>1,x-1≥(x-3)2或x-1>0,0

5. 无理不等式

例6  解不等式>4-3x.

思考  对于无理不等式,通常是进行平方求解,但是平方的前提条件是要求不等式的两边都是正数.本题的不等式右边不能判断其正负,当右边为正数时两边才可以同时平方,同时还要保证被开方数大于或等于零;当右边小于零,则在被开方数大于或等于零时不等式恒成立.

破解  原不等式等价于下列两个不等式组的解集的并集:

(1)4-3x≥0,-x2+3x-2≥0,-x2+3x-2>(4-3x)2;(2)-x2+3x-2≥0,4-3x<0.解(1):x≤,1≤x≤2,

1. 若函数f(x)=x+1+2x+a的最小值为3,则实数a的值为(    )

A. 5或8?摇 B. -1或5?摇

C. -1或-4?摇 D. -4或8

2. 解不等式3x+1+18·3-x>29.

3. 解不等式>-1.

4. 解不等式<0.

5. 解关于x的不等式>1+logax.

6. 解关于x的不等式 23x-2x

参考答案

1. D 当a≥2时, 由已知可得f(x)=3x+a+1,x>-1,x+a-1,-≤x≤-1,-3x-a-1,x<-, 当x=-时, f(x)min=f-=-1=3,得a=8. 当a<2时,由已知可得f(x)=3x+a+1,x>-,-x-a+1,-1≤x≤-,-3x-a-1,x<-1,当x=-时, f(x)min=f-=-+1=3,可得a=-4.综上可知,a的值为-4或8.

2. xx>2或x

3. xx≥-.

4. {x-1

5. {x01}或{xx>a,0

6. 原不等式可化为24x-(1+m)·22x+m<0,即(22x-1)(22x-m)<0?摇①.

(1)当m>1时,由①得1<22x

(2)当m=1时,由①得(22x-1)2<0,所以x∈;

(3)当0

(4)当m≤0时,由①得22x<1,所以x<0.

综上所述:当m>1时,原不等式的解集为0,log2m;当m=1时,原不等式的解集为;当0

例3  解不等式

思考  看似一个简单的分式不等式,但是有的同学在解的时候,常会直接把分母乘到右边,而忽视了分母的正负性.

破解1  当x-1>0时,16<(x-1)2,解得x>5;当x-1<0时,16>(x-1)2,解得-35}.

破解2  原不等式化为>0,转化为(x-5)(x+3)>0x-1>0,或(x-5)(x+3)<0,x-1<0, 所以原不等式的解为{x-35}.

破解3  原不等式等价于(x-5)·(x+3)(x-1)>0,用标根法可得原不等式的解为{x-35}.

3. 绝对值不等式

例4  已知不等式x-2-x-3>m,(1)若不等式有解;(2)若不等式的解集为R;(3)若不等式的解集为,分别求m的取值范围.

思考  首先,得到式子x-2-x-3的取值范围;其次,若不等式有解,则m比x-2-x-3的最大值小;若不等式的解集为R,则m比x-2-x-3的最小值小;若不等式的解集为,则m不小于x-2-x-3的最大值.

破解1  令f(x)=x-2-x-3,则得分段函数f(x)=-1,x≤2,2x-5,2

破解2  因为x-2-x-3=2-x-x-3≤2-x+x-3=1,所以-1≤x-2-x-3≤1.

破解3  把x-2-x-3看做是数轴上的点x到2与3两点的距离之差,能迅速得到-1≤x-2-x-3≤1.

(1)若不等式有解,则m比x-2-x-3的最大值小,所以m<1.

(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,则m比x-2-x-3的最小值小,所以m<-1.

(3)若不等式的解集为,则m不小于x-2-x-3的最大值,所以m≥1.

4. 指、对数不等式

例5  解不等式:(1)2<3(x-1);(2)logx-3(x-1)≥2.

思考  利用对数函数的单调性及换元法,转化为代数不等式求解.必须注意底数是大于1,还是小于1且大于0. 若底数不能确定,则需分类讨论. 解对数不等式时,可以把对数两边换成同底,利用单调性来比较真数的大小,同时还要注意真数为R+的条件.

破解  (1)原不等式可化为2<2-3(x-1),因为底数2>1,所以x2-2x-3<-3(x-1),整理得x2+x-6<0. 解之得-3

?摇?摇 (2)由已知,原不等式等价于x-1>0,x-3>1,x-1≥(x-3)2或x-1>0,0

5. 无理不等式

例6  解不等式>4-3x.

思考  对于无理不等式,通常是进行平方求解,但是平方的前提条件是要求不等式的两边都是正数.本题的不等式右边不能判断其正负,当右边为正数时两边才可以同时平方,同时还要保证被开方数大于或等于零;当右边小于零,则在被开方数大于或等于零时不等式恒成立.

破解  原不等式等价于下列两个不等式组的解集的并集:

(1)4-3x≥0,-x2+3x-2≥0,-x2+3x-2>(4-3x)2;(2)-x2+3x-2≥0,4-3x<0.解(1):x≤,1≤x≤2,

1. 若函数f(x)=x+1+2x+a的最小值为3,则实数a的值为(    )

A. 5或8?摇 B. -1或5?摇

C. -1或-4?摇 D. -4或8

2. 解不等式3x+1+18·3-x>29.

3. 解不等式>-1.

4. 解不等式<0.

5. 解关于x的不等式>1+logax.

6. 解关于x的不等式 23x-2x

参考答案

1. D 当a≥2时, 由已知可得f(x)=3x+a+1,x>-1,x+a-1,-≤x≤-1,-3x-a-1,x<-, 当x=-时, f(x)min=f-=-1=3,得a=8. 当a<2时,由已知可得f(x)=3x+a+1,x>-,-x-a+1,-1≤x≤-,-3x-a-1,x<-1,当x=-时, f(x)min=f-=-+1=3,可得a=-4.综上可知,a的值为-4或8.

2. xx>2或x

3. xx≥-.

4. {x-1

5. {x01}或{xx>a,0

6. 原不等式可化为24x-(1+m)·22x+m<0,即(22x-1)(22x-m)<0?摇①.

(1)当m>1时,由①得1<22x

(2)当m=1时,由①得(22x-1)2<0,所以x∈;

(3)当0

(4)当m≤0时,由①得22x<1,所以x<0.

综上所述:当m>1时,原不等式的解集为0,log2m;当m=1时,原不等式的解集为;当0

例3  解不等式

思考  看似一个简单的分式不等式,但是有的同学在解的时候,常会直接把分母乘到右边,而忽视了分母的正负性.

破解1  当x-1>0时,16<(x-1)2,解得x>5;当x-1<0时,16>(x-1)2,解得-35}.

破解2  原不等式化为>0,转化为(x-5)(x+3)>0x-1>0,或(x-5)(x+3)<0,x-1<0, 所以原不等式的解为{x-35}.

破解3  原不等式等价于(x-5)·(x+3)(x-1)>0,用标根法可得原不等式的解为{x-35}.

3. 绝对值不等式

例4  已知不等式x-2-x-3>m,(1)若不等式有解;(2)若不等式的解集为R;(3)若不等式的解集为,分别求m的取值范围.

思考  首先,得到式子x-2-x-3的取值范围;其次,若不等式有解,则m比x-2-x-3的最大值小;若不等式的解集为R,则m比x-2-x-3的最小值小;若不等式的解集为,则m不小于x-2-x-3的最大值.

破解1  令f(x)=x-2-x-3,则得分段函数f(x)=-1,x≤2,2x-5,2

破解2  因为x-2-x-3=2-x-x-3≤2-x+x-3=1,所以-1≤x-2-x-3≤1.

破解3  把x-2-x-3看做是数轴上的点x到2与3两点的距离之差,能迅速得到-1≤x-2-x-3≤1.

(1)若不等式有解,则m比x-2-x-3的最大值小,所以m<1.

(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,则m比x-2-x-3的最小值小,所以m<-1.

(3)若不等式的解集为,则m不小于x-2-x-3的最大值,所以m≥1.

4. 指、对数不等式

例5  解不等式:(1)2<3(x-1);(2)logx-3(x-1)≥2.

思考  利用对数函数的单调性及换元法,转化为代数不等式求解.必须注意底数是大于1,还是小于1且大于0. 若底数不能确定,则需分类讨论. 解对数不等式时,可以把对数两边换成同底,利用单调性来比较真数的大小,同时还要注意真数为R+的条件.

破解  (1)原不等式可化为2<2-3(x-1),因为底数2>1,所以x2-2x-3<-3(x-1),整理得x2+x-6<0. 解之得-3

?摇?摇 (2)由已知,原不等式等价于x-1>0,x-3>1,x-1≥(x-3)2或x-1>0,0

5. 无理不等式

例6  解不等式>4-3x.

思考  对于无理不等式,通常是进行平方求解,但是平方的前提条件是要求不等式的两边都是正数.本题的不等式右边不能判断其正负,当右边为正数时两边才可以同时平方,同时还要保证被开方数大于或等于零;当右边小于零,则在被开方数大于或等于零时不等式恒成立.

破解  原不等式等价于下列两个不等式组的解集的并集:

(1)4-3x≥0,-x2+3x-2≥0,-x2+3x-2>(4-3x)2;(2)-x2+3x-2≥0,4-3x<0.解(1):x≤,1≤x≤2,

1. 若函数f(x)=x+1+2x+a的最小值为3,则实数a的值为(    )

A. 5或8?摇 B. -1或5?摇

C. -1或-4?摇 D. -4或8

2. 解不等式3x+1+18·3-x>29.

3. 解不等式>-1.

4. 解不等式<0.

5. 解关于x的不等式>1+logax.

6. 解关于x的不等式 23x-2x

参考答案

1. D 当a≥2时, 由已知可得f(x)=3x+a+1,x>-1,x+a-1,-≤x≤-1,-3x-a-1,x<-, 当x=-时, f(x)min=f-=-1=3,得a=8. 当a<2时,由已知可得f(x)=3x+a+1,x>-,-x-a+1,-1≤x≤-,-3x-a-1,x<-1,当x=-时, f(x)min=f-=-+1=3,可得a=-4.综上可知,a的值为-4或8.

2. xx>2或x

3. xx≥-.

4. {x-1

5. {x01}或{xx>a,0

6. 原不等式可化为24x-(1+m)·22x+m<0,即(22x-1)(22x-m)<0?摇①.

(1)当m>1时,由①得1<22x

(2)当m=1时,由①得(22x-1)2<0,所以x∈;

(3)当0

(4)当m≤0时,由①得22x<1,所以x<0.

综上所述:当m>1时,原不等式的解集为0,log2m;当m=1时,原不等式的解集为;当0

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