曹进捷 ，鲁亮

（1.同济大学土木工程学院，上海 200092；2.中交第三航务工程局有限公司，上海 200032）

0 引言

体系转换是自锚式悬索桥施工的关键工序。体系转换的主要方法有张拉吊索法、落梁法和顶升索鞍法，其中张拉吊索法因施工简单、速度快，被广泛采用。张拉吊索法是以多跨连续加劲梁为其初始状态，通过张拉吊索，使其达到体系转换目的。

吊索的索力是决定自锚式悬索桥结构内力和成桥状态的关键参数，施工过程中必须精确确定吊索张拉力。目前普遍采用的索力测试方法主要是频率法，频率法是通过测定吊索自振频率，根据索力与频率的关系计算索力，该方法简单、方便、快捷，适用范围广[1]。

随着现代测试技术的发展，频率测试技术已很成熟，测试精度可以满足工程要求。频率法测试索力的关键问题是索力和频率之间关系的方程的建立。

长期以来测试经验表明，对于长吊索，采用基于弦理论的解析公式计算索力可以保证足够的精度；对于短吊索，其实际构造以及边界条件与理想的“弦”有较大的差别，因此必须考虑边界条件、抗弯刚度甚至温度对索力的影响，此时采用梁理论更接近实际情况。自锚式悬索桥的跨度一般较小，大部分吊索属于短吊索，因此应采用梁理论计算。

采用梁理论可建立一般边界条件下索自由振动特征方程[2]，但是此特征方程是超越方程，只能通过反复迭代求解，工程应用很不方便，目前国内对此类问题尚无很好的解答，通常只能提供一定边界条件下索力与频率的近似表达式，在工程应用中往往因为经验公式的边界条件与实际边界条件不符而产生较大误差。

本文在现有研究的基础上，提出了可满足任意边界条件的索力测试通用计算公式，该公式方便、适用，实际应用中，只需在吊索张拉阶段通过实测确定每根短吊索的计算参数，后续测试过程中利用该参数即可准确计算索力，从而大幅提高短吊索索力测试的精度。

1 频率法测索力

1.1 频率法测索力基本理论

将吊索的力学模型简化为受轴向拉力的Bernoulli-Euler梁模型，即考虑索的弯曲刚度的影响，不考虑索剪切变形的影响，并作如下假设：1）索在平面内作横向微幅振动，沿索长方向位移忽略不计；2）索自由振动，不受横向力作用；3）不考虑索的自重和阻尼的影响；4）不考虑垂度的影响。

应用动力学原理，建立其自由振动微分方程[3]：

式中：m为单位长度索的质量；T为索的拉力；EI为索的抗弯刚度；u（x，t）为索的横向位移。

应用分离变量法，令 u（x，t）=u（x）eiωnt，则可得到：

式中：ωn为索的第n阶圆频率；

考虑两端铰接的边界条件时，可得出索力计算的解析公式[2]：

式中：fn为吊索第n阶固有频率；l为计算长度。

考虑两端固接的边界条件时，可得出特征频率方程[2]：

此特征方程是超越方程，不能直接求解，目前对该公式求解的方法实质都是采用一个合理的表达式对其进行分区间拟合，从而得到索力与频率的近似表达式，如李国强等将公式简化并通过最小二乘法拟合得到索力估算的实用公式（5）[4]，ZUI等直接经过曲线拟合给出了经验公式[5]，任伟新等通过能量法经过曲线拟合也得出了经验公式[6]。

1.2 影响频率法测试精度的因素

1.2.1 边界条件影响

对于较长吊索边界条件的模拟，将索两端考虑成固接和铰接的计算结果都基本满足精度要求，可是对于短索，其两端支承条件十分复杂，若还采用单一的固支或者简支边界来模拟，计算结果的偏差会随着索长的减小而急剧增大甚至失真。

另外，吊杆计算长度的确定在频率法测试中至关重要，当吊杆沿长度均匀单一且跨内无任何支点时，可以取两端锚固点间的距离作为计算长度，但本桥吊杆两端锚头区部分的刚度要比吊杆其余部分的刚度大得多。因此，将吊杆两锚固点间长度减去两端连接部分来取值，会得到更加合理且精确的结果。

1.2.2 抗弯刚度影响

计算吊索抗弯刚度EI时，由于吊索是由平行钢丝或钢绞线经小角度扭绞而成的，其截面弹性模量略小于单根钢丝的弹性模量，实际惯性矩略大于拉索截面的各单根钢丝惯性矩之和，远小于按整体截面换算成钢棒的惯性矩，用截面特性计算吊索的抗弯刚度EI有时会造成很大的误差[7]；另外，吊索的抗弯刚度随着EI索力的变化是个变量，实际工程中在索力相差不是很悬殊的情况下一般视其为常量。选取任意两阶频率fk和fn代入式（3）可以推导出吊索抗弯刚度的计算公式（6），为了降低个别频率值误差带来的影响，可取多组频率值计算后取平均值。需要说明的是，虽然使用式（6）隐含了吊索铰接的边界条件，但在实际工程应用中，用此方法计算的EI误差较小。

1.2.3 温度影响

温度在两个方面对索力产生影响，一方面是温度的变化使得吊索本身发生伸长或收缩，从而引起索力的变化；另一方面是由于索的材料与主梁及桥塔的材料不同，二者的线膨胀系数也误差很大，温度变化的速率与产生的变形也误差很大，温度变化时，主梁与桥塔的变形将对索力测试产生影响。一般情况下，在索力测试时只考虑前一种情况，即温度变化引起索自身的伸缩从而引起索力的变化。因此，在测试时，每次应选在温度基本接近的时候测试，如果温度变化较大，应对测试数据进行修正，即温度每升高1℃，索力将下降αEA，α是吊索的材料线膨胀系数；E为吊索的弹性模量；A为吊索截面积。

2 短吊索索力计算实用公式

考虑到短吊索的实际边界条件介于铰接和固接之间，同一工程中不同长度的吊索边界条件可能相差很大，这样直接使用式（3）或式（5）计算索力常常会有较大的误差。考虑到边界条件为铰接的解析公式和边界条件为固接的经验公式大都具有类似的形式，则可将不同边界条件下的索力计算公式统一成如下的形式：

式中：a，b为待定系数，取决于吊索的实际边界条件。

使用式（7）计算索力的关键是确定系数a，b。在自锚式悬索桥的施工过程中，吊索的张拉一般使用压力传感器来控制，精度较高（误差在2%以内），施工过程中可以准确地确定索力T，并在此时测试吊索的频率，将任意两阶频率fn和fk以及索力T代入式（7），即可解得此根吊索对式（7）的系数 a，b：

类此，将a，b代入式（7），可确定每一根吊索的计算公式，并作为每根吊索后续索力测试的计算公式。

3 工程实例

江阴市某大桥工程为双索面预应力混凝土自锚式悬索桥，加劲梁为主跨100 m、边跨40 m、协作跨30m的五跨连续梁，桥面总宽度主跨和边跨为38.5 m，协作跨为36 m。吊索采用φ7-109高强镀锌钢丝，极限强度为1 670 MPa，极限承载力为7 005 kN，长度最短4.164m，最长18.880 m。吊索的质量为36.01 kg/m，吊索的计算长度应除去上下锚头刚性区的长度。

在吊索施工时，按照体系转换方案张拉吊索。本桥桥面左右各31根吊索中，其中1号、15号、16号、17号、31号吊索的计算长度小于4 m，长度过小，后期采用常规的频率测试法无法准确测试其索力。应用本文的处理方法，对于长度较短的短吊索，采用专用的穿心式压力传感器在施工阶段测试其索力及相应固有频率，将测得的频率代入式（8）、式（9）可以得到系数a，b，即得到该吊索的计算公式（7），在成桥后期即可采用此计算公式来测试和计算索力。

表1列出了左幅2～5号、13号及14号吊索的系数a，b的计算结果，以及分别按照铰接和固接的边界条件计算的索力值，可以看出按铰接边界条件计算时索力明显偏大，按固接边界条件计算时索力明显偏小，使用这两种边界条件的计算误差都不能忽略。实际的边界条件介于铰接和固接之间，也验证了采用本文方法测试和计算短吊索索力的必要性和正确性。

表1 施工阶段吊索索力测试的计算结果Table 1 Calculation resultof cable force test in construction stage

表2列出了成桥后吊索索力测试的计算结果，可以看出，按式（7）计算的索力和数模分析得到的理论值较为接近，相对误差在±3%以内，而按铰接或固接的边界条件计算时索力的相对误差都明显偏大。计算结果表明，使用本文提出的实用公式计算自锚式悬索桥短吊索索力精度较高。

表2 成桥后吊索索力测试的计算结果Table2 Calculation resultof cable force test in com pletion stage

4 结语

1）影响频率法测试索力精度的主要因素为吊索的边界条件、吊索截面抗弯刚度的计算方法以及温度变化，本文均给出了相应的处理措施。

2）对于短吊索索力测试，本文提出了可满足任何边界条件的索力频率测试法和实用计算公式，即在施工张拉阶段得到每根短吊索的计算公式的系数供后期测试使用。工程实例表明，本文所提出的计算公式能大幅提高短吊索索力的测试精度，该实用计算公式可应用于悬索桥短吊索和拱桥短吊杆等的测试。

[1] 张哲.混凝土自锚式悬索桥[M].北京：人民交通出版社，2005.ZHANG Zhe.Concrete self-anchored suspension bridge[M].Beijing:ChinaCommunication Press,2005.

[2]徐霞飞.考虑边界条件影响的吊索索力估算与试验[D].长沙：中南大学，2008.XU Xia-fei.Estimation and test of suspender tension considering effect of boundary conditions [D].Changsha:Central South University,2008.

[3]ROYRCRAING，Jr.结构动力学[M].常岭，李振邦，译.北京：人民交通出版社，1995：12-20.ROYRCRAING,Jr.Structuraldynamics[M].translated by CHANG Ling,LI Zheng-bang.Beijing:China Communication Press,1995,12-20.

[4] 李国强，魏金波，张开莹.考虑边界弹性约束的索力动力检测理论与试验研究[J].建筑结构学报，2009，30（5）：220-226.LIGuo-qiang,WEI Jin-bo,ZHANG Kai-ying.Theoretical and experimentalstudy on cable tension estimation by vibrationmethod accounting for rotational end restraints[J].Journal of Building Structures,2009，30(5):220-226.

[5]ZUIH,SHINKET,NAMITA Y.Practical formulas for estimation of cable tension by vibration method[J].Journal of Structural Engineering,ASCE,1996,122(6):651-656.

[6]任伟新，陈刚.由基频计算拉索拉力的实用公式[J].土木工程学报，2005，38（11）：26-31.RENWei-xin,CHENGang.Practical formulas to determine cable tension by using cable fundamental frequency[J].China Civil Engineering Journal,2005,38(11):26-31.

[7] 熊杰.矮塔斜拉桥施工控制及索力误差[D].成都：西南交通大学，2009.XIONG Jie.The construction controland erroranalysisof the cable force for short-pylon cable stayed bridge[D].Chengdu:Southwest JiaotongUniversity,2009.

[8] 王沛和.自锚式悬索桥成桥状态及吊索张拉过程研究[D].大连：大连理工大学，2012.WANG Pei-he.Studies on the finished dead state and hanger tension procedure of self-anchored suspension bridge[D].Dalian:Dalian Universityof Technology,2012.

[9] 徐霞飞，任伟新.边界条件对吊索索力估算的影响[J].铁道科学与工程学报，2008，5（6）：26-31.XU Xia-fei,RENWei-xin.Effect of boundary conditions on the estimation of suspender tension[J].Journal of Railway Science and Engineering,2008,5(6):26-31.