田录林 李 鹏

1.西安理工大学，西安，710048 2.甘肃省电力公司电力科学研究院，兰州，730050

0 引言

要满足国家装备制造业对所亟需的精密机床、飞轮储能装置、风力发电机等重大装备关键零部件、高性能轴承的巨大需求，要实现旋转机械节能、高效高速可靠运转，必须解决高速转子的支承问题。机械轴承有接触、需润滑，限制了它的最高转速和使用寿命，已成为传统驱动高速化的瓶颈。磁悬浮轴承无摩擦，可以解决上述问题。但电磁悬浮轴承耗能、控制复杂［1］，超导磁悬浮轴承需要制冷设备［2－3］，这限制了它们的应用，而永磁轴承具有结构简单、成本低、无摩擦、无能耗、无污染等特点，具有明显的竞争优势。永磁轴承有不同的结构形式，相对于其他形式的永磁轴承，锥形永磁轴承具有同时承受径向和轴向载荷的优点，国内外一些学者对锥形永磁轴承进行了研究，取得了一些进展。Hamler［4］提出了锥形永磁轴承结构，并采用有限元方法对其进行了仿真研究；Compter［5］根据电流模型得出三角形和梯形永磁体磁路模型，推导出磁化方向不同时的磁路计算方程；Bassani等［6］依据等效电流方法，研究分析了锥形永磁轴承磁化方向对磁力大小的影响。但上述研究尚未涉及锥形永磁轴承磁力解析模型的研究。本文针对上述研究的不足和空隙，基于点磁荷二维磁场和虚功原理［7－8］推导出一对平行矩形截面永磁体的磁力解析模型，并结合锥形永磁轴承的结构特点，建立了具有明确参数关系、便于锥形永磁轴承设计的磁力解析模型。该模型通过分析锥形永磁轴承磁力与相关参量的关系，揭示了锥形永磁轴承的动力学特性及规律。ANSYS仿真表明本文模型正确可行，其误差能够满足工程应用的要求。

1 锥形永磁轴承磁力解析模型

锥形永磁轴承结构剖面如图1所示［9］，该轴承结构用于承载转轴轴向和径向载荷。

图1 锥形永磁轴承结构示意图

为方便建立锥形永磁轴承磁力解析模型，忽略锥形永磁轴承曲率的影响，先研究一对纵向长度为L的两块平行矩形截面永磁体磁力解析模型，然后再考虑锥形永磁轴承的结构特点，研究其轴向及径向分力。

1.1 一对纵向长度为L的两块平行矩形截面永磁体磁力解析模型

两长直细条形永磁体，一块过P点与Y轴重合，一块过M点与X轴平行，如图2所示。基于点磁荷二维磁场和虚功原理，可得单位长度的两长直细条形永磁体之间的磁力［10］为

式中，J1、J2分别为永磁体磁极化强度矢量，其在Y 轴方向的分量为0，其量值分别等于永磁体剩磁感应强度Br1和Br2；μ0为空气磁导率，μ0＝0.4πμH／m；rPM为同一横截面内两长条形永磁体两微元面ds1和ds2间的距离；β1、β2分别为J1和J2与X轴方向的夹角；θ为rPM与X轴正方向的夹角。

图2 两长直细条形平行永磁体的参数

纵向长度为L的一对平行矩形截面永磁体如图3所示，箭头为磁化矢量方向［11-12］，图中a为矩形截面长度，b、d分别为内外磁环厚度。

当β1＝π，β2＝π时，则β1＋β2＝2π，对式（1）积分可得

图3 两块平行截面永磁体参数示意图

将式（4）代入式（3）化简积分得

对式（2）积分，可得长度为L的两块平行矩形截面永磁体X向磁力：

将式（8）代入式（7）化简积分可得

式（5）和式（9）即为一对纵向长度为L的两块平行矩形截面永磁体磁力解析模型，式中磁力单位为N，长度单位为mm。

1.2 锥形永磁轴承的轴向磁力和径向磁力

锥形永磁轴承可视为由两块平行矩形截面永磁体以一定倾角环绕转轴轴线而绕成，可取磁环间隙中间处周长为式（5）和式（9）的纵向近视长度，其轴向及径向分力是式（5）和式（9）计算磁力在轴向及径向的分力。

1.2.1轴向磁力

设锥形永磁轴承倾角为α，其剖面参数如图4所示，点P、Q、R、S分别为锥形轴承剖面末端点，设图中P点坐标为（w1，v1），Q点坐标为（w2，v2），R 点坐标为（w3，v3），S 点坐标为（w4，v4）。由图4可得

图4 锥形永磁轴承轴向剖面图

当锥形永磁轴承承受轴向载荷时，其轴向磁力解析表达式为

1.2.2径向磁力

图5为锥形永磁轴承径向偏移e时的剖面图，图中的R1、R2分别表示轴承底部剖面内环外半径和外环内半径，且其R1＝｜0.5（w2－w4）｜，R2＝｜0.5（w1－w3）｜。为了利用式（4）、式（5）和式（9）分析图5径向偏移e时的锥形永磁轴承径向磁力，将锥形永磁轴承分为对称的N（N ＝8）段［13］，其各段径向偏移间隙可表示为

图5 锥形永磁轴承径向剖面参数

设锥形永磁轴承内外磁环厚度相等，即b＝d，锥角为α，单个磁环沿锥角为α方向的长度为a（图3～图5），按截面等分原则确定锥形永磁轴承平均磁环周长，设磁环平均周长对应的平均半径为Rj，则

锥形永磁轴承的近似周长为L＝2πRj。由于磁环间径向间隙很小，在忽略锥形永磁轴承曲率的情况下，可得图5中的每段平均弧长Lx为锥形永磁轴承近似周长L的1／N。将hx、Lx代入式（5）和式（9）中，近似计算各段中点对应的径向磁力和切向磁力，再将以上磁力分别沿径向（w方向）分解，最后将8段的径向磁力叠加可得锥形永磁轴承径向总磁力，即

由于图5以w轴为对称轴，显然m方向磁力为零。

2 磁力解析模型的ANSYS仿真验证及参数分析［14-18］

本文计算分析选用稀土NdFeB作为永磁轴承材 料，其 性 能 参 数 为：Br＝ 1.13T，Hc＝800kA／m，μr＝Br／（μ0Hc）＝1.124。

2.1 解析模型的锥形永磁轴承轴向磁力与轴向偏移的仿真验证及参数分析

设置的锥形永磁轴承几何参数为：b＝d＝15mm，a＝30mm，α＝30°，嵌套轴半径为rg＝21mm，轴承底部4点的坐标分别为：P（54.48mm，12.99mm），Q（54.98mm，13.87mm），R（－54.48mm， 12.99mm），S（－54.98mm，13.87mm）。

锥形永磁轴承仅有轴向偏移时，将相关参数代入式（5）、式（9）～ 式（13）进行计算，计算结果如表1所示，其对应的计算和仿真曲线如图6所示，图表中的Fvj为轴承轴向磁力解析模型计算值，Fvf为轴承轴向磁力ANSYS仿真值。计算值与仿真值的最大误差为4%，最小误差为0.36%，平均误差为0.74%。由表1、图6可以看出，锥形永磁轴承轴向磁力随轴向偏移的增大而减小。

表1 锥形永磁轴承磁力模型计算值与仿真值

图6 锥形永磁轴承磁力模型计算曲线与仿真曲线

在ANSYS仿真中，用PLANE53单元建立永磁轴承轴对称模型。图7所示为锥形永磁轴承ANSYS仿真二维磁力线。

图7 ANSYS仿真二维磁力线图

2.2 锥形永磁轴承轴向磁力与磁环厚度的关系

设置的锥形永磁轴承几何参数为：a＝30mm，α＝30°，rg＝21mm。将相关参数代入式（5）和式（8）进行计算，然后将计算结果和已知参数代入式（11）～式（13）计算锥形永磁轴承的磁力。锥形永磁轴承轴向磁力解析模型计算结果和ANSYS仿真结果如表2所示，其对应的计算和仿真曲线如图8所示。计算结果与仿真结果的最大误差为3.59%，最小误差为0.16%，平均误差为1.56%。由表2和图8可以看出：锥形永磁轴承轴向磁力随磁环厚度b的增大而增大。

表2 锥形永磁轴承磁力模型计算值与仿真值

图8 锥形永磁轴承磁力模型计算曲线与仿真曲线

2.3 锥形永磁轴承轴向磁力与磁环沿锥角为α方向的长度a的关系解析

设置的锥形永磁轴承几何参数为：b＝d＝15mm，α＝30°。将相关参数代入式（5）和式（9）进行计算，将计算结果和已知参数代入式（11）～式（13）计算锥形永磁轴承磁力。锥形永磁轴承轴向磁力解析模型计算结果和ANSYS仿真结果如表3所示，其对应的计算和仿真曲线如图9所示。计算结果与仿真结果的最大误差为0.12%，平均误差为1.54%。由表3和图9可以看出：在小范围内锥形永磁轴承轴向磁力随单个磁环沿锥角为α方向的长度a的增大而增大。

表3 锥形永磁轴承磁力模型计算值与仿真值

2.4 锥形永磁轴承轴向磁力与其锥角α的关系解析

设置的锥形永磁轴承几何参数为：a＝30mm，b＝d＝15mm。将相关参数代入式（5）和式（9）进行计算，然后将计算所得结果和已知参数代入式（11）～式（13）计算锥形永磁轴承磁力。锥形永磁轴承轴向磁力解析模型计算结果和AN－SYS仿真结果如表4所示，其对应的计算和仿真曲线如图10所示。计算结果与仿真结果的最大误差为9.8%，最小误差为1.94%，平均误差为3.59%。由表4和图10可以看出：锥形永磁轴承轴向磁力随其锥角α的增大而减小。

图9 锥形永磁轴承磁力模型计算曲线与仿真曲线

表4 锥形永磁轴承磁力模型计算值与仿真值

图10 锥形永磁轴承磁力模型计算曲线与仿真曲线

2.5 锥形永磁轴承轴向磁力与嵌套轴半径γg的关系解析

设置的锥形永磁轴承几何参数为：a＝30mm，b＝d＝15mm，α＝30°。将相关参数代入式（5）和式（9），然后将计算结果和已知参数代入式（11）～式（13）计算锥形永磁轴承磁力。锥形永磁轴承轴向磁力解析模型计算结果和ANSYS仿真结果如表5所示，其对应的计算和仿真曲线如图11所示。计算结果和仿真结果的最大误差为6.79%，最小误差为0.12%，平均误差为2.27%。由表5和图11可以看出：锥形永磁轴承轴向磁力随嵌套轴半径rg的增大而增大。

表5 锥形永磁轴承磁力模型计算值与仿真值

2.6 锥形永磁轴承径向磁力与其径向偏移量e的关系阐析

图11 锥形永磁轴承磁力模型计算曲线与仿真曲线

设置的锥形永磁轴承几何参数为：a＝30mm，b＝d＝15mm，α＝30°，将相关参数代入式（5）、式（9）、式（12）和式（14）进行计算，然后将计算结果和已知参数代入式（15）计算锥形永磁轴承磁力。锥形永磁轴承径向磁力解析模型计算结果和ANSYS仿真结果如表6所示，其对应的计算和仿真曲线如图12所示。计算结果和仿真结果的最大误差为11.1%，最小误差为1.7%，平均误差为2.6%。由表6和图12可以看出：锥形永磁轴承径向磁力随径向偏移量e的增大而增大。

表6 锥形永磁轴承磁力模型计算值与仿真值

图12 锥形永磁轴承磁力模型计算曲线与仿真曲线

本文数据误差产生的主要原因是：计算值中，磁环平均周长对应的平均半径Rj存在计算误差；另外，在ANSYS仿真计算中磁体结构建模时也存在误差。

3 结论

本文建立了锥形永磁轴承磁力解析模型，分析了圆锥形永磁轴承轴向承载力与其结构参数之间的关系。结果表明：圆锥形永磁轴承磁力与磁环的平均周长和磁环磁通密度的平方成正比，磁力随着磁环径向宽度的增大而增大，随磁环截面长度的增大而增大；轴向磁力随磁环锥角的增大而减小，随轴向偏移的增大而减小；径向磁力随着径向间隙的增大而增大。解析模型计算结果与ANSYS仿真结果基本一致，最大误差小于11.1%。本文解析模型计算方法的成功应用，解决了长期以来锥形永磁轴承磁力计算只有复杂的数值仿真算法，而没有便于工程设计计算的磁力解析模型问题。

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