(怀化学院 数学系，湖南 怀化 418008)

0 引言

《数学分析》是高等院校数学与应用系数学与应用数学、信息与计算科学两个数学类专业的基础课程和骨干课程，也是学时数最多的课程，历时三个学期[1-2].《数学分析》课程具有概念多、抽象难懂的特点，在传统的教学中，很多学生还没有适应从中学生到大学生的学习角色的转换，就要面临《数学分析》课程中的一大堆抽象理论和知识的学习，如“极限的ε-δ 语言”、“一致连续性”等，一开始就对学习产生惧怕心理，觉得很枯燥、不自信，学习积极性受到严重影响，而且该课程的教学效果对后续分析类课程教学影响很大.因此，在《数学分析》教学中怎样进行教学改革，如何正确处理具体与抽象、实践与认识的关系，提高学生的学习积极性，一直是教学工作者探讨的课题[3-4].本文针对传统《数学分析》教学的弊端，结合作者自己多年《数学分析》课程教学实践，首先论述了《数学分析》课程教学中融入数学建模思想的重要性，接着就数学建模思想全方位融入到《数学分析》教学的各个环节中的具体方法进行了探讨，为数学分析课程的教学改革提供有益的参考.

1 数学建模思想融入教学中的重要性

数学建模是通过建立数学模型解决各种实际问题，即用数学的语言刻画和描述实际问题，然后经过数学的处理得到定量的结果.数学建模是实际问题经过适当的简化、抽象而形成数学公式、方程、函数式或几何问题等[5].学生通过参与数学建模，充分体会到数学本身就是刻画客观世界的数学模型，感受到数学应用的广泛性.传统的《数学分析》教学过分地强调数学语言描述和逻辑思维，很容易让学生觉得数学分析的学习就是学习一堆枯燥的概念、定义和定理.事实上，数学分析中的概念、定义和定理都是有自然背景的，都是从客观事物中抽象出来的.将数学建模的思想融入《数学分析》教学中，重现了当时发现这些概念和定理的过程，建模过程能够充分调动学生应用数学知识分析和解决实际问题的积极性和主动性，激发学生把数学知识和方法应用到实际问题中去的渴望，从而激发学生学习数学的兴趣和热情.将数学建模思想融入到基础课程教学的想法和建议，是很多数学教学工作者经历了相当长时间的教学实践得出来的经验总结[6-7].本人从事《数学分析》课程教学已有多年，认为数学建模的思想方法是可以渗透到《数学分析》教学中各个环节中的，而且这种渗透可以起到非常好的教学效果.在《数学分析》课程教学的各个主要环节中融入数学建模思想的教学实践证明，它可以帮助学生理解抽象的概念定理，培养学生的应用意识，激发学生主动学习的兴趣.从教学改革来说，加强数学建模思想在《数学分析》教学各个教学环节中的渗透，是我们探索处理上述问题的一条有效途径.

2 数学建模思想在各个教学环节中的渗透

2.1 课堂教学中渗透

《数学分析》课程中含有大量概念、定义和定理，课堂教学的重点和难点就是如何让学生掌握这些枯燥、抽象的概念、定义和定理.对于概念和定义的教学，传统的教学方式就是强调概念和定义的数学描述和逻辑思维，这样让学生感觉到《数学分析》就是概念多、抽象、无趣和难懂.如果我们改变这种教学方式，在概念和定义的讲授中融入数学建模的思想，比如《数学分析》中函数、极限、导数、积分、级数等概念都是从客观事物的某种数量关系或空间形式中抽象出来的数学模型，我们在教学中应从它们的实际“原型”和学生熟悉的日常生活中的例子自然而然地引出来，使学生感到课本里的概念不是硬性规定的，而是与实际生活有密切联系的，这样学生不再感到这些概念抽象、难懂和无趣了.

对于定理的教学，传统的教学方式强调定理的结论以及证明过程的逻辑思路和方法，这种教学方式让学生感到定理的证明抽象、难懂，更加谈不上灵活应用了.如何讲授才能使学生理解定理的内容，灵活运用定理与定理的证明方法，是处理教学过程的一大难点.改变现有教学方式，在定理的教学中融入数学建模思想这种现状会有明显的改善.事实上《数学分析》中的很多定理，在历史上发明它们的时候，本来是有很自然的背景的，但经过抽象之后得到的.如果在定理教学中让学生能在一定程度上了解所学知识的来龙去脉及历史渊源，这样可激发学生的求知欲望.然后，把定理的结论看作是一个特定的模型，需要我们去建立它.于是，当把定理的条件看作是模型的假设时，即可根据预先设置的问题情景引导学生一步一步地发现定理的结论.这种融入数学建模思想的教学方法，不但使学生学到知识，而且让他们体验到探索、发现和创造的过程，是培养学生创新意识和能力的好途径.

2.2 开设数学实验课

随着计算机的飞速发展，许多实际问题的解决都离不开计算机的参与.数学软件的成熟(比如Matlab，Mathematica)，使得许多数学计算都可以通过计算机来实现.目前数学系正在进行专业课程的实践教学体系改革，《数学分析》课程也纳入该改革体系中.结合实践教学改革体系，在《数学分析》教学中开设数学实验课，既可以提高学生学习《数学分析》的兴趣，也可以提高他们的动手实践能力.数学实验一般要结合数学模型，数学软件为平台，模拟实验环境进行教学.在《数学分析》教学中，每个学期开始2-3次实验课，主要包括:(1)本学期内容在数学软件中的实现;(2)熟悉数学建模过程并组队完成与本学期内容相关及难度适宜的数学建模竞赛任务.

2.3 作业布置中渗透

《数学分析》传统教学中给学生布置的习题来源于教材中的课后习题，而教材中的习题形式单调、陈旧、缺乏应用性.仅仅从教材中课后习题给学生布置作业，不能很好训练学生解决实际问题的能力和实践动手能力.为弥补这一缺陷，在作业安排上亦可融入数学建模的思想方法，适当布置一些开放型的作业，如可以布置一些让学生自由组队完成的与课程内容紧密联系的数学建模竞赛题，培养学生勇于创新，团结互助的精神;也可布置一些应用数学软件完成内容相关的数学实验题，培养学生的实践动手能力.

2.4 考核方式中渗透

《数学分析》课程传统的考核方式就是闭卷考试，考试命题一般以教材中的例题和习题的形式为主，或者把教材中的某些问题和结论设计成填空题、判断题和选择题等，这样仅仅能够考查学生解题的水平，无法考查学生灵活地应用数学知识解决问题的能力，这样做也许对教师阅卷方便，但却导致许多学生高分低能，不会在知识的学习中体会和提炼数学思想和方法.这违背了《数学分析》教学的初衷，也与我校“三位一体”的人才培养模式相违背.为改变这种现状，在考核方式上可做一些改革.首先考核方式可以分为两部分，理论闭卷考试和数学实验上机考查.其次对于理论闭卷考试部分可以适当加入一道开放型的应用题，要求按数学建模的方法去完成;对于数学实验上机考查部分，除了考查学生对数学软件的初步了解，也可以采取数学建模竞赛方式，三个一组完成一道适当难度的数学建模实际问题.

3 数学建模思想渗透的教学实践

如何在《数学分析》教学的各个环节中融入数学建模思想，既能保证在教学中做到理论与实践相结合，激发学生的学习兴趣，又能不占用太多的课程去讲授数学建模内容.对于这个问题，找到合适的切入点是关键.我们在教研过程中经常针对某一内容反复讨论，找出合适的典型案例，按照提出问题、解决问题、数学理论和实践应用的步骤，把数学建模思想融入到《数学分析》的教学.表1给出了我们多年教学实践中的典型案例.这些案例可以在课堂教学中讲授概念、定理时与数学分析相关内容相结合，也可以在作业布置、实验课和考核等其他教学环节中体现.

表1 数学分析教学实践中典型数学建模案例

4 结论

随着电子计算机的飞速发展，传统《数学分析》教学不能适应高校现代化教学，教学改革势在必行.本文针对传统教学的一些弊端，结合自己多年《数学分析》教学实践，探讨了将数学建模思想融入到《数学分析》教学各个主要环节的具体方法，提出了数学建模思想融入的关键是找到合适的典型案例切入，力争将数学建模思想与数学分析有关内容有机结合，帮助学生理解抽象的概念、定义和定理，激发学生主动学习的兴趣，培养学生勇于创新，团结协作精神和实践动手能力.

[1]华东师范大学数学系编.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2001.

[2]刘玉琏.数学分析讲义[M](第五版).北京:高等教育出版社，2001.

[3]李忠.历史的回顾:中国数学分析课程内容体系的变迁[Z].大学数学课程报告论坛，2007:19-27.

[4]陈顺清.数学分析教学改革谈-省级精品课程《数学分析》建设探讨[J].四川文理学院学报(自然科学版)，2009，19 (2):73-76.

[5]姜启源.数学建模与数学实验[M].北京:高等教育出版社，2003.

[6]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[A].大学数学课程报告论坛论文集2005[C].北京:高等教育出版社，2006:15-19.

[7]许先云，杨永清.突出数学建模思想，培养学生创新能力[J].大学数学，2007，23 (4):137-140.