三角形横向荷载作用下的简支梁弯曲分析

2014-11-25付明春李殿平

华北水利水电大学学报(自然科学版) 2014年3期

付明春，李殿平

(大连海洋大学，辽宁大连116300)

在实际工程中，某些梁和立柱杆件同时受纵、横两个方向载荷作用，其变形为压弯组合变形.对弯曲刚度很大的杆件，由于弯曲变形微小，轴力引起弯曲应力和变形可以忽略不计，可按线弹性叠加原理确定梁的最大挠度和最大弯矩［1］. 工程实际中，若横向荷载引起的弯曲挠度使截面形心偏离原位置的距离较大，轴力引起的弯矩就必须予以考虑.目前对横向荷载为均布荷载时的情况已有讨论［2］，而对横向三角形荷载作用下的最大挠度和最大弯矩计算还没有深入研究.在水利、建筑工程中，有些结构如挡土立柱、放水闸门的胸墙等，其横向荷载多按三角形规律分布，故研究三角形分布的横向荷载引起的纵横弯曲具有现实意义.笔者就此情况展开研究，给出梁或立柱杆件在三角形横向荷载作用下产生纵横弯曲变形时的最大挠度和最大弯矩数值和位置的确定方法，并以水闸结构中的胸墙为例，阐明所推导公式的具体应用.

1 挠曲线微分方程的建立和通解确定

图1为同时受横向荷载和轴向荷载作用的简支梁，其中横向荷载集度为q(线性分布)，轴向力为F，x 截面上的弯矩为

式中:M 为弯矩;l 为杆件长度;F 为作用在杆件两端的轴向力;y 为杆件的挠度;x 为任意位置处点的横坐标.

图1 简支梁同时受轴向力和三角形横向荷载作用的受力图

于是，可得挠曲线微分方程为

式中:E 为材料的杨氏弹性模量;I 为杆件横截面对中性轴的惯性矩;x 为任意位置处点的横坐标.

这是一个二阶线性非齐次微分方程.其解为齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解. 齐次方程的通解为Y，相应的齐次方程为

特征方程r2+k2=0 的通解是r = ±ik.故齐次方程的通解为

设非齐次方程的一个特解是y*，对于形如y″+py' +q=pm(x)eλx型的常系数方程具有标准的解法.由于这里，λ=0 不是齐次方程的根，于是可设

将此一元4 次多项式代入原方程，使用待定系数法有:

可求出c 值，即

由6b+k2d=0，得d=0.由k2e+2c=0，求得

故y*=ax4+cx2+e，其中a，c，e 如上式所示，则

方程的通解为:y=Y+y*，则

当x=0，y=0，x=l，y=0 时，分别求出c1，c2.

将c1，c2代入通解方程(6)，获得最终表达式:

2 跨中挠度与弯矩分析

因荷载为非均布荷载，故挠度最大值不在跨中，但实验表明其值与跨中(即x =l/2)处的挠度接近［3］.如果取跨中(即x =l/2)值代替，即将x =l/2代入式(7)中可得:

考虑到跨中挠度对跨中弯矩的影响，可以根据跨中(x=l/2)处的挠度求出跨中弯矩，即

3 最大弯矩与最大挠度分析

由式(1)给出的弯矩函数可知，若不考虑轴向力F 的影响，梁的弯矩函数应该为

对该式求导并令导数为0，得

考虑轴向力F 产生的弯矩影响［4－5］，当时，弯矩

在此，需要说明的是，式(11)和式(12)仅由横向力弯矩函数推导而得.

4 实例分析

工程实际当中，带有胸墙的水闸可以简化为如图2和图3所示的力学结构简图［6］，与图1相似.现模拟实际情况，通过文中导出的公式对胸墙的挠度和弯矩进行分析和计算.

图2 胸墙力学结构简图

图3 胸墙结构的受力图

某水闸结构中的胸墙采用10 号工字钢，跨度l=2 m，I =245 cm4，E =200 GPa，水荷载最大集度q=20 kN/m.在不同轴向力F 作用下，根据式(8)，(9)，(11)，(12)计算x=l/2(跨中)时截面上的挠度和弯矩，结果见表1.

表1 挠度和弯矩计算结果

以表1中数据8.4%为例，其计算表达式为

由表1可知:当轴向力较小时，对弯矩值影响不大;当轴向力较大、在横截面上产生的压应力接近材料的比例极限时，构件横截面上的最大弯矩和最大挠度与不考虑轴向力、只有横向荷载作用时产生的最大弯矩、最大挠度相比约增加了10%左右. 实例中给出的10 号工字钢的比例极限为200 MPa［7］，轴向荷载为80 kN 时，截面的应力为