段桂花

摘要：利用初等变换法，将实二次型的矩阵化为对角矩阵，即得到实二次型的一个标准形，从而就可以判断实二次型的类型。

关键词：初等变换法；正定；实二次型；实对称矩阵

中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号1672-3791（2014）02（b）-0000-00

正定二次型与正定矩阵的判定与证明是二次型的一个重点。对于具体的实二次型，一般采用全部顺序主子式大于零的充分必要条件来判定；而对于抽象的实二次型，往往采用定义及特征值法等判定其正定性。但以上方法计算量大，且不容易计算。本文介绍一种新的方法——初等变换法来判断实二次型的类型。该方法只涉及矩阵的初等变换，所以步骤单一、运算量小、易于掌握，最有效、最实用。

1初等合同变换的定义及结论

1、定义1 对于矩阵 ，称以下三种初等变换为 的初等合同变换：

（1）、交换 的第 行与第 行的位置得 ，紧接着交换 的第 列与第 列的位置；

（2）、 的第 行乘以非零数 得 ，紧接着 的第 列乘以非零数 ；

（3）、 的第 行的 倍加到第 行得 ，紧接着 的第 列的 倍加到第 列上；

由定义知，任意的实对称矩阵经过初等合同变换后仍然是实对称矩阵，且任意实对称矩阵都可以经过若干次初等合同变换化为对角矩阵。

2、定理：设矩阵 是实二次型 的矩阵，若矩阵 经过一些初等合同变换化为对角矩阵 ，则

（1）当 时，该实二次型为正定二次型；

（2）当 时，该实二次型为负定二次型；

（3）当 时，该实二次型为半正定二次型；

（4）当 时，该实二次型为半负定二次型；

（5）当 中有正数也有负数时，该实二次型为不定二次型。

2用初等变换法判断实二次型类型的应用

例1、判断实二次型 的类型。

解：

将该二次型的矩阵A 进行初等合同变换：

于是该二次型的一个标准形对应的对角矩阵的主对角线上的元素 由上面的定理知，该实二次型为不定二次型。

例2、判断实二次型 的类型。

解：

将该二次型的矩阵A 进行初等合同变换：

于是该二次型的一个标准形对应的对角矩阵的主对角线上的元素 由上面的定理知，该实二次型为不定二次型。

例3、判断实二次型 的类型化。

解：该二次型的矩阵为

将该二次型的矩阵A 进行初等合同变换：

于是该二次型的一个标准形对应的对角矩阵的主对角线上的元素 由上面的定理知，该实二次型为正定二次型。

总之，用初等合同变换法判断实二次型的类型比较简单，该方法只涉及矩阵的初等变换，所以步骤单一、运算量小、易于掌握，最有效、最实用。

参考文献

[1]高等代数.张禾瑞，郝鈵新编，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6

[2]高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.

[3]高等代数-导教、导学、导考.徐仲等编.西安：西北工业大学出版社，2004.3.

[4]高等代数辅导与习题解答.黄光谷等编.武汉：华中科技大学出版社，2004.3.endprint

摘要：利用初等变换法，将实二次型的矩阵化为对角矩阵，即得到实二次型的一个标准形，从而就可以判断实二次型的类型。

关键词：初等变换法；正定；实二次型；实对称矩阵

中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号1672-3791（2014）02（b）-0000-00

正定二次型与正定矩阵的判定与证明是二次型的一个重点。对于具体的实二次型，一般采用全部顺序主子式大于零的充分必要条件来判定；而对于抽象的实二次型，往往采用定义及特征值法等判定其正定性。但以上方法计算量大，且不容易计算。本文介绍一种新的方法——初等变换法来判断实二次型的类型。该方法只涉及矩阵的初等变换，所以步骤单一、运算量小、易于掌握，最有效、最实用。

1初等合同变换的定义及结论

1、定义1 对于矩阵 ，称以下三种初等变换为 的初等合同变换：

（1）、交换 的第 行与第 行的位置得 ，紧接着交换 的第 列与第 列的位置；

（2）、 的第 行乘以非零数 得 ，紧接着 的第 列乘以非零数 ；

（3）、 的第 行的 倍加到第 行得 ，紧接着 的第 列的 倍加到第 列上；

由定义知，任意的实对称矩阵经过初等合同变换后仍然是实对称矩阵，且任意实对称矩阵都可以经过若干次初等合同变换化为对角矩阵。

2、定理：设矩阵 是实二次型 的矩阵，若矩阵 经过一些初等合同变换化为对角矩阵 ，则

（1）当 时，该实二次型为正定二次型；

（2）当 时，该实二次型为负定二次型；

（3）当 时，该实二次型为半正定二次型；

（4）当 时，该实二次型为半负定二次型；

（5）当 中有正数也有负数时，该实二次型为不定二次型。

2用初等变换法判断实二次型类型的应用

例1、判断实二次型 的类型。

解：

将该二次型的矩阵A 进行初等合同变换：

于是该二次型的一个标准形对应的对角矩阵的主对角线上的元素 由上面的定理知，该实二次型为不定二次型。

例2、判断实二次型 的类型。

解：

将该二次型的矩阵A 进行初等合同变换：

于是该二次型的一个标准形对应的对角矩阵的主对角线上的元素 由上面的定理知，该实二次型为不定二次型。

例3、判断实二次型 的类型化。

解：该二次型的矩阵为

将该二次型的矩阵A 进行初等合同变换：

于是该二次型的一个标准形对应的对角矩阵的主对角线上的元素 由上面的定理知，该实二次型为正定二次型。

总之，用初等合同变换法判断实二次型的类型比较简单，该方法只涉及矩阵的初等变换，所以步骤单一、运算量小、易于掌握，最有效、最实用。

参考文献

[1]高等代数.张禾瑞，郝鈵新编，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6

[2]高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.

[3]高等代数-导教、导学、导考.徐仲等编.西安：西北工业大学出版社，2004.3.

[4]高等代数辅导与习题解答.黄光谷等编.武汉：华中科技大学出版社，2004.3.endprint

摘要：利用初等变换法，将实二次型的矩阵化为对角矩阵，即得到实二次型的一个标准形，从而就可以判断实二次型的类型。

关键词：初等变换法；正定；实二次型；实对称矩阵

中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号1672-3791（2014）02（b）-0000-00

正定二次型与正定矩阵的判定与证明是二次型的一个重点。对于具体的实二次型，一般采用全部顺序主子式大于零的充分必要条件来判定；而对于抽象的实二次型，往往采用定义及特征值法等判定其正定性。但以上方法计算量大，且不容易计算。本文介绍一种新的方法——初等变换法来判断实二次型的类型。该方法只涉及矩阵的初等变换，所以步骤单一、运算量小、易于掌握，最有效、最实用。

1初等合同变换的定义及结论

1、定义1 对于矩阵 ，称以下三种初等变换为 的初等合同变换：

（1）、交换 的第 行与第 行的位置得 ，紧接着交换 的第 列与第 列的位置；

（2）、 的第 行乘以非零数 得 ，紧接着 的第 列乘以非零数 ；

（3）、 的第 行的 倍加到第 行得 ，紧接着 的第 列的 倍加到第 列上；

由定义知，任意的实对称矩阵经过初等合同变换后仍然是实对称矩阵，且任意实对称矩阵都可以经过若干次初等合同变换化为对角矩阵。

2、定理：设矩阵 是实二次型 的矩阵，若矩阵 经过一些初等合同变换化为对角矩阵 ，则

（1）当 时，该实二次型为正定二次型；

（2）当 时，该实二次型为负定二次型；

（3）当 时，该实二次型为半正定二次型；

（4）当 时，该实二次型为半负定二次型；

（5）当 中有正数也有负数时，该实二次型为不定二次型。

2用初等变换法判断实二次型类型的应用

例1、判断实二次型 的类型。

解：

将该二次型的矩阵A 进行初等合同变换：

于是该二次型的一个标准形对应的对角矩阵的主对角线上的元素 由上面的定理知，该实二次型为不定二次型。

例2、判断实二次型 的类型。

解：

将该二次型的矩阵A 进行初等合同变换：

于是该二次型的一个标准形对应的对角矩阵的主对角线上的元素 由上面的定理知，该实二次型为不定二次型。

例3、判断实二次型 的类型化。

解：该二次型的矩阵为

将该二次型的矩阵A 进行初等合同变换：

于是该二次型的一个标准形对应的对角矩阵的主对角线上的元素 由上面的定理知，该实二次型为正定二次型。

总之，用初等合同变换法判断实二次型的类型比较简单，该方法只涉及矩阵的初等变换，所以步骤单一、运算量小、易于掌握，最有效、最实用。

参考文献

[1]高等代数.张禾瑞，郝鈵新编，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6

[2]高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.

[3]高等代数-导教、导学、导考.徐仲等编.西安：西北工业大学出版社，2004.3.

[4]高等代数辅导与习题解答.黄光谷等编.武汉：华中科技大学出版社，2004.3.endprint