杜先存,刘玉凤,管训贵

(1.红河学院教师教育学院,云南蒙自 661199;2.吉林省德惠市第八中学,吉林德惠 130300; 3.泰州学院数理信息学院,江苏泰州 225300)

关于丢番图方程x3±53=3py2

杜先存1,刘玉凤2,管训贵3

(1.红河学院教师教育学院,云南蒙自 661199;2.吉林省德惠市第八中学,吉林德惠 130300; 3.泰州学院数理信息学院,江苏泰州 225300)

设p为奇素数,运用同余式、平方剩余、乐让德符号的性质等初等方法得出了丢番图方程x3± 53=3py2无正整数解的两个充分条件.

丢番图方程;奇素数;同余;平方剩余;正整数解;乐让德符号

方程x3±a3=Dy2(D是无平方因子的正整数)是一类重要的丢番图方程,其整数解越来越受到人们的关注.杜先存等[14]、张淑静等[5]对a=1的情况进行了系列研究,得到了一系列结果.但a=5时的研究结果还不多见,目前只有很少人进行过研究,其结论主要为:1996年,李复中[6]用简单同余法给出了丢番图方程x3±125=Dy2的全部非平凡正整数解,其中,D＞0,且不能被3或6k +1型的素数整除;1998年,李复中[7]用简单同余法给出了一类不定方程x3±(5k)3=Dy2的全部非平凡整数解,其中,D＞0,D无平方因子且不能被3或6k+1型的素数整除;2006年,刘晓敏[8]用二次剩余法给出了丢番图方程x3±p3=Dy2(其中,D＞0,D含6k+1型的素因子)无正整数解的充分性条件.本文主要给出了D=3p时,丢番图方程x3±53=Dy2无正整数解的两个充分性条件.

引理[5]若p为奇素数,p=3(24r+19)× (24r+20)+1,r∈Z+,D1=2αq,其中,α=0或1, q为奇素数,q≡5(mod6),则方程x3±1=3p D1y2无整数解.

定理1 设p=3(24r+19)(24r+20)+1为奇素数,r∈Z+且r≡0,2,4(mod5),则丢番图方程无正整数解.

证明 当x≡0(mod5)时,y2≡0(mod125), 则y≡0(mod25).令x=5x1,y=25y1,则方程x3+53=3py2可化为(5x1)3+53=3p(25y1)2, 即125(x31+1)=125·(15py21),也即x31+1= 15py21.由引理可知,丢番图方程x3+53=3py2无正整数解.

当x≢0(mod5)时,设(x,y)是丢番图方程x3+53=3py2的一组解,则有(x+5)(x2-5x+ 25)=3py2.由于gcd(x+5,x2-5x+25)=1或3,又由于x2-5x+25≢0(mod2),则方程x3+53=3py2可分为以下8种情形.

情形Ⅰ x+5=3pu2,x2-5x+25=v2,y= uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅱ x+5=u2,x2-5x+25=3pv2,y= uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅲ x+5=3u2,x2-5x+25=pv2,y= uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅳ x+5=pu2,x2-5x+25=3v2,y= uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅴ x+5=9pu2,x2-5x+25=3v2, y=3uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅵ x+5=3u2,x2-5x+25=9pv2, y=3uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅶ x+5=9u2,x2-5x+25=3pv2,

情形Ⅷ x+5=3pu2,x2-5x+25=9v2, y=3uv,gcd(u,v)=1.

对于情形Ⅰ:由第二式得x=-16,-3,8, 21,则有3pu2=-11,2,13,26,显然无解,故情形Ⅰ不成立.

对于情形Ⅱ:将第一式代入第二式,配方得

对式(2)两边同时取模5得

因为

对于情形Ⅲ:将第一式代入第二式,配方得

因为9(2u2-5)2+75≡0(mod3),而p=3(24r+ 19)(24r+20)+1,则有p≢0(mod3).要使式(4)成立,则v≡0(mod3),由第二式,得x2-5x+25 ≡0(mod9),故由第一式,有gcd(x+5,x2-5x+ 25)=3,这与gcd(x+5,x2-5x+25)=1矛盾,故情形Ⅲ不成立.

对于情形Ⅳ:将第一式代入第二式,配方得

对式(5)两边同时取模5得

因为

对于情形Ⅴ:将第一式代入第二式,配方得

对式(7)两边同时取模5得

因为

对于情形Ⅵ:将第一式代入第二式,配方得

对式(9)两边同时取模3得,1≡0(mod3),矛盾,故情形Ⅵ不成立.

对于情形Ⅶ:将第一式代入第二式,配方得

对式(10)两边同时取模5得

因为

对于情形Ⅷ:将第一式代入第二式,配方得

对式(12)两边同时取模3得,1≡0(mod3),矛盾,故情形Ⅷ不成立.

综上,定理1得证.

定理2 设p=3(24r+19)(24r+20)+1为奇素数,r∈Z+且r≡0,2,4(mod5),则丢番图方程

无正整数解.

证明类似于定理1.

[1]杜先存,吴丛博,赵金娥.关于Diophantine方程x3±1= 3Dy2[J].沈阳大学学报:自然科学版,2013,25(1):8486. (Du Xiancun,Wu Congbo,Zhao Jin’e.On Diophantine Equation x3±1=3Dy2[J].Journal of Shenyang University:Natural Science,2013,25(1):8486.)

[2]杜先存,管训贵,杨慧章.关于不定方程x3+1=91y2[J].内蒙古师范大学学报:自然科学汉文版,2013,42(4):397399. (Du Xiancun,Guan Xungui,Yang Huizhang.On the Indefinite Equation x3+1=91y2[J].Journal of Inner Mongolia Normal University:Natural Science,2013,42 (4):397399.)

[3]杜先存,万飞,杨慧章.关于丢番图方程x3±1=1 267y2的整数解[J].数学的实践与认识,2013,43(15):288292. (Du Xiancun,Wan Fei,Yang Huizhang.On the Diophantine Equation x3±1=1 267y2[J].Mathematics in Practice and Theory,2013,43(15):288292.)

[4]杜先存,赵东晋,赵金娥.关于不定方程x3±1=2py2[J].曲阜师范大学学报:自然科学版,2013,39(1):4243. (Du Xiancun,Zhao Dongjin,Zhao Jin’e.On the Indefinite Equation x3±1=2py2[J].Journal of Qufu Normal University:Natural Science,2013,39(1):4243.)

[5]张淑静,杨雅琳,贾晓明.关于Diophantine方程x3±1= 3p D1y2[J].山西师范大学学报:自然科学版,2009,23 (4):3133. (Zhang Shujing,Yang Yalin,Jia Xiaoming.On the Diophantine Equation x3±1=3p D1y2[J].Journal of Shanxi Normal University:Natural Science,2009,23(4): 3133.)

[6]李复中.关于丢番图方程x3±125=Dy2[J].东北师大学报:自然科学版,1996,28(3):1516. (Li Fuzhong.On the Diophantine Equation x3±125=Dy 2 [J].Journal of Northeast Normal University:Natural Science,1996,28(3):1516.)

[7]李复中.关于一类丢番图方程x3±(5k)3=Dy2[J].东北师大学报:自然科学版,1998,30(2):1619. (Li Fuzhong.On the Diophantine Equation x3±(5k)3= Dy2[J].Journal of Northeast Normal University:Natural Science,1998,30(2):1619.)

[8]刘晓敏.关于丢番图方程x3±p3=Dy2解的讨论[D].哈尔滨:哈尔滨理工大学,2006. (Liu Xiaomin.On the Solutions of the Diophantine Equations x3±p3=Dy2[D].Harbin:Harbin University of Science and Technology,2006.)

【责任编辑:王 颖】

On Diophantine Equation x3±53=3py2

Du Xiancun1,Liu Yufeng2,Guan Xungui 3
(1.Teachers’Educational College,Honghe University,Mengzi 661199,China;2.No.8 Middle School,Dehui 130300, China;3.Mathematical Infermation,Taizhou University,Taizhou 225300,China)

Let p be an odd prime.By using congruent formula,quadratic residue,Legendre symbol, two sufficient conditions for the Diophantine equation x3±53=3py2has no integer solutions are obtained.

Diophantine equation;odd prime;congruence;quadratic residue;positive integer solution;Legendre symbol

2095-5456(2014)01-0081-03

O 156.1

A

2013 08 24

云南省教育厅科研基金资助项目(2012C199);江苏省教育科学“十二五”规划课题资助项目(D201301083).

杜先存(1981),女,云南凤庆人,红河学院讲师. y=3uv,gcd(u,v)=1;