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广义V-r-Ⅰ型不变凸非光滑多目标规划问题

2014-10-25

吉林大学学报(理学版) 2014年4期
关键词:不等号最优性对偶

闫 春 雷

(青岛大学 数学科学学院,山东 青岛266071)

凸性在数学规划中应用广泛.为了减弱对凸性的要求,研究者们给出了几类广义凸函数的定义.Hanson[1]介绍了不变凸函数;Hanson等[2]给出了Ⅰ型与Ⅱ型不变凸函数的概念.文献[3-8]将Ⅰ型不变凸函数推广到可微或不可微多目标规划的情形,取得了一些有意义的结果;Jeyakumar等[9]将不变凸的概念推广到多目标规划情形,给出了V-不变凸的概念;Antczak[10]结合V-不变凸[9]与r-不变凸[11]给出了V-r-不变凸的概念;Antczak[12]将V-r-不变凸推广到局部Lipschitz函数,并在局部Lipschitz函数的V-r-不变凸条件下给出了非光滑多目标规划问题的Karush-Kuhn-Tuker必要与充分最优性条件及Mond-Weir与Wolf型对偶结果;Ahmad等[13]又将V-r-不变凸进行了推广,给出了局部Lipschitz函数广义V-r-不变凸的概念,并在广义V-r-不变凸条件下给出了非光滑多目标规划问题的Karush-Kuhn-Tuker充分最优性条件及 Mond-Weir对偶性.

本文考虑非光滑多目标规划问题,结合V-r-不变凸与Ⅰ型不变凸,通过给出局部Lipschitz函数的广义V-r-Ⅰ型不变凸概念,在广义V-r-Ⅰ型不变凸条件下得到了非光滑多目标规划问题的Fritz-John和Karush-Kuhn-Tuker充分最优性条件,并建立了混合型对偶问题,且在广义V-r-Ⅰ型不变凸条件下给出了弱对偶性与严格逆对偶性.

1 预备知识

对于任意的x=(x1,x2,…,xn)∈ℝn,y=(y1,y2,…,yn)∈ℝn,有x=y⇔xi=yi(i=1,2,…,n);x<y⇔xi<yi(i=1,2,…,n);x≤y⇔xi≤yi(i=1,2,…,n);x≺y⇔x≤y且x≠y.

定义1[14]设集合X⊆ℝn非空,f:X→ℝ是实值函数,x∈X,N为x的邻域,如果存在某个常数K>0,使得对任意的y,z∈N,有

则称f在x处是局部Lipschitz的.

若不等式(1)对于任意的x∈X都成立,则称f在X上是局部Lipschitz的.

定义2[14]X⊆ℝn为非空开集,函数f:X→ℝ在点x∈X处是局部Lipschitz的,d∈ℝn.若极限

存在,则称此极限为f在x处沿方向d的广义方向导数.

定义3[14]X⊆ℝn为非空开集,函数f:X→ℝ在x∈X的广义次梯度记为

考虑非光滑多目标规划问题(VP):

定义5[12]设f:X→ℝp为定义在非空开集X⊆ℝn上的局部Lipschitz函数,r为任意实数,如果存在函数η:X×X→ℝn,αi:X×X→ℝ+\{0},i∈I,使得对于任意的x∈X,有

则称函数f在u∈X处关于η是V-r-不变凸的.若x≠u时,式(2)不等号严格成立,则称函数f在u∈X处关于η是严格V-r-不变凸的.

下面假设X为ℝn中非空开集,f:X→ℝp,g:X→ℝm为局部Lipschitz函数.函数η:X×X→ℝn,αi:X×X→ℝ+\{0},βj:X×X→ℝ+\{0},νi:X×X→ℝ+\{0},ωj:X×X→ℝ+\{0},i∈I,j∈M,r为任意实数.

定义6 如果存在函数η及αi,βj(i∈I,j∈M),使得对任意的x∈X,有:

则称(f,g)在u∈X处关于η 是V-r-Ⅰ型不变凸的.

定义7 如果存在函数η及νi,ωj(i∈I,j∈M),使得对任意的x∈X,有:

则称(f,g)在u∈X 处关于η 是(伪,拟)V-r-Ⅰ型不变凸的.

若当x≠u时,式(7),(9)中第二个不等号严格成立,则称(f,g)在u∈X处关于η是(严伪,拟)V-r-Ⅰ型不变凸的;若当x≠u时,式(8),(10)中第二个不等号严格成立,则称(f,g)在u∈X处关于η是(伪,严拟)V-r-Ⅰ型不变凸的.

定义8 如果存在函数η及νi,ωj(i∈I,j∈M),使得对任意的x∈X,有:

则称(f,g)在u∈X 处关于η 是(拟,伪)V-r-Ⅰ型不变凸的.

若当x≠u时,式(12),(14)中第二个不等号严格成立,则称(f,g)在u∈X处关于η是(拟,严伪)V-r-Ⅰ型不变凸的;若当x≠u时,式(11),(13)中第二个不等号严格成立,则称(f,g)在u∈X 处关于η 是(严拟,伪)V-r-Ⅰ型不变凸的.

2 最优性条件

且下列条件之一成立:

由条件1)得

又由条件1)得

式(16)+式(17)得

根据次微分的运算性质[14],得

2)的证明类似1).由条件2),式(16)中<0换为≤0,式(17)中≤0换为<0,仍可得到式(18),结论成立.

由条件1)或条件2)均能得式(16)成立.其余证明与定理1类似.

3 混合型对偶

考虑(VP)的对偶问题(VD):

定理3(弱对偶)设x,(y,μ,λ)分别为(VP)和(VD)的可行解,如果下列条件之一成立:

又因为

由条件1)及次微分的运算性质[14],得

因为(y,μ,λ)为(VD)的可行解,有-λjgj(y)≤0,j∈J2.从而

由条件1)及次微分的运算性质[14],得

式(21)+式(23)得

2)的证明类似1).

定理4(弱对偶)设x,(y,μ,λ)分别为(VP)和(VD)的可行解,如果下列条件之一成立:

由条件1)及次微分的运算性质[14]知式(21)成立.其余证明与定理3类似.

与式(20)矛盾.

2)的证明类似1).

[1]Hanson M A.On Sufficiency of the Kuhn-Tucker Conditions [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1981,80(2):545-550.

[2]Hanson M A,Mond B.Necessary and Sufficient Conditions in Constrained Optimization [J].Mathematical Programming,1987,37(1):51-58.

[3]Kaul R N,Suneja S K,Srivastava M K.Optimality Criteria and Duality in Multiple-objective Optimization Involving Generalized Invexity[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1994,80(3):465-482.

[4]Aghezzaf B,Hachimi M.Generalized Invexity and Duality in Multiobjective Programming Problems[J].Journal of Global Optimization,2000,18(1):91-101.

[5]Hanson M A,Pini R,Singh C.Multiobjective Programming under Generalized TypeⅠInvexity[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2001,261(2):562-577.

[6]Mishra S K,Noor M A.Some Nondifferentiale Multiobjective Programming Problems [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006,316(2):472-482.

[7]Antczak T.Optimality Conditions and Duality for Nondifferentiale Multiobjective Programming Problems Involving d-r-Type Ⅰ Functions [J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,225(1):236-250.

[8]Slimani H,Radjef M S.Nondifferentiable Multiobjective Programming under Generalized dⅠ-Invexity [J].European Journal of Operational Research,2010,202(1):32-41.

[9]Jeyakumar V, Mond B.On Generalized Convex Mathematical Programming [J].Journal of Australian Mathematical Society:Series B,1992,34(1):43-53.

[10]Antczak T.V-r-Invexity in Multiobjective Programming[J].Journal of Applied Analysis,2005,11(1):63-80.

[11]Antczak T.r-Pre-invexity and r-Invexity in Mathematical Programming [J].Computer and Mathematics with Applications,2005,50(4):551-566.

[12]Antczak T.Optimality and Duality for Nonsmooth Multiobjective Programming Problems with V-r-Invexity [J].Journal of Global Optimization,2009,45(2):319-334.

[13]Ahmad I,Gupta S K,Jayswal A.On Sufficiency and Duality for Nonsmooth Multiobjective Programming Problems Involving Generalized V-r-Invex Functions[J].Nonlinear Analysis,2011,74(17):5920-5928.

[14]Clarke F H.Nonsmooth Optimization[M].New York:Wiley,1983.

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