李树臣

《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标2011年版》）在“课程基本理念”中指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”为更好的体现上述要求，充分发挥学生学习的积极性，引发他们的数学思考，教师应以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，精心设计问题系列，引导学生积极主动的进行探究活动，在探究的过程中理解和掌握基本的数学知识与技能，体验和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验.为帮助教师在课堂教学中指导学生有效的进行探究活动，笔者在本文谈两个问题：

1 数学探究活动的三种基本形式

数学探究是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以解决问题为探究内容，以学生能主动发现问题、提出问题、分析问题、解决问题为目的的学习活动.数学学习本身就是一个师生共同探究的过程，数学探究活动的主体是学生，从这个意义上讲，学生的探究活动可分为三种基本形式：

1.1 独立探究

独立探究是指学生个体对所探究的问题进行独立思考与探究，是探究活动的最基本活动形式.教学中对于一些较为简单的数学基础知识，我们可以通过创设一定的问题情境，引导学生独立思考与探究，在独立探究的过程中自主发现有关知识，完成对基础知识的学习.

案例1 “二元一次方程”的建立过程.

在“二元一次方程”概念的建立过程中，笔者是分三步引导学生进行独立探究活动的：

第一步，创设问题情境：

雄伟的长城是中华民族的象征.据有关资料，长城西起嘉峪关，东至辽东虎山，全长约7300千米，其中西段从嘉峪关到山海关，东段从山海关到辽东虎山，西段比东段长约6100千米.长城的东、西段各长约多少千米？

第二步，提出以下四个小问题引导学生进行思考与探究：

（1）哪些量是已知量？哪些量是未知量？

（2）有哪些等量关系？

（3）你能列一元一次方程来解这个问题吗？

（4）在这个问题中有两个未知数.如果设长城东段的长为x千米，西段的长为y千米，那么长城的全长可以用含有未知数x，y的代数式表示为 ；西段比东段长 .

学生在思考第（4）个问题时，很容易得到下面的两个方程：

第三步，观察上面两个方程有什么特点？

学生可能会说出这两个方程的一些特点，教师对其共同特点进行概括描述，直至概括出它们的本质特点——含有两个未知数，并且每个未知数的次数都是1.随之给出二元一次方程的定义.

学生在思考、解答以上三个问题的同时，就经历了“二元一次方程”的建立过程，认识到二元一次方程这个概念是在解决实际问题的过程中产生的.这样设计有利于帮助学生形成“数学来源于生活又服务于生活”的应用意识，也有利于模型思想的形成.

1.2 合作探究

合作探究是在合作学习的前提下进行的，是指学习小组内学生之间对探究问题共同进行探究活动，合作探究一般是在学生已经经过独立探究，但探究的问题仍得不到很好解决的前提下所采取的一种探究活动方式.

案例2 探究多边形的内角和.

在探究多边形的内角和时，可通过下面的三个步骤引导学生进行合作探究活动：

（1）我们可先让各小组内的每一个学生针对图1中的多边形，自己独立思考、自主添加辅助线，推导n边形的内角和公式.

（2）当每个同学都用自己的方法求出n边形的内角和后，再让每个学生在本小组内交流各自的添加辅助线的方法，进而相互比较、分享他人的成果.

（3）全班合作，共同概括.虽然添加辅助线的方法不同（如图2），但本质都是通过添加辅助线分割多边形，把多边形内角和的问题，转化为三角形内角和的问题.无论按照哪种分割法去计算，其结果都是一样的.学生最后通过计算、交流、归纳、发现将得到一个重要结论：n边形的内角和为（n-2）·180°.

本案例既含有独立探究，又有合作探究.（1）是独立探究.学生对图1可能会有不同的分割方法，并且针对自己的分割方法推导出n边形的内角和计算公式来.（2）（3）是合作探究.在学生独立探究问题（1）的基础上，学生会发现，分割方法虽然不同，但都能得到相同的结果，这个结果都是在自己分割图形的特殊情境下得到的，是否具有共性？需要继续探究.学生通过相互交流自己的探究过程，发现尽管添加辅助线的方法不一样，但结果是相同的.

1.3 引导探究

引导探究是在教师引导下学生对问题进行的研究，引导探究一般是在学生已经经过独立探究和合作探究，但绝大多数学生对所探究的问题仍感到无能为力或束手无策时所采取的一种探究方式.引导探究活动方式是在学生独立探究与合作探究的基础上进行的.

案例3 确定圆的条件的探究过程.

对于“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，可用引导探究的方式得到：

（1）在纸上作出一个点A，经过点A作圆.你能作出多少个？

（2）在纸上作出两个点A与B，经过点A，B作圆.你能作出多少个？这些圆的圆心在哪里？

（3）在纸上作出三个点A，B，C.如果A，B，C三点不在同一直线上，那么经过这三点能作出一个圆吗？如果能，怎样作出经过这三点的圆？经过这三点的圆的圆心在哪里？经过这三点可以作出多少个圆？

说明 问题（1）（2）学生都能通过自己的探究得到解答：经过一个点可以作出无数个圆（如图3）；经过两个点可以作出无数个圆（如图4所示），这些圆的圆心在同一条直线上，如图4中的虚线所在的直线.这条直线就是过已知两点构成的线段的垂直平分线，发现这一点非常重要，为解决问题（3）做了铺垫.endprint

学生在探究第（3）个问题时，可能有一定的困难，教师可用下面的问题引导学生探究：

2 探究性问题的主要类型

引导学生进行探究活动的关键是在学生的“最近发展区”内精心设计用于探究的问题，这种问题能在学生学习的内容和他们的求知心理间产生一种认知矛盾.实践证明，在数学课堂用于学生探究的问题主要有以下几类：

2.1 基础知识类

这里的基础知识泛指教材中的数学公式、法则、性质、定理及公理等.对于这些知识，我们可以围绕具体的知识点，按照《课标2011年版》倡导的“问题情境—建立模型—求解验证”的模式，精心设计问题，让学生在观察、实验、思考、猜想、验证、推理与交流等数学活动中，经历这些知识的发生、发展及形成过程，完成对数学知识的学习.

前面的三个案例都属于这方面的探究活动.

2.2 规律类

探究数学问题的规律，对于培养学生的推理能力和创新意识都是非常有益的，也是学生感到比较困难的.这种问题一般都以问题串的形式出现，学生通过对特殊情况或简单情况的研究，思维得到启迪，从而发现数学问题的一般规律.

案例4 阴影部分的面积是多少？（2014年江苏盐城卷）

点评 本题属于探究规律型问题，主要考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影Sn所在的正方形和正方形的边长.

2.3 解题思路类

在解（证）题教学中，大多数教师只按照成熟的思路进行，没有把重点放在引导学生对解（证）题思路和方法的猜测过程和尝试过程上，导致学生无从下手，给学生造成老师“添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，但一做题就错（或不会）”的现象.为改变这一现象，我们在解（证）题教学时，一定要引导学生搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，弄清抽象、概括的过程是关键，让学生做到既知其然，又知其所以然.

案例5 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明思路的探究过程.

对于这个判定方法，教师在引导学生学习时，不可直接证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再证明.让学生发现的方法有许多，为突出数学直观性，培养学生的动手能力，建议让学生通过实验探究得到.

（1）如图8，任意画一个∠B，在∠B的两边上分别任取两点A，C.

（2）以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，BA的长为半径画弧，记两弧的交点为D，连接AD，CD.

（3）观察四边形ABCD的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己的结论；

（4）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论.

类似这样的问题来自于课本知识与现实生活的结合，对于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力有积极的教育教学价值.进行问题解决教学，既是对教师教学观念和教学能力的挑战，也是培养学生创造精神和实践能力的重要途径.

荷兰数学教育家弗赖登塔尔也指出：“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西，自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”美籍匈牙利数学家波利亚也说：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.”因此，我们数学教师，应对教材中将要学习的内容，进行创造性的加工处理，结合学生的学习实际，在学生的“最近发展区”内设计成引导学生去探究的问题，课堂上按照“独立探究——合作探究——引导探究”的顺序确定探究方式，让学生在探究的过程中完成对有关知识的学习和应用.endprint

学生在探究第（3）个问题时，可能有一定的困难，教师可用下面的问题引导学生探究：

2 探究性问题的主要类型

引导学生进行探究活动的关键是在学生的“最近发展区”内精心设计用于探究的问题，这种问题能在学生学习的内容和他们的求知心理间产生一种认知矛盾.实践证明，在数学课堂用于学生探究的问题主要有以下几类：

2.1 基础知识类

这里的基础知识泛指教材中的数学公式、法则、性质、定理及公理等.对于这些知识，我们可以围绕具体的知识点，按照《课标2011年版》倡导的“问题情境—建立模型—求解验证”的模式，精心设计问题，让学生在观察、实验、思考、猜想、验证、推理与交流等数学活动中，经历这些知识的发生、发展及形成过程，完成对数学知识的学习.

前面的三个案例都属于这方面的探究活动.

2.2 规律类

探究数学问题的规律，对于培养学生的推理能力和创新意识都是非常有益的，也是学生感到比较困难的.这种问题一般都以问题串的形式出现，学生通过对特殊情况或简单情况的研究，思维得到启迪，从而发现数学问题的一般规律.

案例4 阴影部分的面积是多少？（2014年江苏盐城卷）

点评 本题属于探究规律型问题，主要考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影Sn所在的正方形和正方形的边长.

2.3 解题思路类

在解（证）题教学中，大多数教师只按照成熟的思路进行，没有把重点放在引导学生对解（证）题思路和方法的猜测过程和尝试过程上，导致学生无从下手，给学生造成老师“添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，但一做题就错（或不会）”的现象.为改变这一现象，我们在解（证）题教学时，一定要引导学生搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，弄清抽象、概括的过程是关键，让学生做到既知其然，又知其所以然.

案例5 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明思路的探究过程.

对于这个判定方法，教师在引导学生学习时，不可直接证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再证明.让学生发现的方法有许多，为突出数学直观性，培养学生的动手能力，建议让学生通过实验探究得到.

（1）如图8，任意画一个∠B，在∠B的两边上分别任取两点A，C.

（2）以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，BA的长为半径画弧，记两弧的交点为D，连接AD，CD.

（3）观察四边形ABCD的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己的结论；

（4）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论.

类似这样的问题来自于课本知识与现实生活的结合，对于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力有积极的教育教学价值.进行问题解决教学，既是对教师教学观念和教学能力的挑战，也是培养学生创造精神和实践能力的重要途径.

荷兰数学教育家弗赖登塔尔也指出：“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西，自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”美籍匈牙利数学家波利亚也说：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.”因此，我们数学教师，应对教材中将要学习的内容，进行创造性的加工处理，结合学生的学习实际，在学生的“最近发展区”内设计成引导学生去探究的问题，课堂上按照“独立探究——合作探究——引导探究”的顺序确定探究方式，让学生在探究的过程中完成对有关知识的学习和应用.endprint

学生在探究第（3）个问题时，可能有一定的困难，教师可用下面的问题引导学生探究：

2 探究性问题的主要类型

引导学生进行探究活动的关键是在学生的“最近发展区”内精心设计用于探究的问题，这种问题能在学生学习的内容和他们的求知心理间产生一种认知矛盾.实践证明，在数学课堂用于学生探究的问题主要有以下几类：

2.1 基础知识类

这里的基础知识泛指教材中的数学公式、法则、性质、定理及公理等.对于这些知识，我们可以围绕具体的知识点，按照《课标2011年版》倡导的“问题情境—建立模型—求解验证”的模式，精心设计问题，让学生在观察、实验、思考、猜想、验证、推理与交流等数学活动中，经历这些知识的发生、发展及形成过程，完成对数学知识的学习.

前面的三个案例都属于这方面的探究活动.

2.2 规律类

探究数学问题的规律，对于培养学生的推理能力和创新意识都是非常有益的，也是学生感到比较困难的.这种问题一般都以问题串的形式出现，学生通过对特殊情况或简单情况的研究，思维得到启迪，从而发现数学问题的一般规律.

案例4 阴影部分的面积是多少？（2014年江苏盐城卷）

点评 本题属于探究规律型问题，主要考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影Sn所在的正方形和正方形的边长.

2.3 解题思路类

在解（证）题教学中，大多数教师只按照成熟的思路进行，没有把重点放在引导学生对解（证）题思路和方法的猜测过程和尝试过程上，导致学生无从下手，给学生造成老师“添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，但一做题就错（或不会）”的现象.为改变这一现象，我们在解（证）题教学时，一定要引导学生搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，弄清抽象、概括的过程是关键，让学生做到既知其然，又知其所以然.

案例5 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明思路的探究过程.

对于这个判定方法，教师在引导学生学习时，不可直接证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再证明.让学生发现的方法有许多，为突出数学直观性，培养学生的动手能力，建议让学生通过实验探究得到.

（1）如图8，任意画一个∠B，在∠B的两边上分别任取两点A，C.

（2）以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，BA的长为半径画弧，记两弧的交点为D，连接AD，CD.

（3）观察四边形ABCD的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己的结论；

（4）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论.

类似这样的问题来自于课本知识与现实生活的结合，对于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力有积极的教育教学价值.进行问题解决教学，既是对教师教学观念和教学能力的挑战，也是培养学生创造精神和实践能力的重要途径.

荷兰数学教育家弗赖登塔尔也指出：“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西，自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”美籍匈牙利数学家波利亚也说：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.”因此，我们数学教师，应对教材中将要学习的内容，进行创造性的加工处理，结合学生的学习实际，在学生的“最近发展区”内设计成引导学生去探究的问题，课堂上按照“独立探究——合作探究——引导探究”的顺序确定探究方式，让学生在探究的过程中完成对有关知识的学习和应用.endprint