徐健旭

《中学数学杂志》2014年第6期刊载了黄栋老师《线段旋转的面积问题》一文，以下简称文[1]，讨论了线段绕点旋转所扫过的图形的面积问题，通读文章后笔者觉得作者对于“旋转中心在线段外”的情况的讨论在图形和解题策略方面似乎存在一些疏漏，值得商榷.现将对该问题的商榷与探讨梳理成文，以期与各位同仁进行探讨、交流.1 问题的简要回顾

文[1]将一条线段绕某点旋转问题分三类：第一类，旋转中心为线段端点；第二类，旋转中心在线段上；第三类，旋转中心在线段外.其中，第三类又可以分为以下两类：第一类，到旋转中心最近的点为该线段的一个端点；第二类，到旋转中心最近的点不是线段的端点.对于最后一种情况的讨论作者认为应分以下几种情形，如图1，2，3，4.

文[1]中给出的求图1、图5中的线段扫过部分面积的方法都需要借助于求一个非常规图形（见图6中的空白区域B′DE）.笔者考虑这一图形对学生来说太过生疏、突兀，因此教学意义与实用性都不大，故退而求其次地去考察与其能够组成一对对顶角的另一非常规图形（见图6中的阴影区域CEE′）.事实上，这个图形学生并不感到陌生，能被大多数初三学生迅速识别和掌握，甚至可以说有种天然的亲近感.如图8，易见这是个特殊的筝形，说其特殊就在于它有两个直角.我们对图8进一步联想开去，那么估计大多学生很快会想到PD与PD′是过圆外一点P所作的两条切线；反之，OD与OD′也是⊙P的两条切线；连接PO后还可能会想起角平分线定理及逆定理，连接DD′后成为两个等腰三角形等等大量丰富的几何元素.

笔者以为关于这样的基本图形还有许多，说一千道一万，我们还是要在平时教学中抓住那些基本图形的一图多法、一图多题、一图多用的教学，使学生懂得这些基本图形就犹如那一张张藏宝图一样，能够引领我们去更好的发掘出几何花园中的珍宝.

参考文献

[1]黄栋.线段旋转的面积问题[J].中学数学杂志，2014，（6）：49-50.