高晓勤 沈小林

【摘要】单级倒立摆控制是一个即复杂而又对准确性、快速性要求很高的非线性不稳定系统控制问题。单级倒立摆数学模型的建立对研究其稳定性具有指导作用。针对多变量、非线性、强耦合性的倒立摆系统，运用牛顿动力学方法建立其动力学方程，并进行线性化处理，得到状态空间模型。然后对该模型分别进行LQR控制，在MATLAB环境下进行仿真。实验结果表明，二次型最优控制具有良好的响应性能和算法简单等特点，在实际应用中具有重要意义。

【关键词】单级倒立摆;线性二次型;最优控制;MATLAB

pplication of LQR in Single Inverted Pendulum System

Gao Xiaoqin，Shen Xiaolin

（School of Computer and Control Engineering，North University of China，Taiyuan 030051，China）

Abstract：Single-stage inverted pendulum control is a nonlinear and unstable system control problem that is complicated and of high  accuracy and rapidity remands.The mathematical model of single stage inverted pendulum have guidance to study its stability.For multi-variable，nonlinear，strong coupling  inverted pendulum system，using Newtonian dynamics method to establish the dynamic equation，and linearization processing to get the state space model.Then using LQR control the model of respectively，under the environment of MATLAB simulation.The experimental results show that quadratic optimal control has the characteristics of good response performance and the algorithm is simple，it is of great significance in practical application.

Keywords：ingle Inverted Pendulum;LQR;optimum control;MATLAB

1.引言

单级倒立摆是一种典型的多变量、非线性、强耦合的不稳定系统，对它的研究可归结为对多变量非线性系统的研究，具有一定的理论价值[1]。从工程应用上讲，卫星的姿态控制、机器人的关节运动控制和起重机械的稳钩装置等都和倒立摆模型有相似之处[2]。所以，对倒立摆系统的控制研究具有重要的工程背景和实际意义。

2.单级倒立摆系统的数学模型

2.1 一级倒立摆的数学模型

利用牛顿-欧拉分析方法来对直线型倒立摆系统进行数学建模[3]。

为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将单级倒立摆系统抽象成小车与摆杆构成系统，如图2-1所示。

图2-1 直线倒立摆系统的抽象图

我们不妨做以下假设：

小车的质量M;均匀杆的质量m;小车的摩擦系数b;均匀杆的质心到杆轴心长度l;均匀杆的惯量I;均匀杆与垂直向上方向夹角φ;均匀杆与垂直向下方向夹角（考虑摆杆初始位置为竖直向下）θ。……