高丰平

综观近三年山东高考解析几何问题都与切线相关，其中椭圆、抛物线及圆都有涉及，或需求出切线方程，或利用给出的切线方程求解，值得仔细研究和欣赏.如果使用“四线一方程”来写出切线方程求解，则会更加简洁明快.

求过曲线上一点P（x0，y0）的切线方程，常可以用“四线”一方程得到，即：对于一般的二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，用x0x代x2，用y0y代y2，用x0y+xy02代xy，用x0+x2代x，用y0+y2代y即得方程Ax0x+B·x0y+xy02+Cy0y+D·x0+x2+E·y0+y2+F=0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.

如：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点P（x0，y0）处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.

双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一点P（x0，y0）处的切线方程是x0xa2-y0yb2=1.

抛物线y2=2px（p>0）上一点P（x0，y0）处的切线方程是y0y=p（x+x0）.

例1（2014年山东高考理科21题）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有FA=FD，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，

（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

解（Ⅰ）由题意知Fp2，0.设D（t，0）（t>0），则FD的中点为p+2t4，0.因为FA=FD，

由抛物线的第二定义知3+p2=t-p2，解得t=3+p或t=-3（舍去）.

由p+2t4=3，解得p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.

图1

（Ⅱ）证明（ⅰ）如图1，由（Ⅰ）知F（1，0）.设A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD，0）（xD>0），因为FA=FD，则|xD-1|=x0+1.由xD>0得xD=x0+2，故D（x0+2，0），故直线AB的斜率kAB=-y02.设E（x1，y1），由“四线”一方程得切线线l1的方程为yy1=4·x1+x2=2（x1+x），由l1∥l则kAB=-y02=kl1=2y1，得y1=-4y0，x1=4y20.

当y20≠4时，kAE=yE-y0xE-x0=-4y0+y04y20-y204=4y0y20-4，可得直线AE的方程为y-y0=4y0y20-4（x-x0），由y20=4x0，整理可得y=4y0y20-4（x-1），直线AE恒过点F（1，0）.当y20=4时，直线AE的方程为x=1，过点F（1，0）.所以直线AE恒过点F（1，0）.

解（ⅱ）如图1，由（ⅰ）知，直线AE恒过点F（1，0），所以

|AE|=|AF|+|FE|=（x0+1）+1x0+1=x0+1x0+2.设直线AE的方程为x=my+1，因为点A（x0，y0）在直线AE上，故m=x0-1y0.设B（x1，y1），直线AB的方程为y-y0=-y02（x-x0），由于y0≠0，可得x=-2y0y+2+x0，代入抛物线方程得y2+8y0y-8-4x0=0.可求得y0+y1=-8y0，所以y1=-y0-8y0，x1=4x0+x0+4.所以点B到直线AE的距离为d=|4x0+x0+4+m（y0+8y0）-1|1+m2=4（x0+1）x0=4（x0+1x0）.则△ABE的……