李世臣+张素勤

人教版八年级数学课本在分式加减单元之后的阅读与思考栏目安排了《容器中的水能倒完吗》的典型素材，教材这样设计的目的在于渗透建模思想：即对于一些通过实验难以探寻答案的问题，可以排除操作因素，不计干扰变量，将实际问题抽象为数学模型加以解决，从而凸显依靠数学方法分析问题的优越性.然而，该素材同时还给我们启示：当遇到的数学问题晦涩难懂时，可以构建贴近学生生活实际的实验模型，将数学问题生活化、可视化、操作化、趣味化，让学生借助已有的生活经验很容易体会其中的代数式之间的等量关系，进而深化对数学问题本质的认识.受该素材的启发，笔者对等差数列、等比数列及其生成的数列前n项求和问题进行了探究，构建了两个具有一般意义的实验模型.即使对于不会进行数学推导的小学生，也能轻而易举利用模型对结果进行正确的判断.

1等比数列问题

正数等比数列{an}，首项为a1，公比为q（q≠1），则数列{an}的前n项和为

a1+a2+a3+…+an=a1-an+11-q.

实验模型一个装有a11-q升水的容器，

第1次倒出a11-q×（1-q）=a1升水，剩余a11-q×q=a1q1-q=a21-q升水；

第2次倒出a21-q×（1-q）=a2升水，剩余a21-q×q=a2q1-q=a31-q升水；

第3次倒出a31-q×（1-q）=a3升水，剩余a31-q×q=a3q1-q=a41-q升水；

……

第n次倒出an1-q×（1-q）=an升水，剩余an1-q×q=anq1-q=an+11-q升水.

容易发现，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即an=an1-q-an+11-q.而前n次倒出的水量和等于原有总水量减去最后剩余的水量，即a1+a2+a3+…+an=a11-q-an+11-q.

有了以上发现我们很容易得到等比数列前n项求和的一种化简方法：

a1+a2+a3+…+an

=a11-q-a21-q+a21-q-a31-q+a31-q-a41-q+…+an1-q-an+11-q

=a11-q-an+11-q=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.

例1求23+232+233+…+23n的值.

解析由实验模型已知a1=q=23，1-q=13，a11-q=2.