黄丽生+朱信富

题目对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大时，3a-4b+5c的最小值为.

本题虽是一道填空题，却别有洞天，考查了函数与方程、不等式的综合应用等知识.试题设计新颖，区分度高，学生普遍感到难以下手.因为从条件来看，它包含两部分，一个多元方程及一个绝对值问题，考生很难发现到底考的是哪一块知识.本题实质上是根据|2a+b|最大时所满足的条件，把一个三元函数一元化，这是处理多元函数的常规方法，关键是怎么找到满足的条件.可见，试题“暗藏”着一定的潜在价值，需要我们去探索发现，做一番研究.

视角一不等式法

思路1（运用向量）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得34a2+3b2-2a+b2=2c①，令m=（2a，3b），n=（1，33），由m·n2≤m2·n2，得2a+b2≤4a2+3b21+13②，即2c≥542a+b2，所以2a+bmax=85c，当且仅当m，n共线，即2a=3b时，等号成立，将2a=3b带入条件：4a2-2ab+4b2-c=0，得c=10b2，于是3a-4b+5c可转化为b的函数，即3a-4b+5c=121b-22-2≥-2，所以当b=12时，3a-4b+5c的最小值为-2，此时a=34，c=52.

点评对条件方程的变形有很多种，比如，将条件转化成34a2+3b2-2a+b2=2c，下一步该怎么走，应该有一个目标才行，要寻找|2a+b|最大值，需要建立4a2+3b2与2a+b2的不等关系，此时可以考虑使用向量中的不等式来建立，等号成立的条件，恰好是m，n共线，即2a=3b时，下面的问题就简单了.可见，抓住问题的关键，才能产生一个优美、漂亮的解法.

思路2（运用柯西不等式）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+5332b2，由柯西不等式，得

2a-b22+533b221+35≥

2a-b2+32b2=2a+b2，所以2a+bmax=85c，当且仅当2a-b23b2=53时，等号成立，此时2a=3b，下同解法1.

点评柯西不等式是人教A版选修45中的内容，运用二维柯西不等式，通常可以迅速证明不等式或建立一些不等关系.比如本题配方后，下一步怎么办？c=2a-b22+5332b2，这种平方和的形式，结构上是否可以使用柯西不等式，实现“等”与“不等”的转化？以……