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在日常生活和生产技术中，我们常常会遇到一些最佳选址的问题.对于此类问题，同学们往往是望而生畏，不知从何入手.此时如果能够灵活运用解析几何知识，最佳选址还是容易确定的.下面举例分析，希望对同学们能够有所启迪.

1利用直线确定最佳选址

例1如图1所示，两个生物制药厂A、B座落于通江运河河岸的同侧，工厂A、B距离河岸分别为4km、2km，它们之间的距离为6km.现要在运河的工厂这侧选一点C，拟在该处建一个货物运输中转站，并建造直线输送带分别到两个工厂和河岸，使得直线输送带的总长最小，如图2建立直角坐标系.

（1）如果要求货物传输中转站C距离河岸为akm（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长s最小，并给出s关于a的表达式.

（2）在0≤a≤2的范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求出这个最小值.

图1图2

解析（1）如图2所示，作直线l：y=a（0≤a≤2），作B点关于直线l的对称点B′，连AB′交直线l于D点，D点即为最佳选址点.

因为直线输送带总长s=a+AC+CB=a+AC+CB′≥AB′+a.

根据题意可知A（0，4）、B（42，2）、B′（42，2a–2），则直线输送带总长最小为：

s=a+AB′=

a+（42-0）2+（2a-2-4）2=

a+4a2-24a+68.①

此时C点取在D点处，因直线AB′的方程为：

y-4=4-（2a-2）0-42x.②

直线l的方程为：y=a.③

联立②、③可求出D点坐标（22+223-a，a），故当C点坐标为（22+223-a，a）时，直线输送带总长最小为：

s=a+4a2-24a+68.

（2）当a是不定值时，由①两边平方，得

3a2+（2s–24）a+68–s2=0.④

因a是实数，所以方程④的判别式Δ=（2s–24）2–4×3（68–s2）≥0，即s2–6s–15≥0，解之得：s≤3-26或s≥3+26.因s≥0，则s≤3-26<0，不合题意，所以s≥3+26.

此时由④可得：a=24-2s2×3=9-263，又0<9-263<2，所以a=9-263符合题意，据此可知直线输送带的总长最小为s=3+26（km）.

评注对于此类最佳选址问题，根据对称性原理容易确定：当两定点在某直线同侧时，可在直线上求一点，使其到两定点的距离之和最小；……