甘志国+戴桂斌

1凸函数的定义及性质

凸函数的定义当x∈区间I时，若函数f（x）满足f″（x）≤（≥）0恒成立且f″（x）=0的解集是孤立的点集，即f′（x）是减（增）函数，则f（x）是I上的上（下）凸函数.

例如，f（x）=xα（0<α<1，x>0），g（x）=logax（a>1，x>0），h（x）=sinx（0≤x≤π）都是上凸函数.

凸函数的性质1函数f（x）是区间I上的上凸函数函数-f（x）是区间I上的下凸函数.

凸函数的性质2（琴生不等式）若函数f（x）是区间I上的上（下）凸函数，则x1，x2，…，xn∈I（n≥2），总有f1n∑ni=1xi≥（≤）1n∑ni=1f（xi），当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.

2与凸函数有关的一类多元函数条件最值

定理1若f（x）是闭区间[a，b]上的上凸函数，变量x1，x2，…，xn∈[a，b]（n≥2），且x1+x2+…+xn=定值s（有na≤s≤nb），则

（1）∑ni=1f（xi）≤nfsn，当且仅当x1=x2=…=xn=sn时取等号.

（2）∑ni=1f（xi）≥nb-sb-af（a）+n-1-nb-sb-af（b）+fs-nb-sb-aa-n-1-nb-sb-ab

（nb-sb-a表示不超过nb-sb-a的最大整数，下同），当且仅当x1，x2，…，xn中有（请注意这里的“有”并不是“有且仅有”的意思，而是“至少有”的意思，下同）n-1个取a或b时取等号，具体的情形是：

①当nb-sb-aN时，当且仅当x1，x2，…，xn中有nb-sb-a个取a，n-1-nb-sb-a个取b，1个取s-nb-sb-aa-n-1-nb-sb-ab时取等号；

②当nb-sb-a∈N时，当且仅当x1，x2，…，xn中有nb-sb-a个取a，n-nb-sb-a个取b时取等号.

定理2若f（x）是闭区间[a，b]上的下凸函数，变量x1，x2，…，xn∈[a，b]（n≥2），且x1+x2+…+xn=定值s（有na≤s≤nb），则

（1）∑ni=1f（xi）≥nfsn，当且仅当x1=x2=…=xn=sn时取等号.

（2）∑ni=1f（xi）≤nb-sb-af（a）+n-1-nb-sb-af（b）+fs-nb-sb-aa-n-1-nb-sb-ab，当且仅当x1，x2，…，xn中有n-1个取a或b时取等号，具体的情形与定理1（2）相同.

由凸函数的性质2立得定理1（1），由凸函数的性质1及定理1立得定理2，所以下面只需证明定理1（2）.

定理1（2）的证明当s=na时，得x1=x2=…=xn=a，可得欲证成立；当s=nb时，得x1=x2=…=xn=b，也可得欲证成立.下面再证当na

先用数学归纳法证明：

若f（x）是[a，b]上的上凸函数，变量x1，x2，…，xn∈[a，b]（n≥2），且x1+x2+…+xn=定值s（na

先证n=2时成立，即证：

若f（x）是[a，b]上的上凸函数，变量x1，x2满足x1，x2∈[a，b]且x1+x2=定值s（2a

设L（x1，x2，λ）=f（x1）+f（x2）+λ（x1+x2-s），

由拉格朗日乘数法知，函数f（x1）+f（x2）的最小值点（x*1，x*2）在所给区域的边界上或满足f′（x*1）=f′（x*2）=-λ，

x*1+x*2=s.

对于后者，由f′（x）是[a，b]上的减函数，得x*1=x*2=s2，所以得最小值点（x*1，x*2）=s2，s2.而由定理1（1）知，函数f（x1）+f（x2）的最大值点是s2，s2，所以函数f（x1）+f（x2）即f（x1）+f（s-x1）的值域是单元素集.可得x1能在某个区间上取值，所以0=（f（x1）+f（s-x1））′=f′（x1）-f′（s-x1），f′（x1）=f′（s-x1），x1=s-x1，x1=s2，这与“x1能在某个区间上取值”矛盾！……