任兆刚

数学作为自然学科中的基础学科，它的计算功能是至关重要的，《普通高中数学课程标准》对运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的计算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计算.而从现在学生的学习状况看，计算令人堪忧！很多学生在看了错误之后讲得最多的是：又算错了.但并没有很好地分析原因，同时也没有采取有效的措施来减少计算错误对解题的影响.在高中阶段的学习中，学生的批判思维尚未形成，纠错能力不强，需要老师更有针对性地对学生错误进行剖析，采取切实有效的办法合理地引导，让学生积极地比较和思考，以提高计算的准确性.下面就教学中具体的问题谈谈自己对学生计算错误的原因分析及一些想法.

一、缺少对解题策略的比较和选择

问题已知函数f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若对于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是.

解法1令t=x+1，则f（x）=g（t）=t+12-at +a-2，t∈[2，+∞），t∈N*，

求使得g（t）min≥3中a的范围.但在求g（t）min时，陷入了无法进行下去的困扰和烦恼.

解法2转化成x2+（a-3）x+8≥0，根据二次函数的图象分类讨论.此时遇到了像解法1中的问题.

解法3变量分离a≥-x-83+3，由x∈N*，结合g（x）=-x- 83+3的图象很快得出a≥- 83，比较轻松.

相关链接：

（1）若函数f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值为33，则a的值为.

（2）若函数f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值为24，则a的值为.

归纳分式形式y=x+ax在a>0和a<0的值域.定义域[1，+∞）对值域的影响是什么？x∈N*对值域的影响是什么？解法1的困难在哪里？解法2要讨论哪些内容？引导学生多思考，多比较，多归纳，形成一种数学.

你能否进行编题反映上述变化对题目的影响？

建议加强对一个错误题目的认识的思维导图，把它涉及到的知识，涉及的解决方法都全面归纳和思考.从不同的角度认识问题，并比较每种解法的优劣，思考在何种情况下采取何种变形，避免会解解不对，会解来不及解的无奈.

二、缺少对概念的本原性的认识

问题已知向量a，b的 夹角为120°，且|a|=3，|b|=1，则|a-2b|=.

看似简单的一个题目，部分学生的主要错误表现为：结果忘记开方，或者在完全平方时中间项的符号出现错误.

反思为什么会少根号，仅仅是因为粗心吗？为什么会算错？要透过现象看清本质.先来看看向量的模的概念，向量的数量积与向量的模之间的关系的不同角度的理解，基底向量表示的依据等等，为何经常选用 i和j作为基底向量.向量的模即向量的长度.提到长度首先考虑到两点间的距离公式，故而当a=（x，y）时，

|a|=x2+y2，建立相应直角坐标系，使得a=（3，0），2b=（-1，3），则a-2b=（4，-3），从而简单得到最后结果.另一方面，我们经常从向量的数量积的角度a2=|a|2来展开运算，运算的过程中涉及到乘法公式，向量的数量积的计算，再开方，多了步骤，多了出错的机会.

再看平面向量基本定理中呈现的平面上任一向量都可以选择不同的不共线的两个向量作为基底向量，并用它们线性表示.在众多的选择中，如何选择简单的基底向量.课本实际上做了很好的引导作用.本题中实际是把所求的向量用基底a和b线性表示，而用坐标时恰恰把它转化成i和j作为基底向量，简单、明了.

我们一味在抱怨学生粗心出错，计算出错，恰恰在最本质的概念的源头上下的功夫少了，像练武之人所强调的扎实的基本功，下盘要稳，蹲马步要练好长时间.而现在的教学有点急于求成，让学生记忆的成分多，让学生思考的时间太少，让学生去领悟、感受、亲历知识的生成过程的机会太少.

反思学生对基本的问题出错的根本原因在于对最基本概念的理解没有抓住其本质，导致理解时出现偏差，计算当然就会走弯路，最后结果呈现错误.

建议老师在概念课的教学时，一定要舍得花时间去研究它，让学生在第一次接受新的知识时从本质上去把握它，避免炒夹生饭的现象.

数学作为自然学科中的基础学科，它的计算功能是至关重要的，《普通高中数学课程标准》对运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的计算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计算.而从现在学生的学习状况看，计算令人堪忧！很多学生在看了错误之后讲得最多的是：又算错了.但并没有很好地分析原因，同时也没有采取有效的措施来减少计算错误对解题的影响.在高中阶段的学习中，学生的批判思维尚未形成，纠错能力不强，需要老师更有针对性地对学生错误进行剖析，采取切实有效的办法合理地引导，让学生积极地比较和思考，以提高计算的准确性.下面就教学中具体的问题谈谈自己对学生计算错误的原因分析及一些想法.

一、缺少对解题策略的比较和选择

问题已知函数f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若对于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是.

解法1令t=x+1，则f（x）=g（t）=t+12-at +a-2，t∈[2，+∞），t∈N*，

求使得g（t）min≥3中a的范围.但在求g（t）min时，陷入了无法进行下去的困扰和烦恼.

解法2转化成x2+（a-3）x+8≥0，根据二次函数的图象分类讨论.此时遇到了像解法1中的问题.

解法3变量分离a≥-x-83+3，由x∈N*，结合g（x）=-x- 83+3的图象很快得出a≥- 83，比较轻松.

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（1）若函数f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值为33，则a的值为.

（2）若函数f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值为24，则a的值为.

归纳分式形式y=x+ax在a>0和a<0的值域.定义域[1，+∞）对值域的影响是什么？x∈N*对值域的影响是什么？解法1的困难在哪里？解法2要讨论哪些内容？引导学生多思考，多比较，多归纳，形成一种数学.

你能否进行编题反映上述变化对题目的影响？

建议加强对一个错误题目的认识的思维导图，把它涉及到的知识，涉及的解决方法都全面归纳和思考.从不同的角度认识问题，并比较每种解法的优劣，思考在何种情况下采取何种变形，避免会解解不对，会解来不及解的无奈.

二、缺少对概念的本原性的认识

问题已知向量a，b的 夹角为120°，且|a|=3，|b|=1，则|a-2b|=.

看似简单的一个题目，部分学生的主要错误表现为：结果忘记开方，或者在完全平方时中间项的符号出现错误.

反思为什么会少根号，仅仅是因为粗心吗？为什么会算错？要透过现象看清本质.先来看看向量的模的概念，向量的数量积与向量的模之间的关系的不同角度的理解，基底向量表示的依据等等，为何经常选用 i和j作为基底向量.向量的模即向量的长度.提到长度首先考虑到两点间的距离公式，故而当a=（x，y）时，

|a|=x2+y2，建立相应直角坐标系，使得a=（3，0），2b=（-1，3），则a-2b=（4，-3），从而简单得到最后结果.另一方面，我们经常从向量的数量积的角度a2=|a|2来展开运算，运算的过程中涉及到乘法公式，向量的数量积的计算，再开方，多了步骤，多了出错的机会.

再看平面向量基本定理中呈现的平面上任一向量都可以选择不同的不共线的两个向量作为基底向量，并用它们线性表示.在众多的选择中，如何选择简单的基底向量.课本实际上做了很好的引导作用.本题中实际是把所求的向量用基底a和b线性表示，而用坐标时恰恰把它转化成i和j作为基底向量，简单、明了.

我们一味在抱怨学生粗心出错，计算出错，恰恰在最本质的概念的源头上下的功夫少了，像练武之人所强调的扎实的基本功，下盘要稳，蹲马步要练好长时间.而现在的教学有点急于求成，让学生记忆的成分多，让学生思考的时间太少，让学生去领悟、感受、亲历知识的生成过程的机会太少.

反思学生对基本的问题出错的根本原因在于对最基本概念的理解没有抓住其本质，导致理解时出现偏差，计算当然就会走弯路，最后结果呈现错误.

建议老师在概念课的教学时，一定要舍得花时间去研究它，让学生在第一次接受新的知识时从本质上去把握它，避免炒夹生饭的现象.

数学作为自然学科中的基础学科，它的计算功能是至关重要的，《普通高中数学课程标准》对运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的计算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计算.而从现在学生的学习状况看，计算令人堪忧！很多学生在看了错误之后讲得最多的是：又算错了.但并没有很好地分析原因，同时也没有采取有效的措施来减少计算错误对解题的影响.在高中阶段的学习中，学生的批判思维尚未形成，纠错能力不强，需要老师更有针对性地对学生错误进行剖析，采取切实有效的办法合理地引导，让学生积极地比较和思考，以提高计算的准确性.下面就教学中具体的问题谈谈自己对学生计算错误的原因分析及一些想法.

一、缺少对解题策略的比较和选择

问题已知函数f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若对于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是.

解法1令t=x+1，则f（x）=g（t）=t+12-at +a-2，t∈[2，+∞），t∈N*，

求使得g（t）min≥3中a的范围.但在求g（t）min时，陷入了无法进行下去的困扰和烦恼.

解法2转化成x2+（a-3）x+8≥0，根据二次函数的图象分类讨论.此时遇到了像解法1中的问题.

解法3变量分离a≥-x-83+3，由x∈N*，结合g（x）=-x- 83+3的图象很快得出a≥- 83，比较轻松.

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（1）若函数f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值为33，则a的值为.

（2）若函数f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值为24，则a的值为.

归纳分式形式y=x+ax在a>0和a<0的值域.定义域[1，+∞）对值域的影响是什么？x∈N*对值域的影响是什么？解法1的困难在哪里？解法2要讨论哪些内容？引导学生多思考，多比较，多归纳，形成一种数学.

你能否进行编题反映上述变化对题目的影响？

建议加强对一个错误题目的认识的思维导图，把它涉及到的知识，涉及的解决方法都全面归纳和思考.从不同的角度认识问题，并比较每种解法的优劣，思考在何种情况下采取何种变形，避免会解解不对，会解来不及解的无奈.

二、缺少对概念的本原性的认识

问题已知向量a，b的 夹角为120°，且|a|=3，|b|=1，则|a-2b|=.

看似简单的一个题目，部分学生的主要错误表现为：结果忘记开方，或者在完全平方时中间项的符号出现错误.

反思为什么会少根号，仅仅是因为粗心吗？为什么会算错？要透过现象看清本质.先来看看向量的模的概念，向量的数量积与向量的模之间的关系的不同角度的理解，基底向量表示的依据等等，为何经常选用 i和j作为基底向量.向量的模即向量的长度.提到长度首先考虑到两点间的距离公式，故而当a=（x，y）时，

|a|=x2+y2，建立相应直角坐标系，使得a=（3，0），2b=（-1，3），则a-2b=（4，-3），从而简单得到最后结果.另一方面，我们经常从向量的数量积的角度a2=|a|2来展开运算，运算的过程中涉及到乘法公式，向量的数量积的计算，再开方，多了步骤，多了出错的机会.

再看平面向量基本定理中呈现的平面上任一向量都可以选择不同的不共线的两个向量作为基底向量，并用它们线性表示.在众多的选择中，如何选择简单的基底向量.课本实际上做了很好的引导作用.本题中实际是把所求的向量用基底a和b线性表示，而用坐标时恰恰把它转化成i和j作为基底向量，简单、明了.

我们一味在抱怨学生粗心出错，计算出错，恰恰在最本质的概念的源头上下的功夫少了，像练武之人所强调的扎实的基本功，下盘要稳，蹲马步要练好长时间.而现在的教学有点急于求成，让学生记忆的成分多，让学生思考的时间太少，让学生去领悟、感受、亲历知识的生成过程的机会太少.

反思学生对基本的问题出错的根本原因在于对最基本概念的理解没有抓住其本质，导致理解时出现偏差，计算当然就会走弯路，最后结果呈现错误.

建议老师在概念课的教学时，一定要舍得花时间去研究它，让学生在第一次接受新的知识时从本质上去把握它，避免炒夹生饭的现象.