徐诗佳

在解决一些几何问题时，辅助线的合理添加往往至关重要，它可以使问题大大简单化。添加辅助线有以下作用：一是揭示图形中隐含的性质，二是聚拢集中原则，三是化繁为简原则，四是发挥特殊点、线的作用，五是构造图形的作用。而如何添加辅助线，我们可以从两个方面入手：第一，图形本身的性质特征；第二，题设条件。下面举例说明。

一、如图1：正方形ABCD的对角线AC与BD交与点O，以正方形的边BC为斜边在正方形内作直角三角形BCE，∠BEC=90°.若CE=3，BE=5，则△OBE的面积是多少。（2014年初二希望杯第20题）

分析：求三角形面积，常规方法是利用面积公式：S=■ah（h为a这条边上的高）。在△OBE中，已知BE的长，因此只要求出BE边上的高OM即可（如图2）。

分析1：这是一道填空题，如果没有任何思路求OM的长，有一种方法大家不陌生，就是猜。如图2，（图形很精确）BE=5，CE=3，利用直尺度量5所对应的厘米数，再量出OM的厘米数，估计出OM=1。所以S△OBE=■BE·OM=■×5×1=■。

■

分析2：（添加辅助线）

思路：我们知道正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，因此在考虑添加辅助线时，重点利用它这些对称性。由于△BCE是RT△（解题突破口），绕点O旋转，即可得到图3。这个模型，就为我们添加辅助线找到了思路。回到图1，我们在旋转△BCE的同时，△OBE也在旋转。因此，我们不妨过点A，作AN⊥BE，连接ON（如图2）。△OBE旋转90°到△ONA。根据旋转的性质，旋转角相等，因此OE旋转到ON的旋转角也为90°，显然△EOM是等腰RT△。而由BN=CE=3，所以EN=BE—BN=5-3=2。易证OM=■EN=1。

以下是解答过程：（如图2）

过O点作OM⊥BE，垂足为点M过点A

作AN⊥BE，垂足为点N，连接ON，

∵正方形ABCD

∴AB=BC，∠ABC=∠ABN+∠1=90°，AO=BO，

∠BAO=∠CBO=45°，∠AOB=90°

∵AN⊥BE ∴∠ANB=∠BEC=90°

∴∠ABN+∠2=90° ∴∠1=∠2

在△BCE和△ABN中

∠1=∠2AB=BC∠BEC=∠AMB

∴△BCE≌△ABN ∴CE=BN=2，BE=AN

∵∠BAO=∠CBO，∠2=∠1

∴∠BAO-∠2=∠CBO-∠1

即∠OAN=∠OBE

在△OAN和△OBE中

AO=BO∠OAN=∠OBEAN=BE

∴△OAN≌△OBE ∴∠AON=∠BOE，ON=OE

即∠AOB+∠BON=∠EON+∠BON

∴∠AOB=∠EON=90°∴△EON是等腰RT△

∵OM⊥BE ∴OM是EN边上的中线 ∴OM=■EN=1

二、如图4，四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求证BD2=AB2+BC2。

■

分析：（如图5）要证明BD2=AB2+BC2，我们马上想到的就是勾股定理，这就提示了我们证明的方向——构造△（把AB，BC，BD放在同一个△）并证明其是RT△。如何构造RT△，这时题设条件就显得尤为重要了。由∠ADC=60°，AD=CD这两个条件，自然联想到等边△。因此以这个等边△为解题突破口，问题迎刃而解。若直接连接AC，不能把AB，BC，BD联系起来。所以我们需要构造其他的等边△。根据AD=CD，可以把△BCD绕点D逆时针旋转，使得点C与点A重合，这样就构造出一个等边△。

解题思路：△BCD旋转到△EAD，旋转角∠BDE=∠CDA=60°，BD=ED，则△BDE是等边△。这样就把BC转换成AE，BD转换成BE，因此我们就要证明△ABE为RT△即可。

证明：如图5，把△BCD绕点D旋转，使得点C与点A重合，得到△EAD，连接BE。

依题意得，△BCD≌△EAD，∠BDE=∠CDA=60°

∴BD=ED，BC=EA，∠CBD=∠AED

∴△BDE是等边△ ∴BD=BE，∠DBE+∠BED=120°

∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°

∴∠ABD+∠AED=30°

（∠DBE+∠BED）-（∠ABD+∠AED）

=∠ABE+∠AEB=120°-30°=90°

∴∠BAE=180°-（∠ABE+∠AEB）=90°

∴BE2=AB2+AE2 ∵BD=ED，BC=EA ∴BD2=AB2+BC2

在解决一些几何问题时，辅助线的合理添加往往至关重要，它可以使问题大大简单化。添加辅助线有以下作用：一是揭示图形中隐含的性质，二是聚拢集中原则，三是化繁为简原则，四是发挥特殊点、线的作用，五是构造图形的作用。而如何添加辅助线，我们可以从两个方面入手：第一，图形本身的性质特征；第二，题设条件。下面举例说明。

一、如图1：正方形ABCD的对角线AC与BD交与点O，以正方形的边BC为斜边在正方形内作直角三角形BCE，∠BEC=90°.若CE=3，BE=5，则△OBE的面积是多少。（2014年初二希望杯第20题）

分析：求三角形面积，常规方法是利用面积公式：S=■ah（h为a这条边上的高）。在△OBE中，已知BE的长，因此只要求出BE边上的高OM即可（如图2）。

分析1：这是一道填空题，如果没有任何思路求OM的长，有一种方法大家不陌生，就是猜。如图2，（图形很精确）BE=5，CE=3，利用直尺度量5所对应的厘米数，再量出OM的厘米数，估计出OM=1。所以S△OBE=■BE·OM=■×5×1=■。

■

分析2：（添加辅助线）

思路：我们知道正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，因此在考虑添加辅助线时，重点利用它这些对称性。由于△BCE是RT△（解题突破口），绕点O旋转，即可得到图3。这个模型，就为我们添加辅助线找到了思路。回到图1，我们在旋转△BCE的同时，△OBE也在旋转。因此，我们不妨过点A，作AN⊥BE，连接ON（如图2）。△OBE旋转90°到△ONA。根据旋转的性质，旋转角相等，因此OE旋转到ON的旋转角也为90°，显然△EOM是等腰RT△。而由BN=CE=3，所以EN=BE—BN=5-3=2。易证OM=■EN=1。

以下是解答过程：（如图2）

过O点作OM⊥BE，垂足为点M过点A

作AN⊥BE，垂足为点N，连接ON，

∵正方形ABCD

∴AB=BC，∠ABC=∠ABN+∠1=90°，AO=BO，

∠BAO=∠CBO=45°，∠AOB=90°

∵AN⊥BE ∴∠ANB=∠BEC=90°

∴∠ABN+∠2=90° ∴∠1=∠2

在△BCE和△ABN中

∠1=∠2AB=BC∠BEC=∠AMB

∴△BCE≌△ABN ∴CE=BN=2，BE=AN

∵∠BAO=∠CBO，∠2=∠1

∴∠BAO-∠2=∠CBO-∠1

即∠OAN=∠OBE

在△OAN和△OBE中

AO=BO∠OAN=∠OBEAN=BE

∴△OAN≌△OBE ∴∠AON=∠BOE，ON=OE

即∠AOB+∠BON=∠EON+∠BON

∴∠AOB=∠EON=90°∴△EON是等腰RT△

∵OM⊥BE ∴OM是EN边上的中线 ∴OM=■EN=1

二、如图4，四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求证BD2=AB2+BC2。

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分析：（如图5）要证明BD2=AB2+BC2，我们马上想到的就是勾股定理，这就提示了我们证明的方向——构造△（把AB，BC，BD放在同一个△）并证明其是RT△。如何构造RT△，这时题设条件就显得尤为重要了。由∠ADC=60°，AD=CD这两个条件，自然联想到等边△。因此以这个等边△为解题突破口，问题迎刃而解。若直接连接AC，不能把AB，BC，BD联系起来。所以我们需要构造其他的等边△。根据AD=CD，可以把△BCD绕点D逆时针旋转，使得点C与点A重合，这样就构造出一个等边△。

解题思路：△BCD旋转到△EAD，旋转角∠BDE=∠CDA=60°，BD=ED，则△BDE是等边△。这样就把BC转换成AE，BD转换成BE，因此我们就要证明△ABE为RT△即可。

证明：如图5，把△BCD绕点D旋转，使得点C与点A重合，得到△EAD，连接BE。

依题意得，△BCD≌△EAD，∠BDE=∠CDA=60°

∴BD=ED，BC=EA，∠CBD=∠AED

∴△BDE是等边△ ∴BD=BE，∠DBE+∠BED=120°

∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°

∴∠ABD+∠AED=30°

（∠DBE+∠BED）-（∠ABD+∠AED）

=∠ABE+∠AEB=120°-30°=90°

∴∠BAE=180°-（∠ABE+∠AEB）=90°

∴BE2=AB2+AE2 ∵BD=ED，BC=EA ∴BD2=AB2+BC2

在解决一些几何问题时，辅助线的合理添加往往至关重要，它可以使问题大大简单化。添加辅助线有以下作用：一是揭示图形中隐含的性质，二是聚拢集中原则，三是化繁为简原则，四是发挥特殊点、线的作用，五是构造图形的作用。而如何添加辅助线，我们可以从两个方面入手：第一，图形本身的性质特征；第二，题设条件。下面举例说明。

一、如图1：正方形ABCD的对角线AC与BD交与点O，以正方形的边BC为斜边在正方形内作直角三角形BCE，∠BEC=90°.若CE=3，BE=5，则△OBE的面积是多少。（2014年初二希望杯第20题）

分析：求三角形面积，常规方法是利用面积公式：S=■ah（h为a这条边上的高）。在△OBE中，已知BE的长，因此只要求出BE边上的高OM即可（如图2）。

分析1：这是一道填空题，如果没有任何思路求OM的长，有一种方法大家不陌生，就是猜。如图2，（图形很精确）BE=5，CE=3，利用直尺度量5所对应的厘米数，再量出OM的厘米数，估计出OM=1。所以S△OBE=■BE·OM=■×5×1=■。

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分析2：（添加辅助线）

思路：我们知道正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，因此在考虑添加辅助线时，重点利用它这些对称性。由于△BCE是RT△（解题突破口），绕点O旋转，即可得到图3。这个模型，就为我们添加辅助线找到了思路。回到图1，我们在旋转△BCE的同时，△OBE也在旋转。因此，我们不妨过点A，作AN⊥BE，连接ON（如图2）。△OBE旋转90°到△ONA。根据旋转的性质，旋转角相等，因此OE旋转到ON的旋转角也为90°，显然△EOM是等腰RT△。而由BN=CE=3，所以EN=BE—BN=5-3=2。易证OM=■EN=1。

以下是解答过程：（如图2）

过O点作OM⊥BE，垂足为点M过点A

作AN⊥BE，垂足为点N，连接ON，

∵正方形ABCD

∴AB=BC，∠ABC=∠ABN+∠1=90°，AO=BO，

∠BAO=∠CBO=45°，∠AOB=90°

∵AN⊥BE ∴∠ANB=∠BEC=90°

∴∠ABN+∠2=90° ∴∠1=∠2

在△BCE和△ABN中

∠1=∠2AB=BC∠BEC=∠AMB

∴△BCE≌△ABN ∴CE=BN=2，BE=AN

∵∠BAO=∠CBO，∠2=∠1

∴∠BAO-∠2=∠CBO-∠1

即∠OAN=∠OBE

在△OAN和△OBE中

AO=BO∠OAN=∠OBEAN=BE

∴△OAN≌△OBE ∴∠AON=∠BOE，ON=OE

即∠AOB+∠BON=∠EON+∠BON

∴∠AOB=∠EON=90°∴△EON是等腰RT△

∵OM⊥BE ∴OM是EN边上的中线 ∴OM=■EN=1

二、如图4，四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求证BD2=AB2+BC2。

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分析：（如图5）要证明BD2=AB2+BC2，我们马上想到的就是勾股定理，这就提示了我们证明的方向——构造△（把AB，BC，BD放在同一个△）并证明其是RT△。如何构造RT△，这时题设条件就显得尤为重要了。由∠ADC=60°，AD=CD这两个条件，自然联想到等边△。因此以这个等边△为解题突破口，问题迎刃而解。若直接连接AC，不能把AB，BC，BD联系起来。所以我们需要构造其他的等边△。根据AD=CD，可以把△BCD绕点D逆时针旋转，使得点C与点A重合，这样就构造出一个等边△。

解题思路：△BCD旋转到△EAD，旋转角∠BDE=∠CDA=60°，BD=ED，则△BDE是等边△。这样就把BC转换成AE，BD转换成BE，因此我们就要证明△ABE为RT△即可。

证明：如图5，把△BCD绕点D旋转，使得点C与点A重合，得到△EAD，连接BE。

依题意得，△BCD≌△EAD，∠BDE=∠CDA=60°

∴BD=ED，BC=EA，∠CBD=∠AED

∴△BDE是等边△ ∴BD=BE，∠DBE+∠BED=120°

∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°

∴∠ABD+∠AED=30°

（∠DBE+∠BED）-（∠ABD+∠AED）

=∠ABE+∠AEB=120°-30°=90°

∴∠BAE=180°-（∠ABE+∠AEB）=90°

∴BE2=AB2+AE2 ∵BD=ED，BC=EA ∴BD2=AB2+BC2