杨卉青

〔关键词〕 数学教学；行程问题；追

及问题；相遇问题

〔中图分类号〕 G633.6

〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2014）

18—0122—01

行程问题应用题是中小学数学应用题中很重要的一类，学生难以理解，不容易掌握。行程问题的题型千变万化，导致许多学生感到束手无策，难以适从。其实认真分析，就会发现行程问题应用题主要有两种基本类型：追击问题和相遇问题，而且三个基本量之间的基本关系“路程=速度×时间”保持不变。下面，笔者就对这两种类型的应用题进行详细阐述。

一、追及问题

追及问题的特点是同向而行，在直线运动中两者路程之差等于两者间的距离，而在圆周运动中，若同时同地同向出发，则二者路程之差等于跑道的周长。

例1 甲乙两人相距100米，甲在前每秒跑3米，乙在后每秒跑5米。两人同时出发，同向而行，几秒后乙能追上甲？

分析：后面的人要追上前面的人，就要比前面的人多跑100米，而两人跑步所用的时间是相同的（即同时不同地）。所以有相等关系：乙走的路程-甲走的路程=100。

变式1（同地不同时）： 甲、乙两名同学练习百米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？

分析：这个问题中，两人所跑路程相同，出发地相同，但由于乙先跑了1秒，所以就产生了路程差（乙1秒内所跑的路程）。那么这个问题就和前面例题一样了。

变式2（不同时也不同地）：甲乙两人相距40千米，甲先出发1.5小时乙再出发，甲在后乙在前，二人同向而行，甲的速度是每小时8千米，乙的速度是每小时6千米，甲出发几小时后追上乙？

分析：根据题意有相等关系：甲走的路程-乙走的路程=两人原来的距离。如果设甲出发x小时后追上乙，则乙运动的时间为（x-1.5）小时，所以甲走的路程为8x千米，乙走的路程为6（x-1.5）千米。

变式3（环形跑道问题）：甲乙两人在一条长400 米的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟跑360米，乙的速度是每分钟跑240米。两人同时同地同向跑，几秒后两人第一次相遇？

分析：本题属于环形跑道上的追及问题，两人同时同地同向而行，第一次相遇时，速度快者比速度慢者恰好多跑一圈，即相等关系为：甲走的路程-乙走的路程=400 。

二、相遇问题

相遇问题的特点是相向而行，在直线运动中两者路程之和等于两者间的距离，而在圆周运动中，若同时同地相向出发，则二者路程之和等于跑道的周长。

例2 甲乙两站间的距离为450千米，一列慢车从甲站出发，每小时行驶65千米，一列快车从乙站出发，每小时行驶85千米，两车同时开出相向而行，多长时间后相遇？

分析：这是一道典型的相遇问题，由于两车从甲、乙两站开出，相向而行，所以当它们相遇时，两车行驶的路程和等于两站之间的距离，即相等关系为：快车行程+慢车行程=两站之间的距离。

变式1（变条件）：甲乙两列火车，长为144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米。两车相向而行从相遇到错开需要9秒。问两车速度各是多少？

分析：这道题是我们生活中常见的会车问题，可以归类到相遇问题中，两车的长度之和相当于两车之间的距离，所以，题目中的相等关系为：甲车走的路程+乙车走的路程=两车的长度之和。

变式2（变路径）：运动场的跑道一圈长400米，小健练习骑自行车，平均每分钟骑350米，小康练习跑步，平均每分钟跑250米。如果两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇？又经过多少时间再次相遇？

分析：本题属于环形跑道上的相遇问题，两人同时同地反向而行，第一次相遇时，两者的路程之和等于跑道的周长，即相等关系为：甲走的路程+乙走的路程=400 。

变式3（变问题）：甲乙两船同时从相距420千米的两个码头相对开出，甲船每小时行40千米，乙船每小时行30千米。求两船开出后几小时相距70千米？

分析：题目中求的是两船相距70千米时的行程时间，应该属于相遇问题应用题，基本的相等关系不变，即甲乙两船所行驶的路程之和=两者间的距离。但是，两船相距70千米有其特殊性：如果是两船相遇之前相距70千米，那么总路程就是（420-70）千米；如果是相遇之后两船继续行驶，再相距70千米，那么总路程就是（420+70）千米。这里要分两种情况解答。

编辑：谢颖丽endprint