朱艳杰，朱克强，杨冰卡，王志博，秦道武，曾 峰，章浩燕，夏 峰

(1.宁波大学，浙江宁波 315211;2.宁波市东方电缆股份有限公司，浙江宁波 315211)

缆索目前使用非常广泛，在世界各处海洋中，有不同形式的海洋缆索。如用于水下电力输送的水下电缆;用于海洋油气资源运输的水下管线;以及用于控制水下潜器或机器人的脐带缆。其中水下拖曳缆索在海洋工程中是经常使用的设备，在海上作业项目中，占有非常重要的地位。有效的缆索动力分析在很大程度上保证了海上作业的安全。这些缆索的动力分析方法主要可分为三类:有限元法，有限差分法，凝集质量法。

由于缆索动力问题本质上包含大变形和水动力非线性问题，有限元方法的适用性受限:受到方程组的性质影响与边界条件不能灵活选择的限制。非线性变系数的控制方程组，最早是使用有限差分法来离散求解的。这一算法经历了从Sanders［1］忽略了惯性力的缆形三维算法，到Albow和Schechter［2］等人包含惯性力的三维算法，在时空上有限差分离散了该方程组，再到Milinazzo［3］等人改进Albow等人提出的方法，使用Newton-Jacobin法求解形成的非线性方程组，并处理了零张力自由端的问题，一定程度上提高了求解效率，后来Howell［4］和 Tjavaras［5］通过推导缆元受力与变形关系消除了方程的奇异特性，将方程组变成了双曲型，Grosenbaugh［6-7］采用自适应时间、空间网格步长算法，以及通用α时间积分算法对此方程组进行了改进，进一步提高了差分格式的求解稳定性，使有限差分法更加完善。

与有限差分法从微元的角度出发求解控制方程不同，凝集参数法直接从牛顿第二定律出发，将缆索近似为一系列的节点，节点由无质量的线弹性单元连结，并将连续缆索受到的分布力如重力、流体动力等看作作用在缆的分布节点上，这种简化的好处是缆索上悬挂浮球或分段连接的缆较容易处理。不同的研究者推导了不同形式的凝集参数法表达式。

采用凝集质量法来分析拖曳缆索回转形态特征，经和其他研究者用有限差分法给出的拖缆回转形态以及升沉进行对比，得出凝集质量法也是非常有效的，并且在计算多线列阵时，凝集质量法比有限差分法要灵活很多，所以使用凝集质量法来计算水下缆索动态响应问题，目前看来是一个非常经济有效的方法。

1 考虑缆索拉压、弯曲、扭转变形的通用弹性动力学方程

考虑缆索拉压、弯曲、扭转变形y以及附加质量的通用弹性动力学方程［8］为

式中:m1是拉伸后缆索的单位长度质量包括附加质量;s1是拉伸后缆索长度;v=(u，v，w)是缆索的绝对速度;T= (T1，T2，T3)是缆索张力及剪力，下标1、2、3分别表示缆索局部坐标下切向、主法向、副法向三个方向分量，下文同;G是单位长度缆索湿重;D表示流体力。

将变形关系ds1=ds( 1 +e)和质量守恒m1ds1=mds代入上式得:

式中:m是未拉伸缆索的单位长度质量;e是应变。在局部坐标(τ，n，b)下对向量求导满足下面的法则:局部坐标下对向量 f=(fι，fn，fb)关于 s，t求导分别为:

考虑缆索附加质量，在局部坐标中展开:

Hover［10］发现了四元数，用它来代替欧拉角，可以避免奇异性问题，下面是四元数和欧拉角之间的转换关系。

四元数［8］:β0=cos(γ/2)，β1=lxsin(γ/2)，β2=lysin(γ/2)，β3=lzsin(γ/2);其中， lx，ly，l( )

z为瞬轴(在某瞬时，刚体上绝对速度为零的点与原点的连线称为瞬轴)，γ为刚体绕瞬轴旋转的角度。二者的转化可参考文献［11］。

2 利用凝集质量法离散方程

对上述通用方程(1)，已有研究者利用有限差分法进行离散，文中用凝集质量法来离散，并考虑缆索的附加质量，基本思想参考文献［12］，第k个节点的方程离散为

3 仿真算例

下面给出一个仿真算例来验证此离散方法的有效性。拖曳系统如图1所示，拖船以9.52 m/s速度直航1 s，然后进入半径640 m的回转运动440 s，最后，在完成375°的回转后，沿圆周的切线直线运动300 s。所选用的缆索数据参数如表1来自文献［3］。拖曳系统分为24个节点，拖缆系统由竖直静止状态以9.52 m/s速度直航足够长的时间达到稳定状态，以此稳态解作为回转的初始姿态。图2和图3给出了计算结果和文献结果的对比，由对比显示两者结果具有一致性，说明文中计算结果是可靠的，即凝集质量法是有效的。

图1 拖曳系统Fig.1 Towed system

表1 缆索参数Tab.1 Physical properties of cable

图2 回转平面计算结果对比Fig.2 Plan view of circular manoeuvre

图3 回转侧视计算结果对比Fig.3 Profile view of circular manoeuvre

从表2中看出，文中得出的初始深度、最低深度和最后深度均在有效范围之内，并且最低深度与实验值误差最小，由此可见，凝集质量法计算缆索动态响应问题，也是很有效的，并且比有限差分法灵活简便。所以在研究此类问题时，凝集质量法是一个不错的选择。

表2 文中数据和文献［3］中数据比较Tab.2 Comparison of this paper’s and the literature［3］’s data

4 结语

1)本模型对回转的模拟，最大下沉深度与实验值误差，是目前已经发表的几种方法中最小的一个，因而对拖缆回转时触底问题具有重要参考价值;

2)研究表明除了低张力、小回转半径等曲率时间变化率大的运动之外，缆索弯曲刚度，对缆索曲率时间变化率小的运动，影响不明显;

3)在坐标转换中用四元数代替欧拉角，可以克服欧拉角转换的奇异问题，剔除大量的运动不连续点，更光滑的预报缆索空间运动，应该在未来的缆索动态模拟中引起重视。

［1］ Sanders J V.A three-dimensional'dynamic analysis of a towed system［J］.Ocean Engng，1982，9(5):483-499.

［2］ Ablow C M，Schechter S.Numerical simulation of undersea cable dynamics［J］.Ocean Engng，10(6):443-457.

［3］ Milinazzo F，Wilkie M，Latchman S A.Anefficient algorithmfor siumlating the dynamicsof towedcable systems［J］.Ocean Engng，1987，14(6):513-526.

［4］ Howell C T.Investigation of the dynamics of low-tension cables［D］.Massachusetts Institute of Technology/Woods Hole Oceanographic Institution，1992.

［5］ Tjavaras A A，Triantafyllou M S.Non-linear response two disordered pendula［J］.Journal of Sound and Vibration，1996，190(1):65-67.

［6］ Gobat J I，Grosenbaugh M A.Time-domain numerical simulation of ocean cable structures［J］.Ocean Engineering，2006，33(10):1373-1400.

［7］ Grosenbaugh M A.Transient behavior of towed cable systems during ship turning maneuvers［J］.Ocean Engineering，2007，34(11-12):1532-1542.

［8］ John B Herbich.Developments in Offshore Engineering［M］.Gulf Publishing Company，1998.

［9］ Christopher Todd Howell.Investigation of the dynamics of low-tension cables［D］.Massachusetts Institute of Technology，1993.

［10］Franz S Hover.Simulation of stiff massless tethers［J］.Ocean Engineering，1997，8(24):765-783.

［11］陈志明，王惠南，刘海颖.全角度欧拉角与四元数转换研究［ED/OL］.http://www.paper.edu.cn，2012-12-11.(CHEN Zhi-ming，WANG Hui-nan，LIU Hai-yin.Research on Large-scale Transformation Algorithm of Quaternion to Euler Angle［ED/OL］.http://www.paper.edu.cn，2012-12-11.(in Chinese))

［12］ ZHU Ke-qiang，CAI Ying，YU Chun-ling，et al.Nonlinear hydrodynamic response of marine cable-body system undergoing random dynamic excitation［J］.Journal of Hydrodynamics，2009，21(6):851-855.