乔金静，高红亚

（河北大学数学与计算机学院，河北保定 071002）

接近凸双调和多项式的构造

乔金静，高红亚

（河北大学数学与计算机学院，河北保定 071002）

主要介绍单位圆盘上一类保向接近凸的双调和多项式.令上述双调和多项式的次数趋于无穷，取极限，进而得到一类接近凸的双调和映射.

双调和映射；接近凸；双调和多项式

MSC2010：30C45

解析函数是复分析中的主要研究对象.作为解析函数的推广，复平面上的调和映射也越来越得到人们的关注.而作为调和映射的推广，双调和映射来源于许多物理问题，特别是流体力学和弹性问题，它在工程学和生物学都有许多重要的应用［13］，故它的研究具有明显的应用特色.本文主要研究单位圆盘上的双调和映射.

单叶（解析）多项式在验证几何函数论中的诸多猜测中发挥了作用，构造此类多项式的方法是经典的.而构造调和多项式和双调和多项式的相关文献很少.多项式的单叶性与其零点的位置关系密切.文献［4］考虑了调和多项式解析部分的导数Q在单位圆盘无零点的情形，给出了一类保向的调和多项式.如果进一步规定该导数Q的零点都在单位圆周上，可得一类接近凸的调和多项式［5］.本文的主要目的是把上述结果推广到双调和映射的情形，构造一类接近凸的双调和多项式.

1 预备知识

设f是定义在单位圆盘D＝｛z：｜z｜＜1｝上的复值调和函数，则f可表示为f＝h＋g，其中h，g在D上

解析.调和映射f局部单叶且保向的充分必要条件是JacobJf（z）是正的［67］，其中

单位圆盘D上的4次连续可微函数F是双调和的当且仅当ΔF是调和的，即Δ（ΔF）＝0，且双调和映射F具有表达式其中G和H是D上的复值调和映射.如果对于z∈D／｛0｝，F的Jacob

就称双调和映射F是保向的［89］.

在文献［8，10］中，作者讨论了形如式（1）的双调和映射的性质，如单叶性和星形性，这里H（z）≡0.从而引出了形如F＝｜z｜2G的单叶保向的双调和映射类.本文讨论形如F＝｜z｜2G的双调和映射.

如果区域Ω的补集可以由闭的半直线覆盖，这里闭的半直线对应的开的半直线是不相交的，就称区域Ω是接近凸的.如果单叶双调和映射（或调和映射）映D到一个接近凸区域，就称此双调和映射（或调和映射）是接近凸的.

2 主要结果

［1］ HAPPEL J，BRENNER H.Low reynolds numbers Hydrodynamics［M］.Englewood Cliffs：Princeton-Hall，1965.

［2］ KHURI S A.Biorthogonal series solution of Stokes flow problems in sectorial regions［J］.SIAMJ Appl Math，1996，56：19 39.

［3］ LANGLOIS W E.Slow viscous flow［M］.New York：Macmillan Company，1964.

［4］ SUFFRIDGE T J.Harmonic univalent polynomials［J］.Complex Variables Theory Appl，1998，35：93 -107.

［5］ JAHANGIRI J M，MORGAN C J，SUFFRIDGE T J.Construction of close-to-convex harmonic polynomials［J］.Complex Var Theory Appl，2001，45：319 326.

［6］ CLUNIE J G，SHEIL-SMALL T.Harmonic univalent functions［J］.Ann Acad Sci Fenn Ser A I，1984，9：3 25.

［7］ DUREN P.Harmonic mappings in the plane［M］.Newyork：Cambridge Univ Press，2004.

［8］ ABDULHADI Z，ABU MUHANNA Y，KHOURY S.On univalent solutions of the biharmonic equations［J］.J Iequal Appl，2005，5：469 478.

［9］ ABDULHADI Z，ABU MUHANNA Y KHOURY S.On some properties of solutions of the biharmonic equation［J］.Appl Math Comput，2006，177：346 351.

［10］ ABU MUHANNA Y.On univalence of biharmonic maps［J］.Complex Var Elliptic Equ，2008，53：745 -751.

［11］ PONNUSAMY S，QIAO Jinjing.Polynomial approximation of certain biharmonic mappings［J］.Nonlinear Analysis，2012，81：149 158.

［12］ SHEIL-SMALL T.Complex Polynomials［M］.NewYork：Cambridge University Press，2002.

［13］ KAPLAN W.Close-to-convex schlicht functions［J］.Michigan Math J，1952，1：169 185.

［14］ JAHANGIRI J M.A gap condition for the zeros of certain polynomials in Kaplan classes［J］.Mathematica，1987，34：53 -63.

（责任编辑：王兰英）

Construction of certain close-to-convex biharmonic polynomials

QIAO Jinjing，GAO Hongya
（College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China）

A family of sense-preserving biharmonic polynomials that are close-to-convex on the unit disk is introduced.By taking limits as the degree of the polynomials tends to infinity，a family of close-toconvex biharmonic mappings is also obtained.

biharmonic mapping；close-to-convexity；biharmonic polynomial

O174

A

1000 -1565（2014）05 -0467 04

10.3969／j.issn.1000 -1565.2014.05.004

2013 06 -20

河北省自然科学基金青年科学基金资助项目（A2013201104）

乔金静（1980-），女，河北馆陶人，河北大学讲师，博士，主要从事函数论研究.E-mail：mathqiao＠126.com