刘晓，李岚，陈才生

（1.河海大学理学院，江苏南京 211100；2.中国交通通信信息中心北京，100011）

一类RN上奇异拟线性椭圆方程非平凡解的不存在性

刘晓1，李岚2，陈才生1

（1.河海大学理学院，江苏南京 211100；2.中国交通通信信息中心北京，100011）

主要研究一类奇异拟线性椭圆型方程非平凡解的不存在性.利用变分法，通过建立一个Pohozaev型的变分恒等式，并对权函数以及参数适当假设，得到这类问题只有零解的充分条件.

奇异拟线性椭圆方程；变分法；不存在性；变分恒等式

MSC2010：35J62；35J75

由于拟线性椭圆方程有着强大的物理背景以及实际应用价值，如在流体力学、牛顿流体、渗透力学等物理模型［1－4］中的应用，所以对于它的研究也备受国内外学者的青睐.对于拟线性椭圆问题解的存在性，已经吸引了相当一部分研究人员.宣本金［5］讨论了下列问题

苏加宝等［6－13］研究了拟线性椭圆问题

的非平凡径向解的存在性.其中，A（r），V（r）和Q（r）是正的径向对称函数.通过对A，V和Q在r＝0和r＝∞时的适当假设，证明了嵌入X＝W1，pr（RN，A，V）→Lq（RN，Q）是紧的，并且进一步证明了上述问题在空间X中存在径向解.

但有关上述问题解的不存在性结果很少.

1 主要定理

2 主要结论

3 讨论

本文与大多数文献不同之处在于是从解的不存在性的角度来进行讨论的.利用变分法，讨论了一类p-laplacian方程在全空间RN上非平凡解的不存在性，即只有零解.

在问题（2）中，通过令权函数V（x），H（x）∈C1loc（0，∞），以及α，β∈R1并满足（A1）、（A2），可以得到问题（3）在X中只有零解；令权函数h（x），H（x）∈C1loc（0，∞），以及α，β∈R1并满足（A3）、（A4），那么问题（4）在Y中只有零解.在证明这2个结论的过程中，将Pohozaev恒等式作了进一步的推广，所得的结果对于丰富非线性椭圆型方程的学术研究具有很大的意义.

但是注意到，本文中对权函数h（x），V（x），H（x）以及空间X，Y的限制比较多，若将权函数的条件减弱，或者将空间X，Y放大，结论是否仍然成立有待进一步研究.

［1］ ASSUNC ORB，CARRI OPC，MIYAGAKI O H.Subcritical perturbations of a singular quasilinear elliptic equation involving the critical Hardy-Sobolev exponent［J］.Nonlinear Anal，2007，66：1351-1464.

［2］ BROCK F，ITURRIAGA L，S NCHEZ J，et al.Existence of positive solutions for p-Laplacian problems with weights［J］.Commun on Pure and Appl Anal，2006，5（4）：941-952.

［3］ GHERGU M，R DULESCUV.Singular elliptic problems with lack of compactness［J］.Annali di Matematica，2006，185：63-79.

［4］ XUAN Benjin.The solvability of quasilinear Brezis-Nirenberg-type problems with singular weights［J］.Nonlinear Anal，2005，62：703-725.

［5］ XUAN Benjin，WANG Ji.Existence of a nontrival weak solution to quasilinear elliptic equations with singular weights and multiple critical exponents［J］.Nonlinear Anal，2010，72：3649-3658.

［6］ SU Jiabao，WANG Zhiqiang.Sobolev type embedding and quasilinear elliptic equations with radial potentials［J］.J Differential Equations，2011，250：223-242.

［7］ BERESTYCKI，LIONS H P L.Nonlinear scalar field equations，I.Existence of a ground state［J］.Arch Rational Mech Anal，1983，82：313-345.

［8］ DING Weiyue，NI Weiming.On the existence of positive entire solutions of a semilinear elliptic equa-tion［J］.Arch Rational Mech Anal，1986，91：283-308.

［9］ FURUSHO Y，TAKASI K，OGATA A.Symmetric positive solutions of second-order quasilinear degenerate elliptic equations［J］.Arch Rational Mech Anal，1994，127：231-254.

［10］ NOUSSAIR E S，SWANSON C A，YANG Jianfu.Quasilinear elliptic problem with critical exponents［J］.Nonlinear Anal，1993，20：285-301.

［11］ RODRIGUES R S.On elliptic problems′involving critical Hardy-Sobolev exponents and sign-changing function［J］.Nonlinear Anal，2010，73：857-880.

［12］ TERAMO T.On positive radial entire solutions of second-order quasilinear elliptic systems［J］.J Math Anal Appl，2003，282：531-552.

［13］ YU Laosen.Nonlinear p-Laplacian problems on unbounded domains［J］.Proc Amer Math Soc，1992，115（4）：1037-1045.

［14］ C STEA F，MOTREANU D，R DULESCUV.Weaksolutionsofquasilinear problems with nonlinear boundary condition［J］.Nonlinear Anal，2001，43：623-636.

［15］ DAUTRAY R，LIONS J L.Mathematical analysis and numerical methods for science and technology［M］.Berlin：Springer-verlag，1990.

［16］ KUZIN I，POHOZAEV S.Entire solutions of semilinear elliptic equations［M］.Berlin：Birkh auser，1997.

（责任编辑：王兰英）

Nonexistence of nontrivial solution of a class of singular quasilinear elliptic problem on RN

LIU Xiao1，LI Lan2，CHEN Caisheng1
（Department of Mathematics，Hohai University，Nanjing 211100，China；
2.China Transport Telecommunications and Information Center，Beijing 100011，China）

The nonexistence of solution of a class of singular quasilinear elliptic problem was studied.Under the appropriate assumptions，on the weight functions and the parameters，a Pohozaev＇s variational identity is given by using variational methods.It implies the nonexistence of nontrivial solution.

singular quasilinear elliptic equation；variational methods；nonexistence；variational identity

O175.25

A

1000-1565（2014）05-0449-06

10.3969／j.issn.1000-1565.2014.05.001

2013-07-15

国家自然科学基金资助项目（11201115）

刘晓（1991-），女，山东莒南人，河海大学在读硕士研究生，主要从事偏微分方程方向研究.E-mail：xiao＿123987＠126.com