王小刚 WANG Xiao-gang

（扬州工业职业技术学院机械工程学院，扬州 225127）

（School of Mechanical Engineering，Yangzhou Polytechnic Institute，Yangzhou 225127，China）

0 引言

工程图样是表达和交流技术思想的重要工具，是工程界的技术语言，掌握绘制工程图样的基本理论和方法是工科高等学校学生的基本技能。《画法几何》是工程制图与识图的基础，它研究如何在平面上图示空间物体和图解空间几何问题，为用平面图样完整表达空间物体提供基础。

《画法几何》主要分析方法可归纳为二方面，一是“图示法”，研究在二维平面上表达三维空间形体的方法；二是“图解法”，研究在平面上利用图形来解决空间几何体的方法。

1 基本问题

画法几何用来培养空间逻辑思维和想象能力，要求在学习过程中必须将平面上的投影与想象的空间几何元素结合起来，形成二维与三维的转换。在教学实践中使用机械工业出版社由李俊武主编、2011年1月第2版的《工程制图习题集》，该习题册第34页题设为“平面与平面立体交线、补画第三视图”，其中第6题（如图1）。本题设计初衷良好，意在培养空间逻辑思维和想象能力，但学生在求解过程中理解难度较大。

图1 补画第三视图

2 问题辨析

平面立体被截平面切割后所得的截交线，是由直线段组成的平面多边形。多边形的各边是立体表面与截平面的交线，而多边形的各顶点是立体各棱线与截平面的交点。截交线具有二条重要的性质，“共有性”是截平面和立体表面的共有线，截交线上任何一点都是截平面和立体表面的共有点；“封闭性”是封闭的平面图形。因此，求截交线实际是求截平面与平面立体各棱线的交点，或求截平面与平面立体各表面的交线。

平面立体的截交线是一个封闭的平面多边形如图2（a），它的顶点是平面体的棱线（或底边）与截平面的交点，它的边是平面立体表面与截平面的交线。因此，平面立体截交线的求法有两种，一为求各棱线的交点，然后依次连接各交点，并判别可见性；二是求各棱面上的交点，并判别可见性，基本分析方法如图2（c）所示。

图2 切口三棱锥截交线分析

此切割体是由两平面截切产生的。截面P与三棱锥前后棱面的交线为一般位置线；截面Q为水平面，与三棱锥底面平行，故由截面Q产生的截交线平行于三棱锥底面的对应边，其水平投影为真实性，为三边形，正面、侧面投影位积聚性，为一直线段；P面为正垂面，截交线为三边形，其截交线的正面投影具有积聚性，水平和侧面投影为类似形。P、Q面的交线为正垂线。

笔者在教学时对图1分析过程首先根据题设利用图解法，进行造型。再次运用图示法，用三视图表达造型，与题设相互验证。

2.1 依据主视图进行图解 依据主视图进行分析，其基本形体为四棱台，后经一面切割形成，由此运用Solid works建立形体如图3（a）所示。运用Solid works工程图工具，对依据主视图进行切割后得到形体进行三视图表达如图3（b）所示，得到俯视图中三解形与题设俯视图为粗实线不符。

2.2 依据俯视图进行图解 依据俯视图粗实线表达，主视图进行分析，其基本形体为四棱台，后经切割形成，切割面起点发生变化，由此运用Solid works建立形体如图3（a）所示。运用Solid works工程图工具，对依据主视图进行切割后得到形体进行三视图表达如图4所示，得到俯视图中的粗实线，出现主视图短水平线消失问题。

图3 依据主视图进行图解

图4 依据俯视图进行图解

基于以上二点分析，学生基本认识为“题设错误”。

2.3 主、俯视图结合进行图解 基于以上二点分析，可进一步解析，基本体为四棱台的深化形式，其底面为四边形，上表面演化为一直线，运用Solid works的放样或扫描功能，建立如图5所示基本形体。

图5 主、俯视图结合进行图解构建形体

利用Solid works功能构造此基本形体，极大解决了在教学中语言表达对形体描述的单一性，令学生直观、快速地掌握构建形态。在此基础上进行切割，得到如图6所示三视图，观察俯视图发现，倾斜切割部分所得并非原题的粗直线，特别是左侧部分曲线比较明显，由此，进一步推进分析，将四棱台分解为左右二部分进行构建。

图6 主、俯视图结合进行图解三视图

2.4 左右分离式图解 针对2.3中分析的结果，运用Solid works的放样或扫描功能，建立如图7（a）所示基本形体，其中左侧为三棱锥，右侧为非规则形体，近似一端打开的书本放置在桌面，如图7（b）。

图7 左右分离式图解构建形体

此形体在教学中基本无法以语言表达进行精确描述，利用Solid works功能构造此基本形体，令学生准确地掌握构建形态。在此基础上进行切割，得到如图8所示三视图，观察俯视图发现，倾斜切割左侧部分曲线变化为粗直线。

图8 左右分离式图解三视图

3 初步结论

截交线的形状取决于几何体的表面性质及截平面相对几何体的位置，求截交线的实质上就是求截平面与立体表面的共有点。通过以上分析，可以明确平面立体截断体上截交线的画法分三步，一是补画基本体完整的三视图；二是分析截交线平面多边形的边数，画出各个转折点的投影，同名投影连线；三是整理、描深截断体的投影。

图1所在页题设为“平面与平面立体的交线”，其中“平面立体”是表面都是平面多边形，常见的有棱柱和棱锥两种。仔细分析图7的俯视图，与题设比较发现倾斜切割右侧部分曲线依然存在，分析具体原因为右侧形体由底面三角形向上变化为一直线，此时前、后二面并非平面而是曲面，因此得到的截交线是曲线。由此初步得出结论为“题设表达不明晰”。

通过Solid works造型功能运用图解法，极大完善了教学过程的信息传达，使用学生直观、快速、精确掌握分析过程；利用Solid works的“工程图”功能运用图示法，将得到信息与原题设比对，逐步推进辨析过程，使学生平稳、渐进掌握分析结果。通过以上教学过程既提高了学生的认识水平，更能提高学生的思辨能力。

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